Với giải sách bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 1.21 trang 19 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2+3x-10}{x-2}$ . Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng không?

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+5\right)}{x-2}$= $\underset{x\to 2}{\lim }$(x + 5) = 7.

Hơn nữa y = f(x) liên tục tại mọi điểm x ≠ 2. Do đó, đồ thị hàm f(x) không có tiệm cận đứng.

Bài 1.22 trang 19 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) y = $\frac{x+1}{2x-3};$

b) y = $\frac{3x-1}{x+2}.$

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{2x-3}=\frac{1}{2}$ ;

               $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{2x-3}=\frac{1}{2}$ .

Do đó, đường thẳng y = $\frac{1}{2}$  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

              $\underset{x\to {\frac{3}{2}}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\frac{3}{2}}^{+}}{\lim }\frac{x+1}{2x-3}=+\infty$ ;

              $\underset{x\to {\frac{3}{2}}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\frac{3}{2}}^{-}}{\lim }\frac{x+1}{2x-3}=-\infty$ .

Do đó, đường thẳng x = $\frac{3}{2}$  là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x-1}{x+2}=3$ ;

               $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x-1}{x+2}=3$ .

Do đó, đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

              $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{3x-1}{x+2}=-\infty$ ;

              $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{3x-1}{x+2}=+\infty$ .

Do đó, đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài 1.23 trang 19 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2-x-5}{x-2};$

b) y = $\frac{3x^2+8x-2}{x+3}.$

Lời giải:

a) $y=\frac{x^2-x-5}{x-2};$

Ta có: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-x-5}{x-2}=-\infty$ ;

           $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2-x-5}{x-2}=+\infty$ .

Do đó, đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

            $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-x-5}{\left(x-2\right)x}=1$ .

            $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(y-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{x^2-x-5}{x-2}-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-5}{x-2}=1$ .

Do đó đường thẳng y = x + 1 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) y = $\frac{3x^2+8x-2}{x+3}$

Ta có: $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{3x^2+8x-2}{x+3}=+\infty$ ;

          $\underset{x\to -3^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -3^{-}}{\lim }\frac{3x^2+8x-2}{x+3}=-\infty$

Do đó đường thẳng x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

           $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2+8x-2}{\left(x+3\right)x}=3$ .

           $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(y-3x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{3x^2+8x-2}{x+3}-3x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x-2}{x-2}=-1$.

Do đó đường thẳng y = 3x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài 1.24 trang 19 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hãy tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang và đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y$ = −∞; $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y$  = +∞.

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y$ = 3, do đó đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 1.25 trang 19 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)=\frac{1}{2+f\left(x\right)}.$

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$  = 1 và $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$  = −1.

Suy ra $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$  = $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2+f\left(x\right)}$  = $\frac{1}{3}$

          $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)$  = $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{2+f\left(x\right)}$  = −1 

Do đó, đường thẳng y = −1 và y = $\frac{1}{3}$  là hai đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x).  

Bài 1.26 trang 20 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$  có đồ thị (C). Tính tích khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc (C) đến hai đường tiệm cận của nó.

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{x-1}=1$ ;

          $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{x-1}=1$ .

Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

          $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x+1}{x-1}=+\infty$ ;

          $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+1}{x-1}=-\infty$ .

Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cận ngang y = 1.

Lấy M(x₀; y₀) ∈ (C) với $y_0=\frac{x_0+1}{x_0-1}$ .

Ta có: khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng là d₁ = | x₀ – 1|, khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là d₂ = $\left|\frac{x_0+1}{x_0-1}-1\right|=\frac{2}{\left|x_0-1\right|}$ .

Vậy tích khoảng cách là:d₁d₂ = $\left|x_0–1\right|$ . $\frac{2}{\left|x_0-1\right|}$  = 2.

Bài 1.27 trang 20 SBT Toán 12 Tập 1: Gọi I là giao điểm giữa tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+3}{x-2}$ . Cho điểm K(3; 5), tính hệ số góc của đường thẳng qua I và K.

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2x+3}{x-2}=+\infty$ ;

           $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2x+3}{x-2}=-\infty$ .

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

          $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x+3}{x-2}=2$ ;

           $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+3}{x-2}=2$ .

Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Suy ra điểm I(2; 2).

Đường thẳng đi qua I(2; 2) và K(3; 5) có hệ số góc là: a = $\frac{5-2}{3-2}=3$ .

Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm I và K là 3.

Bài 1.28 trang 20 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+3}}{x-1}$  có đồ thị như hình sau:

Hãy tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+3}}{x-1}=+\infty$ ;

           $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+3}}{x-1}=-\infty$ .

Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

          $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+3}}{x-1}=-1$ ;

           $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+3}}{x-1}=1$ .

Do đó, đường thẳng y = 1 và y = −1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 1.29 trang 20 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x+2}{x-3}$  có đồ thị (C). Gọi tổng khoảng cách từ một điểm (x; y) ∈ (C), với x > 3, tới hai đường tiệm cận của (C) là g(x). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = g(x).

Lời giải:

Đồ thị hàm số f(x) có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3 và đường tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

Khoảng cách từ điểm M(x; y) ∈ (C), x > 3 đến tiệm cận đứng là d₁ = x – 3.

Khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang là d₂ = $\frac{x+2}{x-3}-1=\frac{5}{x-3}$ .

Vậy g(x) = d₁ + d₂ = x – 3 + $\frac{5}{x-3}$ .

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[x–3+\frac{5}{x-3}\right]=-\infty .$ ;

          $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x–3+\frac{5}{x-3}\right]=+\infty .$

Do đó đồ thị hàm số g(x) không có tiệm cận ngang

          $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left[x–3+\frac{5}{x-3}\right]=-\infty .$ ;

          $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left[x–3+\frac{5}{x-3}\right]=+\infty .$

Do đó, đường thẳng x = 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

  $$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(g\left(x\right)-(x-3)\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x–3+\frac{5}{x-3}-(x-3)\right] \\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5}{x-3}=0. \end{gathered}$$

Do đó đường thẳng y = x – 3 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài 1.30 trang 20 SBT Toán 12 Tập 1: Một bình chứa 200 ml dung dịch muối với nồng độ 5 mg/ml.

a) Tính nồng độ dung dịch muối trong bình sau khi thêm vào x ml dung dịch muối với nồng độ 10 mg/ml.

b) Phải thêm bao nhiêu mililít vào bình để có dung dịch muối với nồng độ 9 mg/ml? Nồng độ muối trong bình có thể đạt đến 10 mg/ml được không?

Lời giải:

a) Nồng độ dung dịch muối sau khi thêm vào x ml dung dịch muối với nồng độ 10 mg/ml là: C(x) = $\frac{200.5+10.x}{200+x}=\frac{1000+10x}{200+x}$ .

b) Để dung dịch muối với nồng độ 9mg/ml, ta phải thêm vào bình x ml với x thỏa mãn

C(x) = 9 ⇔ $\frac{1000+10x}{200+x}$ = 9 ⇔ x = 800 (ml).

Ta có: C(x) = $\frac{1000+10x}{200+x}$

           C'(x) = $\frac{1000}{x+200}$  > 0, ∀x ∈ (0; +∞).

Hàm C(x) luôn đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Nhận thấy $\underset{x\to +\infty }{\lim }C\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1000+10x}{200+x}=10$ .

Do đó, nồng độ muối trong bình không thể đạt đến 10 mg/ml.

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng $y=y_0$ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=y_0$

Ví dụ: Tìm TCN của đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{3x-2}{x+1}$

Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x-2}{x+1}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x-2}{x+1}=3$

Vậy đồ thị hàm số f(x) có TCN là y = 3.

2. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng $x=x_0$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty };\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty };\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty };\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$;

Ví dụ: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{3-x}{x+2}$

Ta có: $\underset{x\to -2^{+}}{lim}\frac{3x-2}{x+2}=+\mathrm{\infty }$

Vậy đồ thị hàm số có TCĐ là x = -2

3. Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng $y=ax+b(a\ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$

Ví dụ: Tìm TCX của đồ thị hàm số $y=f(x)=x+\frac{1}{x+2}$

Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[f(x)-x\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x+2}=0$

Vậy đồ thị hàm số có TCX là y = x

Sơ đồ tư duy Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: