Chứng minh rằng: a^3 + b^3 = (a +b)^3

Chứng minh rằng: a^3 + b^3 = (a +b)^3 - 3ab(a + b)

Đức Long Ngày: 23-09-2022 Lớp 8

365

Với giải bài 31 trang 16 Toán lớp 8 chi tiết trong Bài 5: Những hàng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 5: Những hàng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

Bài 31 trang 16 sgk Toán 8 tập 1: Chứng minh rằng:

a) $a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b)$

b) $a^{3} - b^{3} = {(a - b)}^{3} + 3 a b (a - b)$

Áp dụng: Tính $a^{3} + b^{3}$ , biết $a . b = 6$ và $a + b = - 5.$

Phương pháp giải: - Biến đổi vế phải của đẳng thức về vế trái đẳng thức.

- Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ: lập phương của một tổng hoặc một hiệu, tổng (hiệu) hai lập phương, nhân đơn thức với đa thức.

Lời giải:

a) $a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b)$

Biến đổi vế phải:

$\begin{aligned} {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b) \\ = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + (- 3 a b) . a + (- 3 a b) . b \\ = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - 3 a^{2} b - 3 a b^{2} \\ = a^{3} + (3 a^{2} b - 3 a^{2} b) + (3 a b^{2} - 3 a b^{2}) + b^{3} \\ = a^{3} + b^{3} \end{aligned}$

Vậy $a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b)$

b) $a^{3} - b^{3} = {(a - b)}^{3} + 3 a b (a - b)$

Biến đổi vế phải:

$\begin{aligned} {(a - b)}^{3} + 3 a b (a - b) \\ = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} + 3 a b . a + 3 a b . (- b) \\ = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} \\ = a^{3} + (3 a^{2} b - 3 a^{2} b) + (3 a b^{2} - 3 a b^{2}) - b^{3} \\ = a^{3} - b^{3} \end{aligned}$