Giả sử hai đường thẳng AM và BN cắt nhau.

Khi đó, qua AM và BN có một mặt phẳng (P).

Do M, N thuộc (P) nên đường thẳng MN nằm trong (P) hay CD nằm trong (P).

Suy ra A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng, mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy AM và BN không cắt nhau.

Do ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên qua ba điểm A, B, C có một mặt phẳng, gọi là (ABC).

Vì M ∈ AB nên M ∈ (ABC).

Tương tự, ta có N và P đều thuộc (ABC).

Mà M, N, P đều thuộc mặt phẳng (P).

Suy ra M, N, P là ba điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (P).

Do đó, M, N, P cùng thuộc giao tuyến của (ABC) và (P).

Vậy M, N, P thẳng hàng.

a) Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) có chung điểm S.

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó, O là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Vậy SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

b) Trong mặt phẳng (SBD), gọi I là giao điểm của BM và SO.

Vì I ∈ SO và SO ⊂ (SAC) nên I ∈ (SAC).

Vậy I là giao điểm của đường thẳng BM với mặt phẳng (SAC).

c) Trong mặt phẳng (SAC), gọi N là giao điểm của CI và SA.

Ta có N ∈ SA và SA ⊂ (SAB) nên N ∈ (SAB); N ∈ CI và CI ⊂ (MBC) nên N ∈ (MBC).

Do đó, N là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (MBC).

Lại có hai mặt phẳng (SAB) và (MBC) có điểm chung B.

Do vậy, BN là giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (SAB).

Lại có N ∈ SA và SA ⊂ (SAD) nên N ∈ (SAD) nên N là điểm chung của hai mặt phẳng (MBC) và (SAD).

Vì M ∈ SD và SD ⊂ (SAD) nên M ∈ (SAD), mà M ∈ (MBC) nên M là một điểm chung của hai mặt phẳng (MBC) và (SAD).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (SAD) là đường thẳng MN.

Giả sử M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.

Xét tam giác ABC, do Q không là trung điểm của BC nên đường thẳng MQ cắt đường thẳng AC tại điểm S.

Khi đó, S ∈ (MNPQ) và S ∈ (ACD). Do vậy S là một điểm chung của hai mặt phẳng (ACD) và (MNPQ). (1)

Do N ∈ AD nên N ∈ (ACD) và P ∈ CD nên P ∈ (ACD), suy ra NP ⊂ (ACD).

Mà NP ⊂ (MNPQ) nên NP là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNPQ). (2)

Từ (1) và (2) suy ra S ∈ NP.

Vậy ba đường thẳng MQ, NP và AC cùng đi qua điểm S.

Giả sử M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN là đường trung bình của tam giác ABD, do đó MN // BD.

Do P ∈ CD nên P ∈ (BCD) và Q ∈ BC nên Q ∈ (BCD), suy ra PQ ⊂ (BCD).

Mà PQ ⊂ (MNPQ) nên PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (MNPQ).

Hai mặt phẳng (MNPQ) và (BCD) có MN // BD và PQ là giao tuyến.

Suy ra PQ // BD.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của BC, B'C' nên MN là đường trung bình của hình thang BCC'B' (vì hình bình hành cũng là hình thang).

Suy ra MN // BB' và MN = BB'.

Mà AA' // BB' và AA' = BB' (do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ).

Do đó, AA' // MN và AA' = MN nên AA'NM là hình bình hành.

Suy ra AM // A'N, mà A'N ⊂ (A'NC).

Vậy AM // (A'NC).

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác SBC, do đó MN // SC. Mà MN ⊂ (MNP).

Từ đó suy ra SC // (MNP).

b) Gọi Q là trung điểm của SD, mà P là trung điểm của CD nên PQ là đường trung bình của tam giác SCD nên SC // QP.

Hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) có điểm P chung và MN // SC nên giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) là đường thẳng QP. Đồng thời, Q là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP).

c) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I là giao điểm của AC và NP.

Trong mặt phẳng (SAC), lấy E thuộc SA sao cho IE // SC.

Khi đó, ta có I ∈ (MNP) và IE // MN nên E ∈ (MNP).

Vậy E là giao điểm của SA với mặt phẳng (MNP).

d) Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của AC và BD.

Ta có NP là đường trung bình của tam giác BCD nên NP // BD hay NI // BO.

Trong tam giác BOC có NI // BO và N là trung điểm của BC nên NI là đường trung bình của tam giác BOC, suy ra I là trung điểm của OC. Khi đó $\frac{CI}{CO}=\frac{1}{2}$. Suy ra $\frac{CI}{CA}=\frac{1}{4}$.

Xét tam giác SAC, ta có IE // SC nên $\frac{SE}{SA}=\frac{CI}{CA}=\frac{1}{4}$.

a) Vì ABCD và BCC'B' là các hình bình hành nên AD // BC, AD = BC và BC // B'C', BC = B'C'. Suy ra AD // B'C', AD = B'C'.

Vậy ADC'B' là hình bình hành.

b) Vì BB' // DD' và BB' = DD' nên BDD'B' là hình bình hành.

Do đó, BD // B'D'. Mà B'D' ⊂ (AB'D').

Suy ra BD // (AB'D').

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, B'C' và AD // B'C', AD = B'C' nên AM // B'N và AM = B'N. Suy ra AMNB' là hình bình hành, do đó MN // AB'.

Mà AB' ⊂ (AB'D') nên MN // (AB'D').

c) Vì M, P lần lượt là trung điểm của AD, DD' nên MP là đường trung bình của tam giác ADD', suy ra MP // AD'. Mà AD' ⊂ (AB'D') nên MP // (AB'D').

Theo câu b ta có MN // (AB'D'). Từ đó suy ra (MNP) // (AB'D').

Vì BD // B'D' và B'D' ⊂ (AB'D') nên BD // (AB'D'), suy ra BD // (MNP).

d) Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của C'D', B'B, BA.

Khi đó, ta chứng minh được PE // MN, NF // MP, KF // MN nên các điểm E, F, K đều thuộc mặt phẳng (MNP).

Do đó giao tuyến của (MNP) với các mặt (ADD'A'), (DCC'D'), (A'B'C'D'), (BCC'B'), (ABB'A') và (ABCD) lần lượt là MP, PE, EN, NF, FK, KM.

e) Theo câu d, ta có mặt phẳng (MNP) trùng với mặt phẳng (MKFNEP).

Gọi R, O lần lượt là giao điểm của AC với MK, BD.

Khi đó, ta có $\frac{AR}{RO}=1$ và đường thẳng AC cắt ba mặt phẳng (AB'D'), (MNP), (C'BD) lần lượt tại A, R, O. Theo giả thiết đường thẳng IJ cắt ba mặt phẳng (AB'D'), (MNP), (C'BD) lần lượt tại I, J, H. Áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta có $\frac{AR}{IJ}=\frac{RO}{JH}=\frac{AO}{IH}$.

Từ đó suy ra $\frac{IJ}{JH}=\frac{AR}{RO}=1$.