Với giải Bài 7.24 trang 59 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 26: Khoảng cách giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 26: Khoảng cách

Bài 7.24 trang 59 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.

Lời giải:

a) Xét tam giác ADB có AD = BD = a nên tam giác ADB cân tại D.

Vì M là trung điểm của AB nên DM là trung tuyến.

Vì tam giác ADB cân tại D, DM là trung tuyến nên DM đồng thời là đường cao hay DM $\perp$ AB.

Xét tam giác ABC có AC = BC = a nên tam giác ABC cân tại C mà CM là trung tuyến nên CM là đường cao hay CM $\perp$ AB.

Vì DM $\perp$ AB và CM $\perp$ AB nên AB $\perp$ (DCM), suy ra AB $\perp$ MN.

Xét tam giác ADC có AD = AC = a nên tam giác ACD cân tại A mà AN là trung tuyến nên AN đồng thời là đường cao hay AN $\perp$ CD.

Xét tam giác BCD có BD = BC = a nên tam giác BCD cân tại B mà BN là trung tuyến nên BN đồng thời là đường cao hay BN $\perp$ CD.

Vì AN $\perp$ CD và BN $\perp$ CD nên CD $\perp$ (ABN), suy ra CD $\perp$ MN.

Vì AB $\perp$ MN và CD $\perp$ MN nên MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Vì AB $\perp$ (DCM) nên AB $\perp$ CD.

Gọi E là trung điểm của BC.

Xét tam giác ABC có AB = AC = a nên tam giác ABC cân tại A mà AE là trung tuyến nên AE đồng thời là đường cao hay AE $\perp$ BC.

Xét tam giác BDC có BD = CD = a nên tam giác BCD cân tại D mà DE là trung tuyến nên DE đồng thời là đường cao hay DE $\perp$ BC.

Có AE $\perp$ BC và DE $\perp$ BC nên BC $\perp$ (ADE), suy ra BC $\perp$ AD.

Gọi F là trung điểm của BD.

Xét tam giác ADB có AB = AD = a nên tam giác ADB cân tại A mà AF là trung tuyến nên AF đồng thời là đường cao hay AF $\perp$ BD.

Xét tam giác BCD có BC = CD = a nên tam giác BCD cân tại C mà CF là trung tuyến nên CF đồng thời là đường cao hay CF $\perp$ BD.

Vì AF $\perp$ BD và CF $\perp$ BD nên BD $\perp$ (ACF), suy ra BD $\perp$ AC.