Với giải Bài 5 trang 43 Toán 12 Tập 1 Cánh diều chi tiết trong Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 5 trang 43 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = 2x³ – 3x² + 1;

b) y = – x³ + 3x² – 1;

c) y = (x – 2)³ + 4;

d) y = – x³ + 3x² – 3x + 2;

e) $y = \frac{1}{3}{x}^3 + x^2 + 2x + 1;$

g) y = – x³ – 3x.

Lời giải:

a) y = 2x³ – 3x² + 1

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = +$\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - $\infty$.

● y' = 6x² – 6x;

y' = 0 ⇔ 6x² – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (1; + ∞); nghịch biến trên khoảng (0; 1).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 1; đạt cực tiểu tại x = 1, y_CT = 0.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 1).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình 2x³ – 3x² + 1 = 0 ta được x = $-\frac{1}{2}$ hoặc x = 1.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại các điểm $\left(-\frac{1}{2}; 0\right)$, (1; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 0), (0; 1), $\left(-\frac{1}{2}; 0\right)$, (– 1; – 4) và $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.

Vậy đồ thị hàm số y = 2x³ – 3x² + 1 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I$\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.

b) y = – x³ + 3x² – 1

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = – ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = + ∞.

● y' = – 3x² + 6x;

y' = 0 ⇔ – 3x² + 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 2); nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y_CĐ = 3; đạt cực tiểu tại x = 0, y_CT = – 1.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 1).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình – x³ + 3x² – 1 = 0, ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 3), (0; – 1), (1; 1), (2; 3) và (3; – 1).

Vậy đồ thị hàm số y = – x³ + 3x² – 1 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(1; 1).

c) Ta có y = (x – 2)³ + 4 = x³ – 6x² + 12x – 8 + 4 = x³ – 6x² + 12x – 4.

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = +$\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = -$\infty$ .

● y' = 3x² – 12x + 12 = 3(x – 2)²;

y' ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

y' = 0 khi x = 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 4).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình x³ – 6x² + 12x – 4 = 0, ta thấy phương trình có 1 nghiệm nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; – 4), (1; 3), (2; 4) và (3; 5).

Vậy đồ thị hàm số y = (x – 2)³ + 4 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(2; 4).

d) y = – x³ + 3x² – 3x + 2

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = – ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = + ∞.

● y' = – 3x² + 6x – 3 = – 3(x – 1)² ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ;

y' = 0 khi x = 1.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình – x³ + 3x² – 3x + 2 = 0 ta được x = 2.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (2; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 2), (2; 0) và (1; 1).

Vậy đồ thị hàm số y = – x³ + 3x² – 3x + 2 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(1; 1).

e) $y = \frac{1}{3}{x}^3 + x^2 + 2x +1$

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = + ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - ∞.

● y' = x² + 2x + 2 = (x + 1)² + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ;

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 1).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $\frac{1}{3}{x}^3 + x^2 + 2x +1$ = 0 ta thấy có 1 nghiệm nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 1), $\left(-1; -\frac{1}{3}\right)$.

Vậy đồ thị hàm số y = $\frac{1}{3}{x}^3 + x^2 + 2x +1$ được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I$\left(-1; -\frac{1}{3}\right)$.

g) y = – x³ – 3x

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = - ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = + ∞.

● y' = – 3x² – 3 = – 3(x² + 1) < 0 với mọi x ∈ ℝ;

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 0), (– 1; 4) và (1; – 4).

Vậy đồ thị hàm số y = – x³ – 3x được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm O(0; 0).