Với lời giải Toán 11 trang 55 Tập 2 chi tiết trong Bài 26: Khoảng cách sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 26: Khoảng cách

Luyện tập 1 trang 55 Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, AA' = h (H.7.77).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').

b) Tam giác ABC' là tam giác gì? Tính khoảng cách từ A đến BC'.

Lời giải:

a) Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng nên BB' $\perp$ (ABC) nên (BCC'B') $\perp$ (ABC).

Hạ AH $\perp$ BC tại H.

Có 

Khi đó AH chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a.

Xét tam giác ABC vuông cân tại A, có

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{2}{a^2}$$\Rightarrow AH=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') bằng $\frac{a}{\sqrt{2}}$.

b) Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AB $\perp$ AC.

Vì AA' $\perp$ (ABC) nên AA' $\perp$ AB mà AB $\perp$ AC nên AB $\perp$ (ACC'A'), suy ra AB $\perp$ AC'.

Do đó tam giác ABC' là tam giác vuông tại A.

Hạ AK $\perp$ BC' tại K. Khi đó d(A, BC') = AK.

Vì ACC'A' là hình chữ nhật nên $A{C^{\text{'}}}^2=A{A^{\text{'}}}^2+A^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^2=h^2+a^2$ .

Xét tam giác ABC' vuông tại A, AK là đường cao, ta có:

$\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C^{\text{'}}}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2+h^2}$$=\frac{2a^2+h^2}{a^2\left(a^2+h^2\right)}$

$\Rightarrow$$A{K}^2=\frac{a^2\left(a^2+h^2\right)}{2a^2+h^2}$$\Rightarrow AK=a\sqrt{\frac{a^2+h^2}{2a^2+h^2}}$

Vậy khoảng cách từ A đến BC' bằng $a\sqrt{\frac{a^2+h^2}{2a^2+h^2}}$.

2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

HĐ2 trang 55 Toán 11 Tập 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm M; N bất kỳ thuộc a và gọi A; B tương ứng là các hình chiếu của chúng trên (P) (H.7.78).

Giải thích vì sao ABNM là một hình chữ nhật và M, N có cùng khoảng cách đến (P).

Lời giải:

Vì A, B lần lượt là các hình chiếu của M, N trên (P) nên AM $\perp$ (P), BN $\perp$ (P).

Do đó AM // BN hay A, B, M, N cùng thuộc một mặt phẳng.

Vì MN // (P) và (ABNM) $\cap$ (P) = AB nên MN // AB.

Vì AM // BN và MN // AB nên ABNM là hình bình hành.

Mặt khác AM $\perp$ (P) nên AM $\perp$ AB. Do đó ABNM là hình chữ nhật.

Vì ABNM là hình chữ nhật nên AM = BN nên M, N có cùng khoảng cách đến (P).