Vì MN là đường trung bình của tam giác ABD nên MN // BD.

Mà MN ⊂ (CMN) nên BD // (CMN).

Vì PQ là đường trung bình của tam giác BCD nên PQ // BD.

Mà PQ ⊂ (APQ) nên BD // (APQ).

Trong mặt phẳng (ABC), gọi I là giao điểm của AP và MC; trong mặt phẳng (ACD), gọi J là giao điểm của AQ và NC. Khi đó, IJ là giao tuyến của hai mặt phẳng (APQ) và (CMM). Mà BD // (CMN) và BD // (APQ) nên IJ // BD.

a) Trong mặt phẳng (SAB), lấy P thuộc SA sao cho NP // AB.

Vì AB // CD (ABCD là hình bình hành) nên NP // CD.

Hai mặt phẳng (SAB) và (CDN) có điểm chung là N và lần lượt chứa hai đường thẳng AB, CD song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng đi qua N và song song với CD, chính là đường thẳng NP.

b) Vì N là trung điểm của SB và NP // AB nên NP là đường trung bình của tam giác SAB.

Do đó, NP = $\frac{1}{2}$AB.

Do M là trung điểm của CD và AB // CD, AB = CD nên CM // AB và CM = $\frac{1}{2}$AB.

Suy ra CM // NP và CM = NP.

Do đó, tứ giác CNPM là hình bình hành. Suy ra CN // MP.

Mà MP ⊂ (SAM) nên CN // (SAM).

a) Gọi I là giao điểm của AC với MN.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD của hình hành ABCD nên I là trung điểm của AC.

Lại có P là trung điểm của SA.

Do đó, PI là đường trung bình của tam giác SAC, suy ra PI // SC.

Mà PI ⊂ (MNP) nên SC // (MNP).

b) Hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) có điểm chung là N và lần lượt chứa hai đường thẳng PI, SC song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) là đường thẳng d đi qua N và song song với SC.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AM và song song với BD nên (P) cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến d đi qua A và song song với BD.

Vì hình bình hành ABCD cố định nên đường thẳng d cố định trong (ABCD).

Vậy khi M chuyển động trên cạnh SC thì mặt phẳng (P) luôn luôn đi qua đường thẳng d cố định.