Với lời giải SBT Toán 11 trang 19 Tập 2 chi tiết trong Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài 6.31 trang 19 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình mũ sau:

a) 4^{2x – 1} = 8^{x + 3}; b) $9^{2x}\cdot {27}^{x^2}=\frac{1}{3}$ ;

c) ${\left(e^4\right)}^x\cdot e^{x^2}=e^{12}$ ; d) 5^{2x – 1} = 20.

Lời giải:

a) Ta có: 4^{2x – 1} = 8^{x + 3} $\iff$ 2^{2(2x – 1)} = 2^{3(x + 3)}

$\iff$ 2(2x – 1) = 3(x + 3) $\iff$ 4x – 2 = 3x + 9 $\iff$ x = 11.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 11.

b) Ta có:

$$\begin{gathered} 9^{2x}\cdot {27}^{x^2}=\frac{1}{3}\iff 3^{4x}\cdot 3^{3x^2}=3^{-1} \\ \iff 3^{3x^2+4x}=3^{-1}\iff 3x^2+4x=-1 \end{gathered}$$

$\iff 3x^2+4x+1=0\iff \left(3x+1\right)\left(x+1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{1}{3}\\ x=-1\end{array}\right.$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{-\frac{1}{3};-1\right\}$ .

c) Ta có:

${\left(e^4\right)}^x\cdot e^{x^2}=e^{12}\iff e^{4x}\cdot e^{x^2}=e^{12}\iff e^{x^2+4x}=e^{12}\iff x^2+4x=12$

$\iff x^2+4x-12=0\iff \left(x-2\right)\left(x+6\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-6\end{array}\right.$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {−6; 2}.

d) 5^{2x – 1} = 20 $\iff$ 2x – 1 = log₅ 20 $\iff$ 2x = log₅ 20 + 1 $\iff$ $x=\frac{1}{2}\left({\log }_{5}20+1\right)$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{1}{2}\left({\log }_{5}20+1\right)$ .

Bài 6.32 trang 19 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình lôgarit sau:

a) log₃ (4x – 1) = 2; b) log₂ (x² – 1) = log₂ (3x + 3);

c) log_x 81 = 2; d) log₂ 8^x = −3.

Lời giải:

a) Điều kiện: 4x – 1 > 0 $\iff x>\frac{1}{4}$ .

Ta có: log₃ (4x – 1) = 2 $\iff$ 4x – 1 = 3² $\iff$ 4x – 1 = 9 $\iff$ 4x = 10 $\iff x=\frac{5}{2}$(thỏa mãn điều kiện).

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{5}{2}$ .

b) Điều kiện:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}^2-1>0\\ 3x+3>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(x-1\right)\left(x+1\right)>0\\ x+1>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x-1>0\\ x+1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ x>-1\end{array}\right.\iff x>1 \end{gathered}$$

Ta có: log₂ (x² – 1) = log₂ (3x + 3) $\iff$ x² – 1 = 3x + 3 $\iff$ x² – 3x – 4 = 0

$\iff$ (x + 1)(x – 4) = 0 $\iff$ x = −1 (loại) hoặc x = 4 (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 4.

c) Điều kiện: 0 < x ≠ 1.

Ta có: log_x 81 = 2 $\iff$ 81 = x² $\iff$ x = 9 (thỏa mãn) hoặc x = −9 (loại).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 9.

d) Ta có: log₂ 8^x = −3 $\iff$ 8^x = 2⁻³ $\iff$ 2^3x = 2⁻³ $\iff$ 3x = −3 $\iff$x = −1.

Vậy nghiệm của phương trình là x = −1.

Bài 6.33 trang 19 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình mũ sau:

a) $2^{2x-3}>\frac{1}{4}$ ; b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2}\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5x-6}$ ;

c) 25^x ≤ 5^{4x − 3} ; d) 9^x – 3^x – 6 ≤ 0.

Lời giải:

a) $2^{2x-3}>\frac{1}{4}\iff 2^{2x-3}>2^{-2}$$\iff 2x-3>-2\iff 2x>1\iff x>\frac{1}{2}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x>\frac{1}{2}$ .

b)${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2}\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5x-6}\iff x^2\le 5x-6$$\iff x^2-5x+6\le 0\iff \left(x-2\right)\left(x-3\right)\le 0$

$\iff 2\le x\le 3.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [2; 3].

c) 25^x ≤ 5^{4x − 3} $\iff$ 5^2x ≤ 5^{4x − 3} $\iff$ 2x ≤ 4x – 3 $\iff$ 2x ≥ 3 $\iff$ x ≥ 1,5.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [1,5; +$\infty$).

d) Đặt 3^x = t (t > 0).

Khi đó bất phương trình trở thành t² – t – 6 ≤ 0 $\iff$ (t – 3)(t + 2) ≤ 0 $\iff$ −2 ≤ t ≤ 3.

Mà t > 0 nên ta có 0 < t ≤ 3.

Khi đó, ta có 3^x ≤ 3 $\iff$ x ≤ 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (−$\infty$; 1].

Bài 6.34 trang 19 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình lôgarit sau:

a) log₃ (2x + 1) ≥ 2; b) log₂ (3x – 1) < log₂ (9 – 2x);

c) ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)\le {\log }_{\frac{1}{2}}\left(4x-5\right)$; d) log₂ (2x – 1) ≤ log₄ (x + 1)².

Lời giải:

a) Điều kiện $2x+1>0\iff x>-\frac{1}{2}$ .

Ta có log₃ (2x + 1) ≥ 2 $\iff$ 2x + 1 ≥ 3² $\iff$ 2x + 1 ≥ 9 $\iff$ 2x ≥ 8 $\iff$ x ≥ 4.

Kết hợp với điều kiện, ta được x ≥ 4.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [4; +$\infty$).

b) Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}3x-1>0\\ 9-2x>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{3}\\ x<\frac{9}{2}\end{array}\right.\iff \frac{1}{3}<x<\frac{9}{2}$ .

Ta có:

log₂ (3x – 1) < log₂ (9 – 2x)

$\iff$ 3x – 1 < 9 – 2x

$\iff$ 3x + 2x < 9 + 1

$\iff$ 5x < 10 $\iff$ x < 2.

Kết hợp với điều kiện, ta được $\frac{1}{3}<x<2$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(\frac{1}{3};2\right)$ .

c) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x+1>0\\ 4x-5>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>-1\\ x>\frac{5}{4}\end{array}\right.\iff x>\frac{5}{4}$ .

Ta có:

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)\le {\log }_{\frac{1}{2}}\left(4x-5\right)$

$\iff x+1\ge 4x-5\iff 3x\le 6\iff x\le 2$ .

Kết hợp điều kiện, ta có: $\frac{5}{4}<x\le 2$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(\frac{5}{4};2\right]$ .

d) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ {\left(x+1\right)}^2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{2}\\ x\ne -1\end{array}\right.\iff x>\frac{1}{2}$.

Ta có:

$$\begin{gathered} {\log }_2\left(2x-1\right)\le {\log }_4{\left(x+1\right)}^2 \\ \iff {\log }_2\left(2x-1\right)\le \frac{{\log }_2{\left(x+1\right)}^2}{{\log }_{2}4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff {\log }_2\left(2x-1\right)\le \frac{{\log }_2{\left(x+1\right)}^2}{2} \\ \iff 2{\log }_2\left(2x-1\right)\le {\log }_2{\left(x+1\right)}^2 \end{gathered}$$

$\iff {\log }_2{\left(2x-1\right)}^2\le {\log }_2{\left(x+1\right)}^2$

$$\begin{gathered} \iff {\left(2x-1\right)}^2\le {\left(x+1\right)}^2 \\ \iff 4x^2-4x+1\le x^2+2x+1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff 3x^2-6x\le 0 \\ \iff 3x\left(x-2\right)\le 0 \\ \iff 0\le x\le 2 \end{gathered}$$.

Kết hợp với điều kiện, ta có: $\frac{1}{2}<x\le 2$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(\frac{1}{2};2\right]$ .

Bài 6.35 trang 19 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3^x-9}$ ; b) y = ln (4 – x²);

c) $y=\log \frac{1}{5-x}$ ; d) $y=\frac{2}{{\log }_4\left(x-1\right)}$.

Lời giải:

a) Điều kiện: 3^x – 9 ≠ 0 $\iff$ 3^x ≠ 9 $\iff$ 3^x ≠ 3² $\iff$ x ≠ 2.

Vậy tập xác định của hàm số là ℝ\{2}.

b) Điều kiện: 4 – x² > 0 $\iff$ (2 – x)(2 + x) > 0 $\iff$ −2 < x < 2.

Vậy tập xác định của hàm số là (−2; 2).

c) Điều kiện: $\frac{1}{5-x}>0\iff 5-x>0\iff x<5$.

Vậy tập xác định của hàm số là (−$\infty$; 5).

d) Điều kiện:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-1>0\\ {\log }_4\left(x-1\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ {\log }_4\left(x-1\right)\ne {\log }_{4}1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ x-1\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ x\ne 2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy tập xác định của hàm số là (1; +$\infty$)\{2}.

Bài 6.36 trang 19 SBT Toán 11 Tập 2: Áp suất khí quyển p lên một vật giảm khi độ cao tăng dần. Giả sử áp suất này (tính bằng milimét thủy ngân) được biểu diễn theo độ cao h (tính bằng kilômét) so với mực nước biển bằng công thức p(h) = 760.e^−0,145h.

a) Một máy bay đang chịu áp suất khí quyển 320 mmHg. Tìm độ cao của máy bay đó.

b) Một người đứng trên đỉnh của một ngọn núi và chịu áp suất khí quyển 667 mmHg. Tìm chiều cao của ngọn núi này.

Lời giải:

a) Một máy bay đang chịu áp suất khí quyển 320 mmHg tức là p = 320 thay vào công thức p(h) = 760.e^−0,145h ta được:

760.e^−0,145h = 320 $\iff$ e^−0,145h = 320 : 760

$\iff e^{-0,145h}=\frac{8}{19}$ $\iff -0,145h=\ln \frac{8}{19}$

$\iff h=\ln \frac{8}{19}:\left(-0,145\right)$$\iff h\approx 5,965$(km).

Vậy máy bay ở độ cao khoảng 5,965 km.

b) Một người đứng trên đỉnh của một ngọn núi và chịu áp suất khí quyển 667 mmHg tức p = 667 thay vào công thức p(h) = 760.e^−0,145h ta được: 760.e^−0,145h = 667

$\iff e^{-0,145h}=\frac{667}{760}$$\iff -0,145h=\ln \frac{667}{760}$

$\iff h=\ln \frac{667}{760}:\left(-0,145\right)$$\iff h\approx 0,9$(km).

Vậy chiều cao của ngọn núi khoảng 0,9 km.

Bài 6.37 trang 19 SBT Toán 11 Tập 2: Giả sử giá trị còn lại V (triệu đồng) của một chiếc ô tô nào đó sau t năm được cho bằng công thức V(t) = 730 . (0,82)^t.

a) Theo mô hình này, khi nào chiếc xe có giá trị 500 triệu đồng?

b) Theo mô hình này, khi nào chiếc xe có giá trị 200 triệu đồng?

(Kết quả của câu a và câu b được tính tròn năm).

Lời giải:

a) Chiếc xe có giá trị 500 triệu đồng tức là V = 500 thay vào công thức

V(t) = 730 . (0,82)^t ta được 500 = 730 . (0,82)^t $\iff$${\left(0,82\right)}^t=\frac{50}{73}$$\iff t={\log }_{0,82}\frac{50}{73}$$\iff t\approx 1,91$ (năm).

Vậy chiếc xe có giá trị 500 triệu đồng sau khoảng 2 năm.

b) Chiếc xe có giá trị 200 triệu đồng tức là V = 200 thay vào công thức

V(t) = 730 . (0,82)^t ta được 200 = 730 . (0,82)^t $\iff {\left(0,82\right)}^t=\frac{20}{73}$$\iff t={\log }_{0,82}\frac{20}{73}$$\iff t\approx 6,52$ (năm).

Vậy chiếc xe có giá trị 200 triệu đồng sau khoảng 7 năm.