Khai triển (z^2 + 1 + 1/z)^4

Nguyễn Thị Thuỳ Linh Ngày: 21-11-2022 Lớp 10

1.7 K

Với giải Bài 8.17 trang 57 SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 25: Nhị thức Newton giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 25: Nhị thức Newton

Bài 8.17 trang 57 SBT Toán 10 Tập 2: Khai triển ${(z^{2} + 1 + \frac{1}{z})}^{4}$ .

Lời giải:

Trước hết, ta sử dụng công thức khai triển của (a + b)⁴ với a = z² + 1 và $b = \frac{1}{z}$ .

Sau đó, ta sử dụng các công thức khai triển của (a + b)⁴, (a + b)³, (a + b)² với a = z², b = 1 để có:

${(z^{2} + 1)}^{4} = C_{4}^{0} . {(z^{2})}^{4} + C_{4}^{1} . {(z^{2})}^{3} .1 + C_{4}^{2} . {(z^{2})}^{2} {.1}^{2} + C_{4}^{3} . z^{2} {.1}^{3} + C_{4}^{4} {.1}^{4}$

= z⁸+ 4z⁶ + 6z⁴ + 4z² + 1

${(z^{2} + 1)}^{3} = C_{3}^{0} . {(z^{2})}^{3} + C_{3}^{1} . {(z^{2})}^{2} .1 + C_{3}^{2} . z^{2} {.1}^{2} + C_{3}^{3} {.1}^{3}$

= z⁶ + 3z⁴ + 3z² + 1

(z² + 1)² = z⁴ + 2z² + 1

Vậy ta có:

${(z^{2} + 1 + \frac{1}{z})}^{4} = {[(z^{2} + 1) + \frac{1}{z}]}^{4} = C_{4}^{0} . {(z^{2} + 1)}^{4} + C_{4}^{1} {(z^{2} + 1)}^{3} \frac{1}{z} + C_{4}^{2} {(z^{2} + 1)}^{2} \frac{1}{z^{2}} + C_{4}^{3} (z^{2} + 1) \frac{1}{z^{3}} + C_{4}^{4} \frac{1}{z^{4}} = {(z^{2} + 1)}^{4} + 4 {(z^{2} + 1)}^{3} \frac{1}{z} + 6 {(z^{2} + 1)}^{2} \frac{1}{z^{2}} + 4 (z^{2} + 1) \frac{1}{z^{3}} + \frac{1}{z^{4}} = (z^{8} + 4 z^{6} + 6 z^{4} + 4 z^{2} + 1) + 4 (z^{6} + 3 z^{4} + 3 z^{2} + 1) \frac{1}{z} + 6 (z^{4} + 2 z^{2} + 1) \frac{1}{z^{2}} + 4 (z^{2} + 1) \frac{1}{z^{3}} + \frac{1}{z^{4}} = z^{8} + 4 z^{6} + 4 z^{5} + 6 z^{4} + 12 z^{3} + 10 z^{2} + 12 z + 13 + \frac{8}{z} + \frac{6}{z^{2}} + \frac{4}{z^{3}} + \frac{1}{z^{4}}$