Tài liệu chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo gồm lý thuyết và các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 10. 

Chỉ từ 450k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 10 Chân trời sáng tạo word có lời giải chi tiết:

B1: Gửi phí vào tài khoản0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)

B2: Nhắn tin tới zalo Vietjack Official - nhấn vào đây

Xem thử tài liệu tại đây: Link tài liệu

Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác

Tài liệu gồm 4 Chuyên đề nhỏ, mời bạn đọc xem thử nội dung Chuyên đề Định lý sin, định lý cosin và giải tam giác  :

Chuyên đề 2: ĐỊNH LÝ SIN, ĐỊNH LÝ COSIN VÀ GIẢI TAM GIÁC

DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TOÁN

Câu 1:         Cho tam giác \[ABC\], mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \[{a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\].               B. \[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\].

C. \[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos C\].                D. \[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos B\].

Lời giải

Chọn B

Theo định lý cosin trong tam giác \[ABC\], ta có \[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\].

Câu 2:         Cho tam giác \(ABC\), có độ dài ba cạnh là \(BC = a,AC = b,AB = c\). Gọi \({m_a}\) là độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh \(A\), \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và \(S\) là diện tích tam giác đó. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\).                          B. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\).

C. \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\).                                  D. \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).

Lời giải

Chọn B

Theo định lý hàm số cosin trong tam giác ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Câu 3:         Cho tam giác ABC có \(a = 8,b = 10\), góc \(C\) bằng \({60^0}\). Độ dài cạnh \(c\)là?

A. \(c = 3\sqrt {21} \).    B. \(c = 7\sqrt 2 \).        C. \(c = 2\sqrt {11} \).  D. \(c = 2\sqrt {21} \).

Lời giải

Chọn D

Ta có: \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2a.b.\cos C = {8^2} + {10^2} - 2.8.10.\cos {60^0} = 84 \Rightarrow c = 2\sqrt {21} \).

Câu 4:         Cho \(\Delta ABC\)có . Độ dài cạnh \(a\) là:

A. \(2\sqrt {13} .\)           B. \(3\sqrt {12} .\)        C. \(2\sqrt {37} .\)        D. \(\sqrt {20} .\)

Lời giải

Chọn A

Ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = 36 + 64 - 2.6.8.\cos {60^0} = 52 \Rightarrow a = 2\sqrt {13} \).

Câu 5:         Cho  có \(B = {60^0},a = 8,c = 5.\) Độ dài cạnh \(b\) bằng:

A. \(7.\)                            B. \(129.\)                     C. \(49.\)                       D. \(\sqrt {129} \).

Lời giải

Chọn A

Ta có: \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\cos {60^0} = 49 \Rightarrow b = 7\).

Câu 6:         Cho \[\Delta ABC\] có \[AB = 9\];\[BC = 8\];\[\widehat {\rm{B}} = {60^0}\]. Tính độ dài \[AC\].

A. \[\sqrt {73} \].               B. \[\sqrt {217} \].          C. \[8\].                          D. \[\sqrt {113} \].

Lời giải

Chọn A

Theo định lý cosin có:

\[A{C^2} = B{A^2} + B{C^2} - 2BA.BC.\cos \widehat {ABC} = 73\] \[ \Rightarrow AC = \sqrt {73} \].

Vậy \[AC = \sqrt {73} \].

Câu 7:         Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,AC = 1\) và \(A = {60^0}.\) Tính độ dài cạnh \(BC.\)

A. \(BC = \sqrt 2 .\)          B. \(BC = 1.\)                C. \(BC = \sqrt 3 .\)       D. \(BC = 2.\)

Lời giải

Chọn C

Theo định lý cosin ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos {{60}^0}} \)

\( = \sqrt {{2^2} + {1^2} - 2.2.1.\frac{1}{2}} \) \( = \sqrt 3 .\)

Câu 8:         Tam giác \(ABC\) có \(a = 8,c = 3,\widehat B = {60^0}.\) Độ dài cạnh \(b\) bằng bao nhiêu?

A. \(49.\)                          B. \(\sqrt {97} \)           C. \(7.\)                         D. \(\sqrt {61} .\)

Lời giải

Chọn C

Ta có: \[{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B = {8^2} + {3^2} - 2.8.3.\cos {60^0} = 49 \Rightarrow b = 7\].

Câu 9:         Tam giác \[ABC\]có \[\widehat C = {150^0},\;BC = \sqrt 3 ,AC = 2.\] Tính cạnh \(AB\)?

A. \[\sqrt {13} \].               B. \[\sqrt 3 .\]                 C. \(10\).                        D. \(1\).

Lời giải

Chọn A

Theo định lí cosin trong \(\Delta ABC\)ta có:

\[A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} - 2CA.CB.\cos \widehat C\]\[ = 13\]\[ \Rightarrow AB = \sqrt {13} \]. Chọn A

Câu 10:      Cho \(a;\,b;\,c\) là độ dài \(3\) cạnh của tam giác \(ABC\). Biết \(b = 7\);\(c = 5\);\(\cos A = \frac{4}{5}\). Tính độ dài của \(a\).

A. \(3\sqrt 2 \).                 B. \(\frac{{7\sqrt 2 }}{2}\).                                    C. \(\frac{{23}}{8}\).               D. \(6\).

Lời giải

Chọn A

Áp dụng định lí cosin cho tam giác \(ABC\)ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A = {7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{4}{5} = 18\).

Suy ra:\(a = \sqrt {18}  = 3\sqrt 2 \).

Câu 11:      Cho \[\widehat {xOy} = 30^\circ \].Gọi \[A,\,B\] là 2 điểm di động lần lượt trên \[Ox,\,Oy\] sao cho \[AB = 2\]. Độ dài lớn nhất của \[OB\] bằng bao nhiêu?

A. 4.                                 B. 3.                              C. 6.                              D. 2.

Lời giải

Chọn A

Áp dụng định lí cosin: \[A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2OA.OB.cos30^\circ  \Leftrightarrow 4 = O{A^2} + O{B^2} - 2OA.OB.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow O{A^2} - \sqrt 3 .OB.OA + O{B^2} - 4 = 0\].

Coi phương trình là một phương trình bậc hai ẩn \[OA\]. Để tồn tại giá trị lớn nhất của \[OB\]

thì \[{\Delta _{(*)}} \ge 0 \Leftrightarrow {(\sqrt 3 OB)^2} - 4(O{B^2} - 4) \ge 0 \Leftrightarrow O{B^2} \le 16 \Leftrightarrow OB \le 4\].

Vậy \[\max OB = 4\].

Câu 12:      Cho \(a;\,b;\,c\) là độ dài \(3\)cạnh của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng?

A. \({a^2} < ab + ac\).      B. \({a^2} + {c^2} < {b^2} + 2ac\).                      C. \({b^2} + {c^2} > {a^2} + 2bc\).                             D. \(ab + bc > {b^2}\).

Lời giải

Chọn C

Do \({b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc.\cos \widehat A \le 2bc\)\( \Rightarrow \) \({b^2} + {c^2} \le {a^2} + 2bc\) nên mệnh đề C sai.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có \(a < b + c \Rightarrow {a^2} < ab + ac\);đáp án A đúng.

Tương tự \(a + c > b \Rightarrow ab + bc > {b^2}\);mệnh đề D đúng.

Ta có: \({a^2} + {c^2} - {b^2} = 2ac.\cos B < 2ac\)\( \Rightarrow {a^2} + {c^2} < {b^2} + 2ac\);mệnh đề B đúng.

Câu 13:      Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4\)cm, \(BC = 7\) cm, \(AC = 9\)cm. Tính \(\cos A\).

A. \(\cos A =  - \frac{2}{3}\).                                  B. \(\cos A = \frac{1}{2}\).                                        C. \(\cos A = \frac{1}{3}\).                                   D. \(\cos A = \frac{2}{3}\).

Lời giải

Chọn D

Ta có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\)\( = \frac{{{4^2} + {9^2} - {7^2}}}{{2.4.9}} = \frac{2}{3}\).

Câu 14:      Cho tam giác \(ABC\) có \({a^2} + {b^2} - {c^2} > 0\). Khi đó:

A. Góc \(C > {90^0}\)    B. Góc \(C < {90^0}\)

C. Góc \(C = {90^0}\)    D. Không thể kết luận được gì về góc \(C.\)

Lời giải

Chọn B

Ta có: \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\).

Mà: \({a^2} + {b^2} - {c^2} > 0\) suy ra: \[\cos C > 0 \Rightarrow C < {90^0}\].

Câu 15:      Cho tam giác \(ABC\) thoả mãn: \[{b^2} + {c^2} - {a^2} = \sqrt 3 bc\]. Khi đó:

A. \(A = {30^0}.\)           B. \(A = {45^0}.\)        C. \(A = {60^0}.\)        D. \(A = {75^0}\).

Lời giải

Chọn A

Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{\sqrt 3 bc}}{{2bc}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A = {30^0}.\)

Câu 16:      Cho các điểm \(A(1;1),B(2;4),C(10; - 2).\) Góc \(\widehat {BAC}\) bằng bao nhiêu?

A. \({90^0}\).                  B. \({60^0}.\)               C. \({45^0}.\)               D. \({30^0}.\)

Lời giải

Chọn A

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (1;3)\), \(\overrightarrow {AC}  = (9; - 3)\).

Suy ra: \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = 0 \Rightarrow \widehat {BAC} = {90^0}.\)

Câu 17:      Cho tam giác \(ABC\), biết \(a = 24,b = 13,c = 15.\) Tính góc \(A\)?

A. \({33^0}34'\,.\)           B. \({117^0}49'\,.\)       C. \({28^0}37'.\)           D. \({58^0}24'\,.\)

Lời giải

Chọn B

Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{13}^2} + {{15}^2} - {{24}^2}}}{{2.13.15}} =  - \frac{7}{{15}} \Rightarrow A \simeq {117^0}49'\,.\)

Câu 18:      Cho tam giác \(ABC\), biết \(a = 13,b = 14,c = 15.\) Tính góc \(B\)?

A. \({59^0}49'.\)             B. \({53^0}7'.\)             C. \({59^0}29'\,.\)         D. \({62^0}22'.\)

Lời giải

Chọn C

Ta có: \[\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{13}^2} + {{15}^2} - {{14}^2}}}{{2.13.15}} = \frac{{33}}{{65}} \Rightarrow B \simeq {59^0}29'\,.\]

Câu 19:      Cho tam giác \(ABC\) biết độ dài ba cạnh \(BC,{\rm{ }}CA,{\rm{ }}AB\) lần lượt là \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\)và thỏa mãn hệ thức \(b\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = c\left( {{c^2} - {a^2}} \right)\) với \(b \ne c\). Khi đó, góc \(\widehat {BAC}\) bằng

A. \(45^\circ \).                 B. \(60^\circ \).              C. \(90^\circ \).              D. \(120^\circ \).

Lời giải

Chọn D

Ta có \(b\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = c\left( {{c^2} - {a^2}} \right) \Leftrightarrow {b^3} - b{a^2} = {c^3} - c{a^2} \Leftrightarrow {b^3} - {c^3} - {a^2}\left( {b - c} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {b - c} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2} - {a^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} =  - bc\).

Mặt khác \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{ - bc}}{{2bc}} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BAC} = 120^\circ \).

Câu 20:      Tam giác \[ABC\] có \[AB = c,\,\,BC = a,\,\,CA = b\]. Các cạnh \[a,\,\,b,\,\,c\] liên hệ với nhau bởi đẳng thức \[b\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = c\left( {{a^2} - {c^2}} \right)\]. Khi đó góc \[\widehat {BAC}\] bằng bao nhiêu độ.

A. \(30^\circ \).                 B. \(60^\circ \).              C. \(90^\circ \).              D. \(45^\circ \).

Lời giải

Chọn B

Theo bài ra, ta có: \[b\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = c\left( {{a^2} - {c^2}} \right) \Leftrightarrow {b^3} - {a^2}b = {a^2}c - {c^3} = 0 \Leftrightarrow {b^3} + {c^3} - {a^2}b - {a^2}c = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right) - {a^2}\left( {b + c} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} - bc + {c^2} - {a^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {b^2} - bc + {c^2} - {a^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = bc \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \widehat {BAC} = \frac{1}{2}\,\, \Rightarrow \widehat {BAC} = 60^\circ \].

Câu 21:      [0H2-0.0-3]  Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và \(M\) là điểm nằm trong tam giác \(ABC\) sao cho \(MA:MB:MC = 1:2:3\) khi đó góc \[AMB\] bằng bao nhiêu?

A. \(135^\circ \).               B. \(90^\circ \).              C. \(150^\circ \).            D. \(120^\circ \).

Lời giải

\(MB = x\)\( \Leftrightarrow MA = 2x\); \(MC = 3x\) với \(0 < x < BC = \sqrt 2 \).

Ta có \(\cos \widehat {BAM} = \frac{{1 + 4{x^2} - {x^2}}}{{2.1.2x}} = \frac{{3{x^2} + 1}}{{4x}}\)

\(\cos \widehat {MAC} = \frac{{1 + 4{x^2} - 9{x^2}}}{{4x}} = \frac{{1 - 5{x^2}}}{{4x}}\).

\( \Rightarrow {\left( {\frac{{3{x^2} + 1}}{{4x}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{1 - 5{x^2}}}{{4x}}} \right)^2} = 1\)\( \Rightarrow 9{x^4} + 6{x^2} + 1 + 1 - 10{x^2} + 25{x^4} = 16\).

\( \Rightarrow 34{x^4} - 20{x^2} + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{5 + 2\sqrt 2 }}{{17}} > \frac{1}{5}(l)\\{x^2} = \frac{{5 - 2\sqrt 2 }}{{17}}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \cos \widehat {AMB} = \frac{{A{M^2} + B{M^2} - A{B^2}}}{{2AM.BM}}\)\( = \frac{{4{x^2} + {x^2} - 1}}{{2.2x.x}}\)

\( = \frac{{5{x^2} - 1}}{{4{x^2}}}\)\( = \left( {\frac{{25 - 10\sqrt 2 }}{{17}} - 1} \right):\frac{{20 - 8\sqrt 2 }}{{17}}\)\( = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(\widehat {AMB} = 135^\circ \).

Câu 22:      Cho tam giác \(ABC\), chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

A. \[m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4}.\]          B. \[m_a^2 = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}.\]

C. \[m_a^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}.\]           D. \[m_a^2 = \frac{{2{c^2} + 2{b^2} - {a^2}}}{4}.\]

Lời giải

Chọn D

Ta có: \(m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}.\)

Câu 23:      Tam giác \(ABC\) có \(AB = 9\) cm, \(BC = 15\)cm, \(AC = 12\)cm. Khi đó đường trung tuyến \(AM\) của tam giác có độ dài là

A. \(10{\rm{ cm}}\).          B. \(9{\rm{ cm}}\).         C. \(7,5{\rm{ cm}}\).       D. \(8{\rm{ cm}}\).

Lời giải

Chọn C

Ta có \(A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4}\)\( = \frac{{{9^2} + {{12}^2}}}{2} - \frac{{{{15}^2}}}{4} = \frac{{225}}{4}\)\( \Rightarrow AM = \frac{{15}}{2}\).