Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chương 2: Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Chương 2: Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

A. Lý thuyết Toán 9 Chương 2: Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Khái niệm bất đẳng thức

Hệ thức dạng a > b (hay a < b, a ≥ b, a ≤ b), được gọi là bất đẳng thức và a được gọi là vế trái, b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

2. Tính chất của bất đẳng thức

2.1. Tính chất bắc cầu

Cho ba số a, b, c. Nếu a > b và b > c thì a > c (tính chất bắc cầu).

Chú ý: Tính chất bắc cầu vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥ , ≤ .

2.2. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Cho ba số a, b và c. Nếu a > b thì a + c > b + c.

Chú ý: Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥ , ≤ .

2.3. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

• Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

• Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

• Cho ba số a, b và c và a > b.

− Nếu c > 0 thì a . c > b . c;

− Nếu c < 0 thì a . c < b . c.

Chú ý: Tính chất này vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥ , ≤ .

3. Bất phương trình bậc nhất một ẩn, nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn

3.1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0), với a, b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn x).

3.2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn

Với bất phương trình bậc nhất có ẩn là x, số x₀ được gọi là một nghiệm của bất phương trình nếu ta thay x = x₀ thì nhận được một khẳng định đúng.

Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

4. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Xét bất phương trình ax + b > 0 (a ≠ 0).

–Cộng hai vế của bất phương trình với −b, ta được bất phương trình: ax > −b.

– Nhân hai vế của bất phương trình nhận được với $\frac{1}{a}$

+ Nếu a > 0 thì nhận được nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x>-\frac{b}{a}.$

+ Nếu a < 0 thì nhận được nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x<-\frac{b}{a}.$

Với các bất phương trình ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0, ta thực hiện các bước giải tương tự.

Chú ý: Bằng cách sử dụng các tính chất của bất đẳng thức, ta có thể giải một số bất phương trình đưa được về bất phương trình bậc nhất một ẩn.

B. Bài tập Toán 9 Chương 2: Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Hãy chỉ ra các bất đẳng thức diễn tả mỗi khẳng định sau:

a) a nhỏ hơn 7;

b) b lớn hơn –1;

c) m lớn hơn hoặc bằng 8;

d) n nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

a) Bất đẳng thức diễn tả a nhỏ hơn 7 là: a < 7.

b) Bất đẳng thức diễn tả b lớn hơn –1là: b > –1.

c) Bất đẳng thức diễn tả m lớn hơn hoặc bằng 8 là: m ≥ 8.

d) Bất đẳng thức diễn tả n nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}$ là: $n\le \frac{1}{2}.$

Bài 2. Hãy cho biết các bất đẳng thức được tạo thành khi:

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức a > 2 với −3;

b) Cộng hai vế của bất đẳng thức 2a² ≥ b – 1 với 7;

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức a < 1 với (–2), rồi tiếp tục cộng với 5;

Hướng dẫn giải

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức a > 2 với −3 ta được:

a – 3> 2 – 3

a – 3> –1.

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là a – 3> –1.

b) Cộng hai vế của bất đẳng thức 2a² ≥ b – 1 với 7 ta được:

2a² + 7≤ b – 1 + 7

2a² + 7≤ b + 6.

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là 2a² + 7≤ b + 6.

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức a < 1 với (–2), rồi tiếp tục cộng với 5 ta được:

–2a > (–2) . 1

–2a + 5 > (–2) . 1 + 5

–2a + 5 > 3.

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là –2a + 5 > 3.

Bài 3. Cho hai số m, n thỏa mãn m < n. Chứng tỏ:

a) m – 5 < n – 4;

b) 3m + n < 4n;

c) –5m – 2 > –5m – 2.

Hướng dẫn giải

a) Trừ hai vế của bất đẳng thức m < n cho 5, ta được:

m – 5 < n – 5. (1)

Cộng hai vế của bất đẳng thức –5 < –4 cho n, ta được:

–5 + n < –4 + n hay n – 5 < n – 4. (2)

Từ (1) và (2) suy ra m – 5 < n – 4 (điều phải chứng minh).

b) Nhân hai vế của bất đẳng thức m < n cho 3, ta được: 3m < 3n.

Cộng hai vế của bất đẳng thức 3m < 3n cho n, ta được:

3m + n < 4n; (điều phải chứng minh).

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức m < n cho (–5), ta được: –2m > –2n.

Cộng hai vế của bất đẳng thức –2m > –2n cho (–2), ta được:

–5m – 2 > –5m – 2 (điều phải chứng minh).

Bài 4. Tìm x sao cho:

a) Giá trị của biểu thức 2x + 6 là số dương;

b) Giá trị của biểu thức 4x – 1 là số không âm.

Hướng dẫn giải

a) Giá trị của biểu thức 2x + 6 là số dương. Ta có:

2x + 6 > 0

2x > –6

x > –3.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > –3.

b) Giá trị của biểu thức 4x – 1 là số không âm. Ta có:

4x – 1 ≤ 0

4x ≤1

$x\le \frac{1}{4}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{1}{4}$

Bài 5. Giải các bất phương trình sau:

a) –3x + 2 ≥ 3;

b) 3 + 2x > 7 – 5x;

c) $\frac{2}{3}\left(2x+3\right)<7-4x$

Hướng dẫn giải

a) Ta có –3x + 2 ≥ 3

–3x ≥ 1

$x\le \frac{1}{-3}$

$x\le \frac{-1}{3}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{-1}{3}$

b) Ta có: 3 + 2x > 7 – 5x

2x + 5x > 7 – 3

7x > 4

$x>\frac{4}{7}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x>\frac{4}{7}$

c) Ta có:$\frac{2}{3}\left(x+6\right)<5-2x$

$\frac{2}{3}x+4<5-2x$

$\frac{2}{3}x+2x<5-4$

$\frac{8}{3}x<1$

$x<\frac{3}{8}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x<\frac{3}{8}$

Bài 6. Bất đẳng thức m ≥ 7 có thể được phát biểu là

A. m lớn hơn 7.

B. m nhỏ hơn 7.

C. m không nhỏ hơn 7.

D. m không lớn hơn 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bất đẳng thứcm ≥ 7 có thể được phát biểu là m lớn hơn hoặc bằng 7 haym không nhỏ hơn 7.

Bài 7. Hệ thức nào sau đây là bất đẳng thức?

A. x + 6 = 0.

B. y² + 1 ≥ 0.

C. x² – 7x + 6 = 0.

D. 3x = y.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

• Các hệ thức x + 6 = 0; x² – 7x + 6 = 0; 3x = y là đẳng thức.

•Hệ thức y² ≥ 0 là bất đẳng thức.

Bài 8. Cho các số thực x, y, z biết x < y. Khẳng định nào sau đây sai?

A. x + z < y + z.

B. x – z < y – z.

C. xz < yz nếu z dương.

D. xz < yz nếu z âm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với x < y thì xz < yz nếu z âm.

Bài 9. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. x + 2y > 0.

B. 2x² + 5 < 0.

C.−5x + 1 ≤ 0.

D.0x – 8 < 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Bất phương trình x + 2y > 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì xuất hiện hai ẩn x và y.

• Bất phương trình 2x² + 5 < 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì vì 2x²có bậc là 2.

• Bất phương trình −5x + 1 ≤ 0 là phương trình bậc nhất một ẩn với a = −5 ≠ 0; b = 1.

• Bất phương trình 0x – 8 < 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì a = 0.

Bài 10. Nghiệm của bất phương trình 5 - 2x ≥ 0 là

A. $x\ge \frac{5}{2}.$

B. $x\ge -\frac{5}{2}.$

C. $x\le -\frac{5}{2}.$

D. $x\le \frac{5}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: 5 - 2x ≥ 0

5 ≥ 2x

2x ≤ 5

$x\le \frac{5}{2}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{5}{2}.$