20 câu Trắc nghiệm Tích của một số với một vectơ (Cánh diều 2024) có đáp án

20 câu Trắc nghiệm Tích của một số với một vectơ (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán lớp 10

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 11-01-2024 Lớp 10

2.2 K

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Trắc nghiệm Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ sách Cánh diều. Bài viết gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài trắc nghiệm Toán 10.

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Câu 1. Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho $3 \vec{A M} = 2 \vec{A B}$ và $3 \vec{D N} = 2 \vec{D C} .$ Tính vectơ $\vec{M N}$ theo hai vectơ $\vec{A D}, \vec{B C} .$

A. $\vec{M N} = \frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{1}{3} \vec{B C};$

B. $\vec{M N} = \frac{1}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B C};$

C. $\vec{M N} = \frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B C};$

D. $\vec{M N} = \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{1}{3} \vec{B C} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Ta có : $\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A D} + \vec{D N}$ và $\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B C} + \vec{C N} .$

Suy ra $3 \vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A D} + \vec{D N} + 2 (\vec{M B} + \vec{B C} + \vec{C N})$

$= (\vec{M A} + 2 \vec{M B}) + \vec{A D} + 2 \vec{B C} + (\vec{D N} + 2 \vec{C N}) .$

Theo bài ra, ta có: $\vec{M A} + 2 \vec{M B} = \vec{0}$ và $\vec{D N} + 2 \vec{C N} = \vec{0} .$ Thật vậy:

$3 \vec{A M} = 2 \vec{A B} \Leftrightarrow 3 \vec{A M} = 2 (\vec{A M} + \vec{M B})$

$\Leftrightarrow 3 \vec{A M} = 2 \vec{A M} + 2 \vec{M B}$

$\Leftrightarrow \vec{A M} = 2 \vec{M B}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{M B} - \vec{A M} = 0$

$\Leftrightarrow 2 \vec{M B} + \vec{M A} = 0$

$3 \vec{D N} = 2 \vec{D C} \Leftrightarrow 3 \vec{D N} = 2 (\vec{D N} + \vec{N C})$

$\Leftrightarrow 3 \vec{D N} = 2 \vec{D N} + 2 \vec{N C}$

$\Leftrightarrow \vec{D N} = 2 \vec{N C}$

$\Leftrightarrow \vec{D N} - 2 \vec{N C} = 0$

$\Leftrightarrow \vec{D N} + 2 \vec{C N} = 0$

Vậy $3 \vec{M N} = \vec{A D} + 2 \vec{B C} \Leftrightarrow \vec{M N} = \frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{B C} .$

Câu 2. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. $\vec{M N} = \vec{M D} + \vec{C N} + \vec{D C};$

B. $\vec{M N} = \vec{A B} - \vec{M D} + \vec{B N};$

C. $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C});$

D. $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{B C}) .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

- A đúng, vì $\vec{M D} + \vec{C N} + \vec{D C} = (\vec{M D} + \vec{D C}) + \vec{C N} = \vec{M C} + \vec{C N} = \vec{M N} .$

- B đúng, vì $\vec{A B} - \vec{M D} + \vec{B N} = (\vec{A B} + \vec{B N}) - \vec{M D} = \vec{A N} - \vec{A M} = \vec{M N} .$ (vì M là trung điểm của AD nên $\vec{A M} = \vec{M D}$ )

- C đúng, vì $\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A B} + \vec{B N}$ và $\vec{M N} = \vec{M D} + \vec{D C} + \vec{C N} .$

Suy ra $2 \vec{M N} = (\vec{M A} + \vec{M D}) + \vec{A B} + \vec{D C} + (\vec{B N} + \vec{C N}) = \vec{0} + \vec{A B} + \vec{D C} + \vec{0} = \vec{A B} + \vec{D C}$

$\Rightarrow \vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C}) .$

Vậy chỉ còn đáp án D.

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $\vec{D M} = \frac{1}{2} \vec{C D} + \vec{B C};$

B. $\vec{D M} = \frac{1}{2} \vec{C D} - \vec{B C};$

C. $\vec{D M} = \frac{1}{2} \vec{D C} - \vec{B C};$

D. $\vec{D M} = \frac{1}{2} \vec{D C} + \vec{B C} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Xét các đáp án ta thấy cần phân tích vectơ $\vec{D M}$ theo hai vectơ $\vec{D C}$ và $\vec{B C} .$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{D B} = \vec{D A} + \vec{D C} .$

Và M là trung điểm AB nên $2 \vec{D M} = \vec{D A} + \vec{D B}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{D M} = \vec{D A} + \vec{D A} + \vec{D C}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{D M} = 2 \vec{D A} + \vec{D C} .$

$\Leftrightarrow 2 \vec{D M} = - 2 \vec{B C} + \vec{D C}$ suy ra $\vec{D M} = \frac{1}{2} \vec{D C} - \vec{B C} .$

Câu 4: Cho tam giác ABC điểm M thuộc cạnh AB sao cho $3 A M = A B$ và N là trung điểm của AC. Tính $\vec{M N}$ theo $\vec{A B}$ và $\vec{A C} .$

A. $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A B};$

B. $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B};$

C. $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C};$

D. $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Vì N là trung điểm AC nên $2 \vec{M N} = \vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M A} + \vec{M A} + \vec{A C} .$

$\Leftrightarrow 2 \vec{M N} = 2 \vec{M A} + \vec{A C}$

Do M là điểm thuộc cạnh AB và 3AM = AB nên $\vec{A B} = 3 \vec{A M} = - 3 \vec{M A}$

Do đó, $2 \vec{M N} = 2 \vec{M A} + \vec{A C} = \frac{- 2}{3} \vec{A B} + \vec{A C}$

Suy ra $\vec{M N} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} .$

Câu 5: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N chia cạnh BC theo ba phần bằng nhau $B M = M N = N C .$ Tính $\vec{A M}$ theo $\vec{A B}$ và $\vec{A C} .$

A. $\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C};$

B. $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C};$

C. $\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C};$

D. $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Theo giả thiết ta có: $\vec{B M} = \vec{M N} = \vec{N C} = \frac{1}{3} \vec{B C}$

Ta có: $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B C} = \vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{A C} - \vec{A B}) = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} .$

Câu 6. Cho tam giác OAB vuông cân tại O cạnh OA = a. Tính 15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

A. a;

B. $(1 + \sqrt{2}) a;$

C. $a \sqrt{5};$

D. $2 a \sqrt{2} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi C là điểm đối xứng của O qua A $\Rightarrow O C = 2 a .$ Tam giác OBC vuông tại O có $B C = \sqrt{O B^{2} + O C^{2}} = a \sqrt{5} .$

Ta có : $2 \vec{O A} - \vec{O B} = \vec{O C} - \vec{O B} = \vec{B C},$ suy ra : 15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Câu 7. Cho tam giác OAB vuông cân tại O cạnh OA = a. Khẳng định nào sau đây sai:

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:

- Gọi C nằm trên tia đối của tia AO sao cho

$O C = 3 O A$ $\Rightarrow 3 \vec{O A} = \vec{O C} .$

Và D nằm trên tia đối của tia BO sao cho

$O D = 4 O B$ $\Rightarrow 4 \vec{O B} = \vec{O D} .$

Dựng hình chữ nhật OCED suy ra $\vec{O C} + \vec{O D} = \vec{O E}$ (quy tắc hình bình hành).

Ta có: 15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Do đó, A đúng

- B đúng, vì 15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

- D đúng, vì 15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Vậy chỉ còn đáp án C.

Câu 8. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $\vec{I B} + 2 \vec{I C} + \vec{I A} = \vec{0};$

B. $\vec{I B} + \vec{I C} + 2 \vec{I A} = \vec{0};$

C. $2 \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I A} = \vec{0};$

D. $\vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I A} = \vec{0} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Vì M là trung điểm BC nên $\vec{I B} + \vec{I C} = 2 \vec{I M} .$

Mặt khác I là trung điểm AM nên $\vec{I A} + \vec{I M} = \vec{0} .$

Suy ra $\vec{I B} + \vec{I C} + 2 \vec{I A} = 2 \vec{I M} + 2 \vec{I A} = 2 (\vec{I M} + \vec{I A}) = \vec{0} .$

Câu 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $\vec{A I} = \frac{1}{4} (\vec{A B} + \vec{A C});$

B. $\vec{A I} = \frac{1}{4} (\vec{A B} - \vec{A C});$

C. $\vec{A I} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C};$

D. $\vec{A I} = \frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Vì M là trung điểm BC nên

$\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M} .$ $(1)$

Mặt khác I là trung điểm AM nên

$2 \vec{A I} = \vec{A M} .$ $(2)$

Từ $(1), (2)$ suy ra $\vec{A B} + \vec{A C} = 4 \vec{A I} \Leftrightarrow \vec{A I} = \frac{1}{4} (\vec{A B} + \vec{A C}) .$

Câu 10. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $\vec{A G} = \frac{2}{3} (\vec{A B} + \vec{A C});$

B. $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C});$

C. $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{2} \vec{A C};$

D. $\vec{A I} = \frac{2}{3} \vec{A B} + 3 \vec{A C} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow \vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A M} .$

Và M là trung điểm của BC

$\Rightarrow \vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M} \Leftrightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) .$

Do đó $\vec{A G} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C}) .$

Câu 11: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính $\vec{A B}$ theo $\vec{A M}$ và $\vec{B C} .$

A. $\vec{A B} = \vec{A M} + \frac{1}{2} \vec{B C};$

B. $\vec{A B} = \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{A M};$

C. $\vec{A B} = \vec{A M} - \frac{1}{2} \vec{B C};$

D. $\vec{A B} = \vec{B C} - \frac{1}{2} \vec{A M} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có : $\vec{A B} = \vec{A M} + \vec{M B} = \vec{A M} - \frac{1}{2} \vec{B C} .$

Câu 12: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho $N C = 2 N A$ . Gọi K là trung điểm của MN. Khi đó :

A. $\vec{A K} = \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C} .$

B. $\vec{A K} = \frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C} .$

C. $\vec{A K} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C} .$

D. $\vec{A K} = \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Vì K là trung điểm của MN nên ta có :

Ta có : $\vec{A K} = \frac{1}{2} (\vec{A M} + \vec{A N})$ .

Mà M là trung điểm của AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho NC = 2AN nên ta có : 15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Do đó, $\vec{A K} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}) = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$

Câu 13: Cho hình bình hành ABCD. Tính $\vec{A B}$ theo $\vec{A C}$ và $\vec{B D} .$

A. $\vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{B D};$

B. $\vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{B D};$

C. $\vec{A B} = \vec{A M} - \frac{1}{2} \vec{B C};$

D. $\vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{A C} - \vec{B D} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{C B} + \vec{A D} = \vec{0} .$

Ta có : 15 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

$\Rightarrow 2 \vec{A B} = \vec{A C} + \vec{D B} + (\vec{C B} + \vec{A D}) = \vec{A C} + \vec{D B}$

$\Rightarrow \vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{B D} .$

Câu 14: Cho tam giác ABC và đặt $\vec{a} = \vec{B C}, \vec{b} = \vec{A C} .$ > Cặp vectơ nào sau đây cùng phương?

A. $2 \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + 2 \vec{b};$

B. $2 \vec{a} - \vec{b}, \vec{a} - 2 \vec{b};$

C. $5 \vec{a} + \vec{b}, - 10 \vec{a} - 2 \vec{b};$

D. $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Dễ thấy $- 10 \vec{a} - 2 \vec{b} = - 2 (5 \vec{a} + \vec{b})$ $\Rightarrow$ hai vectơ $5 \vec{a} + \vec{b}, - 10 \vec{a} - 2 \vec{b}$ cùng phương

Câu 15: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn $\vec{M A} = \vec{M B} + \vec{M C} .$ Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Ba điểm C, M, B thẳng hàng.

B. AM là phân giác trong của góc $\hat{B A C} .$

C. A, M và trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng.

D. $\vec{A M} + \vec{B C} = \vec{0} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi I, G lần lượt là trung điểm BC và trọng tâm tam giác ABC

Vì I là trung điểm BC nên $\vec{M B} + \vec{M C} = 2 \vec{M I} .$

Theo bài ra, ta có $\vec{M A} = \vec{M B} + \vec{M C}$ suy ra $\vec{M A} = 2 \vec{M I}$ $\Rightarrow$ $A, M, I$ thẳng hàng

Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABC $\Rightarrow G \in A I .$ $\Rightarrow$ A, M, G thẳng hàng.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Trắc nghiệm Ôn tập chương 4

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Từ khóa :

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Tổng hợp kiến thức

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (phần 108) Minh Nguyệt

Toán Lớp 1

dfh ggđ fgh Admin Vietjack

Toán Tổng hợp kiến thức

Hình lăng trụ là gì? Tính chất Hình lăng trụ; Các dạng hình lăng trụ thường gặp Van Anh

Toán Tổng hợp kiến thức

Cách chia số thập phân cho số tự nhiên, chia số thập phân cho số thập phân Van Anh

Tìm kiếm