Đáp án: A

Giải thích:

Một hoán vị của tập hợp gồm n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên và n ≥ 1).

Đáp án: B

Giải thích:

Điểm giống và khác giữa chỉnh hợp và tổ hợp là chỉnh hợp và tổ hợp đều chọn một số phần tử trong tập hợp, còn điểm khác nhau là chỉnh hợp là chọn sắp thứ tự, tổ hợp là chọn không sắp thứ tự.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: 6! =6.5.4.3.2.1 = 320

Đáp án: B

Giải thích:

Mỗi cách sắp xếp 10 học sinh trong tổ thành một hàng dọc là một hoán vị của 10 học sinh đó

Vậy có số cách để sắp xếp số học sinh trong tổ thành hàng dọc là 10!

Đáp án: A

Giải thích:

Số các tổ hợp chập k của n được tính bằng công thức : $C_n^k=\frac{k!(n-k)!}{n!}$  (0 ≤ k ≤ n).

Đáp án: D

Giải thích:

Để chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ có 3 phương án thực hiện như sau:

+ Phương án 1: Chọn 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ và 1 bông hồng trắng có:  $C_5^3.C_4^3.C_3^1$= 120 cách

+ Phương án 2: Chọn 4 bông hồng vàng, 3 bông hồng đỏ có:  $C_5^4.C_4^3$= 20 cách

+ Phương án 3: Chọn 3 bông hồng vàng, 4 bông hồng đỏ có:  $C_5^3.C_4^4$= 10 cách

Vậy có: 120 + 20 + 10 = 150 cách chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm có dạng $\overline{abc}(a\ne 0)$

- Chọn c ∈ {2; 8} có 2 cách chọn

- Chọn a, b :

Mỗi cách chọn 2 số từ 4 số còn lại và sắp xếp vào vị trí a , b là một chỉnh hợp chập 2 của 4

Do đó, có: $A_4^2$ = 12 cách

Vậy có 2.12 =24 số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được lấy từ tập hợp E.

Đáp án: B

Giải thích:

Mỗi cách chọn 3 học sinh từ 30 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 30 . Do đó, số cách chọn 3 học sinh bất kì từ 30 học sinh của lớp học là: $C_{30}^3$ = 4060

Mỗi cách chọn 3 học sinh nam từ 20 học sinh nam là một tổ hợp chập 3 của 20 . Do đó, số cách chọn 3 học sinh nam từ 20 học sinh nam của lớp học là: $C_{20}^3$ = 1140

Vậy số cách chọn một nhóm 3 học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh nữ là: 4060 – 1140 = 2920 cách.

Đáp án: A

Giải thích:

Để bạn Chi ngồi ở giữa chỉ có 1 sự lựa chọn

Số cách xếp 4 bạn sinh An, Bình, Dũng, Lệ vào 4 chỗ còn lại là một hoán vị của 4 phần tử nên có có 4! = 24 cách.

Vậy có 1.24 = 24 cách xếp.

Đáp án: A

Giải thích:

Để số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II có 3 phương án:

+ Phương án 1: 3 bóng đèn loại I và 2 bóng đèn loại II có $C_5^3.C_7^2$ = 210 cách

+ Phương án 2: 4 bóng đén loại I và 1 bóng đèn loại II có: $C_5^4.C_7^1$ = 35 cách

+ Phương án 3: 5 bóng đèn loại I có 1 cách

Áp dụng quy tắc cộng có 210 + 35 + 1 = 246 khả năng xảy ra số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II .

Đáp án: C

Giải thích:

Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 38 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 38

Vậy có = 8436 cách chọn 3 học sinh cho vị trí ban cán sự.

Đáp án: C

Giải thích:

Mỗi tập hợp con 8 phần tử của tập hợp được tạo thành là một tổ hợp chập 8 của 10

Vậy số tập hợp con có 8 phần tử của E là: $C_{10}^8=45$

Đáp án: A

Giải thích:

Sắp xếp 5 sinh viên vào 5 vị trí là một hoán vị của 5

Vậy có 5! = 120 cách phân công vị trí cho 5 sinh viên

Đáp án: A

Giải thích:

Mối cách chọn ra 4 chữ số khác nhau từ tập S và sắp xếp để tạo thành số có 4 chữ số là một chỉnh hợp chập 4 của 6

Vậy có $A_6^4$ = 360 số tự nhiên có 4 chữ số được tạo thành từ 4 chữ số khác nhau của tập hợp S

Đáp án: D

Giải thích:

Mỗi cách chọn 2 đỉnh trong 6 đỉnh để sắp xếp thành một vectơ là một chỉnh hợp chập 2 của 6

Vậy có $A_6^2$ vectơ khác $\overrightarrow{0}$, có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh của lục giác ABCDEF

III. Vận dụng

Đáp án: C

Giải thích:

Xếp hai bạn vào 2 trong 3 ghế mang số chẵn có $A_3^2$ cách.

Xếp hai bạn vào 2 trong 3 ghế mang số lẻ có $A_3^2$ cách.

Xếp 2 bạn vào 2 vị trí còn lại có 2! cách.

Vậy số cách sắp xếp để thoả mãn yêu cầu của các bạn đó là: 2!.$A_3^2$.$A_3^2$ = 72 cách.

Đáp án: A

Giải thích:

Vì mỗi lọ cắm không quá một bông nghĩa là 3 bông hoa sẽ được cắm vào 3 lọ khác nhau

Như vậy mỗi cách chọn 3 lọ hoa trong 5 lọ để cắm hoa là một tổ hợp chập 3 của 5.

Vậy có cách để cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ hoa.

Đáp án: D

Giải thích:

Điều kiện: x, y ∈ ℕ; x ≤ y

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}2A_y^x+5C_y^x=90\\ 5A_y^x-2C_y^x=80\end{array}\right.$⇔$\left\{\begin{array}{l}{A}_y^x=20\\ C_y^x=10\end{array}\right.$

Ta có: $A_y^x=x!C_y^x$ hay 20 = x!.10 ⇒ x! = 2 ⇒ x = 2

Mặt khác, ta có: $A_y^2=20$

⇔$\frac{y!}{(y-2)!}=20$

⇔$\frac{(y-2)!.(y-1).y}{(y-2)!}=20$

⇔ y(y – 1) = 20

⇔ y² – y – 20 = 0

⇔$\left[\begin{array}{l}y=5\\ y=-4\end{array}\right.$

Theo điều kiện chọn y = 5

Vậy x = 2 và y = 5.

Đáp án: C

Giải thích:

Chọn 3 điểm bất kì trong n + 6 điểm đã cho có $C_{n+6}^3$ cách

Trên cạnh CD chọn ra được 1 bộ ba điểm thẳng hàng.

Trên cạnh DA chọn được $C_n^3$ bộ ba điểm thẳng hàng.

Vì mỗi tam giác được tạo thành từ  3 điểm không thẳng hàng.

Nên số tam giác được tạo thành là $C_{n+6}^3$ – $C_n^3$ – 1 = 439

⇔ $C_{n+6}^3-C_n^3$ = 440
⇔ $\frac{(n+6)!}{3!(n+3)!}-\frac{n!}{3!(n-3)!}$ = 440

⇔  $\frac{(n+6)(n+5)(n+4)(n+3)!}{6(n+3)!}-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{6(n-3)!}$ = 440

⇔  $\frac{(n+6)(n+5)(n+4)}{6}-\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ = 440

⇔ (n + 6)(n + 5)(n + 4) – n(n – 1)(n – 2) = 2640

⇔ n³ + 15n² + 74n + 120 – (n³ – 3n² + 2n) = 2640

⇔18n² + 72n + 120 = 2640

⇔ n² + 4n – 140 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}n=10\\ n=-14\end{array}\right.$

Vậy n = 10.

Đáp án: A

Giải thích:

Điều kiện : n ≥ 2; n ∈ ℕ

Ta có: $A_n^2+3C_{n-1}^1=45$

⇔ $\frac{n!}{(n-2)!}+3\frac{(n-1)!}{1!(n-2)!}=45$

⇔$\frac{(n-2)!(n-1)n}{(n-2)!}+3\frac{(n-2)!(n-1)}{(n-2)!}=45$

⇔$(n-1)n+3(n-1)=45$

⇔ n² + 2n + 48 = 0

⇔$\left[\begin{array}{l}n=6\\ n=-8\end{array}\right.$

Theo điều kiện thì n = 6.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: