2. Định lý

Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

Tổng quát: Δ ABC,DE//BC ( D ∈ AB; E ∈ AC ).

Ta có: Δ ADE ∼ Δ ABC

Chú ý: Định lí cũng đúng cho trường hợp đường thẳng d cắt phần kéo dài của hai tam giác song song với cạnh còn lại.

C. Các dạng bài tập Tam giác đồng dạng

1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng – trường hợp đồng dạng thứ nhất (C-C-C)

Phương pháp giải

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

+) Xếp các cạnh của hai tam giác theo cùng một thứ tự (chẳng hạn từ nhỏ tới lớn).

+) Lập ba tỉ số, nếu chúng bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng.

Ví dụ: Cho  theo tỉ số  theo tỉ số k₂. Chứng minh  theo tỉ số ?

Lời giải:

2. Chứng minh hai tam giác đồng dạng – trường hợp đồng dạng thứ hai (C–G–C)

Phương pháp giải

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng. 

Như vậy, nếu hai tam giác ΔABC và ΔA₁B₁C₁ thỏa mãn:

Và khi đó, ta có ngay :

+) Xét hai tam giác, chọn ra hai góc bằng nhau, xét tỉ số hai cạnh tạo nên mỗi góc đó. Nếu hai tỉ số bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng.

Ví dụ: Cho ΔABC có AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 5cm.

a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác nào ?

b. Tính độ dài CD.

c. Chứng minh rằng .

Lời giải:

a. Ta có :

3. Chứng minh hai tam giác đồng dạng - trường hợp đồng dạng thứ ba (G-G)

Phương pháp giải

Định lí: Nếu hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.

Như vậy, nếu hai tam giác ΔABC và ΔA₁B₁C₁ thỏa mãn:

Và khi đó ta có:

Ví dụ: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AD, đường phân giác BE. Giả sử AD cắt BE tại F. Chứng minh rằng .

Lời giải:

Trong ΔABD có BF là phân giác suy ra:

     (tính chất)   (1)

Với hai tam giác ΔABD và ΔABC, ta có nhận xét:

(cặp cạnh tương ứng)                                                             

Trong ΔABC có BE là phân giác suy ra:

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra  đpcm.