Tài liệu chuyên đề Đại số tổ hợp Toán lớp 10 sách Cánh diều gồm lý thuyết và các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 10. 

Chỉ từ 450k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 10 Cánh diều word có lời giải chi tiết:

B1: Gửi phí vào tài khoản0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)

B2: Nhắn tin tới zalo Vietjack Official - nhấn vào đây

Xem thử tài liệu tại đây: Link tài liệu

Chuyên đề Đại số tổ hợp

Tài liệu gồm 4 Chuyên đề nhỏ, mời bạn đọc xem thử nội dung Chuyên đề Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp :

Chuyên đề 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 

I . HOÁN VỊ

1) Định nghĩa: Một hoán vị của một tập hợp có \(n\) phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự \(n\) phần tử đó (với \(n\) là số tự nhiên, \(n \ge 1\)).

2) Số các hoán vị của một tập hợp có \(n\) phần tử là

       \({P_n} = n! = n(n - 1)(n - 2)...1.\)

3) Ví dụ:

Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt thuộc tập \(\left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)?

Lời giải

Các số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt thuộc tập \(\left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) là một hoán vị của 5 phần tử.

Vậy có \({P_5} = 5! = 120\) số

Câu 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 hành khách:

a. Vào 5 ghế xếp thành một dãy.

b. Vào 5 ghế xung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này.

Lời giải

a. 5 hành khách xếp vào 5 ghế của một dãy là một hoán vị 5 phần tử. Do đó có \({P_5} = 5! = 120\) cách xếp.

b. Vì bàn tròn không phân biệt đầu cuối nên để xếp 5 người ngồi quanh một bàn tròn ta cố định 1 người và xếp 4 người còn lại quanh người đã cố định. Vậy có \({P_4} = 4! = 24\) cách xếp

Chú ý:

+ Có \(n!\) cách xếp n người vào n ghế xếp thành một dãy.

+ Có \(\left( {n - 1} \right)!\) cách xếp n người vào n ghế xếp quanh một bàn tròn nếu không có sự phân biệt giữa các ghế.

II . CHỈNH HỢP

1) Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập \[k\] của \[n\] là một cách sắp xếp có thứ tự \(k\) phần tử từ một tập hợp \(n\) phần tử (với \(k,\;n\) là các số tự nhiên, \(1 \le k \le n\)).

2) Số các chỉnh hợp chập \(k\) của một tập hợp có \(n\) phần tử \(1 \le k \le n\) là

       \(A_n^k = n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1) = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\) .

3) Ví dụ:

Câu 1: Một tổ trực gồm 8 nam và 6 nữ. Giáo viên muốn chọn ra 5 học sinh trực. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu nhóm này có ít nhất một nữ sinh.

Lời giải

Cách 1:Làm trực tiếp

- Chọn 1 nữ, 4 nam có \(C_6^1C_8^4\)

- Chọn 2 nữ, 3 nam có \(C_6^2C_8^3\)

- Chọn 3 nữ, 2 nam có \(C_6^3C_8^2\)

- Chọn 4 nữ, 1 nam có \(C_6^4C_8^1\)

- Chọn 5 nữ \(C_6^5\)

Vậy có \(C_6^1C_8^4\)+ \(C_6^2C_8^3\)+ \(C_6^3C_8^2\) + \(C_6^4C_8^1\)+ \(C_6^5 = 1946\) cách.

Cách 2: Làm gián tiếp

Chọn 5 học sinh nam có \(C_8^5 = 56\) cách

Để chọn 5 học sinh bất kì trong 14 học sinh có \(C_{14}^5 = 2002\) cách

Vậy số cách chọn 5 học sinh có ít nhất 1 nữ là \(2002 - 56 = 1946\) cách

Câu 2: Có 30 câu hỏi gồm 15 dễ, 10 trung bình, 5 khó, sắp xếp thành các đề, mỗi đề có 5 câu đủ ba loại, số câu dễ không ít hơn hai. Hỏi lập được bao nhiêu đề?

Câu 3: Có bao nhiêu cách chia một lớp 40 học sinh thành 4 tổ sao cho mỗi tổ có 10 học sinh?

III. TỔ HỢP

1) Định nghĩa: Một tổ hợp chập \[k\] của \[n\] là một cách chọn \(k\) phần tử từ một tập hợp \(n\) phần tử (với \(k,\;n\) là các số tự nhiên, \(0 \le k \le n\)).

2) Số các tổ hợp chập \(k\) của một tập hợp có \(n\) phần tử \((1 \le k \le n)\) là

       \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}} = \frac{{n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1)}}{{k!}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)

3) Ví dụ:

Câu 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) được thành lập từ hai trong năm điểm trên?

Lời giải

Cứ hai điểm phân biệt sẽ lập được 2 vectơ do đó số vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) được lập từ 5 điểm A, B, C, D, E là một chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử.

Vậy có \(A_5^2 = 20\) vectơ.

Câu 2: Tổ 1 gồm 10 em, bầu ra 3 cán sự gồm một tổ trưởng, một tổ phó, một thư kí (không kiêm nhiệm) Hỏi có bao nhiêu cách.

Lời giải

Chọn 3 cán sự trong 10 bạn là một chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử.

Vậy có \(A_{10}^3 = 720\) cách.

IV. TÍNH CHẤT CỦA CÁC SỐ \(C_n^k\)

Tính chất 1:

Cho số nguyên dương \(n\) và số nguyên \(k\) với \(0 \le k \le n\) . Khi đó \(C_n^k = C_n^{n - k}\) .

Tính chất 2:

Cho các số nguyên \(n\) và \(k\) với \(1 \le k \le n\) . Khi đó \(C_{n + 1}^k = C_n^k + C_n^{k - 1}\).

 BÀI TẬP

Câu 1. Một họa sĩ cần trưng bày \(10\) bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để họa sĩ sắp xếp các bức tranh?

Câu 2. Từ các chữ số \(0,\,\,1,\,\,2,\,\,3,\,\,4\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

Câu 3. Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn \(100\)? Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn \(100\)?

Câu 4. Bạn Hà có \(5\) viên bi xanh và \(7\) viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng \(2\) viên bi khác màu?

Câu 5. Một câu lạc bộ cờ vua có \(10\) bạn nam và \(7\) bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn \(4\) bạn đi thi đấu cờ vua.

a) Có bao nhiêu cách chọn \(4\) bạn nam?

b) Có bao nhiêu cách chọn \(4\) bạn không phân biệt nam, nữ?

c) Có bao nhiêu cách chọn  \(4\) bạn, trong đó có \(2\) bạn nam và \(2\) bạn nữ?

Câu 6. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho \(5\) mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN

DẠNG 1: HOÁN VỊ:

Câu 1. Có hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. Xếp 5 nam, 5 nữ vào 2 dãy ghế trên, có bao nhiêu cách, nếu :

a . Nam và nữ được xếp tùy ý.       b. Nam 1 dãy ghế, nữ 1 dãy ghế.

Câu 2. Cho một bàn dài có 10 ghế và 10 học sinh trong đó có 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh sao cho :

a . Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau ?

b. Những học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau ?

Câu 3. a). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn, sao cho nam và nữ ngồi xen kẻ nhau?.

b). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn, sao cho mỗi bà đều ngồi cạnh chồng của mình?

Câu 4. Một trường trung học phổ thông có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 học sinh giỏi khối 11, có 6 học sinh giỏi khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 15 học sinh trên thành một hàng ngang để đón đoàn đại biểu, nếu:

a). Các học sinh được xếp bất kì.

b). Các học sinh trong cùng một khối phải đứng kề nhau.

Câu 5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau, biết tổng của 3 chữ số này bằng 18?

DẠNG 2: CHỈNH HỢP.                                           

Câu 1. a. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau ?

b. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và số đó là số chẵn ?

c. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và số đó là số lẻ ?

Câu 2. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1, 2, 3.

Câu 3. a. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số  đôi một khác nhau và bé hơn số 475 ?

b. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số và bé hơn số 475 ?

c. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau bé hơn số 475 và là số lẻ ?

Câu 4. Xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ thành một hàng dọc .Hỏi có bao nhiêu cách xếp :

a). Nam nữ đứng xen kẻ .

b). Nữ luôn đứng cạnh nhau .

c). Không có 2 nam nào đứng cạnh nhau .

Câu 5. Có thể lập ra được bao nhiêu số điện thoại di động có 10 chữ số bắt đầu là 0908, các chữ số còn lại khác nhau đôi một, khác với 4 chữ số đầu và phải có mặt chữ số 6.

DẠNG 3: TỔ HỢP

Câu 1. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng đỏ (các bông hồng xem như đôi một khác nhau). Người ta muốn chọn ra 1 bó hoa hồng gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn.

a) 1 bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ.

b) 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.

Câu 2. Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau.

a.Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ.

b.Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.

Câu 3. Có một hộp đựng 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng.

a). Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi, trong đó có 2 viên bi xanh và có nhiều nhất 2 viên bi vàng và phải có đủ 3 màu.

b). Có bao nhiêu cách lấy ra 9 viên bi có đủ 3 màu.

Câu 4. Một đội cảnh sát giao thông gồm 15 người trong đó có 12 nam. Hỏi có bao nhiêu cách phân đội csgt đó về 3 chốt giao thông sao cho mỗi chốt có 4 nam và 1 nữ.

Câu 5. Môt lớp có 20 học sinh trong đó có 14 nam, 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 đội gồm 4 học sinh trong đó có.

a.Số nam và nữ bằng nhau.                          b.ít nhất 1 nữ.

Câu 6. Một đội văn nghệ gồm 20 người, trong đó có 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người, sao cho:

a. Có đúng 2 nam trong 5 người đó?

b. Có ít nhất 2 nam, ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.

KỸ THUẬT SỬ DỤNG VÁCH NGĂN

Câu 1. Có bao nhiêu cách xếp \(5\) bạn nam và \(7\) bạn nữ thành một hàng ngang, sao cho không có hai bạn nam nào đứng cạnh nhau.

Câu 2. Có bao nhiêu cách chia 10 cái bánh giống nhau cho 3 người sao cho mỗi người có ít nhất một chiếc bánh.

Câu 3. Tổ \(1\) của lớp \(11A\)có \(2\) học sinh nam và \(4\) học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp \(6\) bạn học sinh vào \(1\) dãy ghế đặt theo hàng ngang sao cho \(2\) bạn học sinh nam không đứng cạnh nhau?

Câu 4. Có bao nhiêu cách xếp \(7\) bạn nam và \(5\) bạn nữ vào một bàn tròn có 12 chỗ ngồi, sao cho không có hai bạn nam nào ngồi cạnh nhau.