Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba hay, chi tiết cùng với bài tập chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 9.

Toán 9 Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

I. Lý thuyết Căn bậc hai. Căn bậc ba

1. Ta có x = √a

2. Điều kiện tồn tại của √A là A ≥ 0.

3. 

4. với A ≥ 0; B ≥ 0

Tổng quát với A₁ ≥ 0 (1 ≤ i ≤ n).

5. Với A ≥ 0; B > 0 ta có .

6. Khi đưa thừa số A² ra ngoài dấu căn bậc hai ta được |A|.

; B ≥ 0

7. Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai

8. Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai.

Đối với biểu thức dưới dấu căn, ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp để mẫu số có dạng C²

9. Trục căn thức ở mẫu số

Gồm các dạng cơ bản sau:

(Lưu ý: Nhân cả tử và mẫu với một thừa số thích hợp để mẫu có dạng: )

10. Một số chú ý giải phương trình

II. Một số ví dụ cụ thể

Câu 1: Tìm giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa

Hướng dẫn:

Câu 2: Tính giá trị của biểu thức

Hướng dẫn:

Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau:

Hướng dẫn:

c) Ta có

Câu 4: Giải các phương trình sau đây

Hướng dẫn:

a) Điều kiện: x ≥ 1/2.

b) Điều kiện: x ≥ -2

Ta có

III. Bài tập tự luận

1. Mức độ Nhận biết – Thông hiểu

Câu 1: Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa ?

Lời giải

Câu 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau :

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

Câu 4: So sánh các số sau:

Lời giải

a) Ta có: 64 < 65 ⇒ √64 < √65 ⇒ 8 < √65

b) Ta có:

c) Ta có:

Câu 5: Giải các phương trình sau:

Lời giải

a) Điều kiện: x ≥ 0

Ta có:

Vậy S = {1}.

b) Điều kiện: x ≥ 1/3

Ta có:

Vậy S = {5/3}.

c) Điều kiện: x ≥ -2

Ta có:

d) Điều kiện:

Ta có:

Vậy S = {-4; 3}.

2. Mức độ Vận dụng – Vận dụng cao.

Câu 1: Cho biểu thức

với x > 0, x ≠ 0.

a) Rút gọn biểu thức V.

b) Tìm giá trị của x để V = 1/3.

Lời giải

Điều kiện x ≠ 4.

a) Ta có:

b) Theo bài ra,

( thỏa mãn điều kiện).

Vậy x = 64

Câu 2: Giải các phương trình sau:

Lời giải

Câu 3: Cho biểu thức:

, với x ≥ 0, x ≠ 1.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Cho biểu thức, với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4. Chứng minh Q ≥ 6

Lời giải

Câu 4: Cho hai biểu thức

với x ≥ 0, x ≠ 25.

a. Tính giá trị biểu thức A khi x = 9.

b. Chứng minh rằng

c. Tìm tất cả các giá trị của x để A = B.|x - 4|.

Lời giải

a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9.

Khi x = 9 ta có:

Vậy với x = 9 thì giá trị của biểu thức A là -5/2

b) Chứng minh rằng

Với x ≥ 0, x ≠ 25 thì

c) Tìm tất cả các giá trị của x để A = B.|x - 4|.

Với x ≥ 0, x ≠ 25 Ta có: A = B.|x - 4|

Vậy có hai giá trị x = 1 và x = 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5: Tìm x, y, z biết rằng

Lời giải

Điều kiện: x ≥ 2; y ≥ 3; z ≥ 5

Ta có:

Vậy x = 3; y = 7; z = 14

Câu 6: Chứng minh rằng:

a) Với mọi n ∈ Z⁺, ta có:

b) Với mọi n ∈ Z⁺, ta có:

Lời giải

a) Ta có:

Khi đó

b) Ta có:

Khi đó

(điều phải chứng minh).

Câu 7: Rút gọn các biểu thức sau:

Lời giải

b) Điều kiện

Ta có:

c) Ta có:

Câu 8: Tính

a) Tính GTLN của biểu thức

, biết x + y = 4.

b) Tính GTNN của biểu thức

với 0 < x < 1

Lời giải

a) Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 2

Ta có

Áp dụng BĐT Bunhia – copxki ta có:

b) Để áp dụng BĐT Cosi , ta xét biểu thức

Câu 9: Cho biểu thức

(với x ≥ 0; x ≠ 1).

a) Chứng minh

b) Chứng minh rằng nếu x ≥ 0; x ≠ 1 thì P ≤ 3/2.

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:

Câu 10: Cho biểu thức

(với x > 0; x ≠ 1).

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:

Vì x > 0, x ≠ 1 và x nguyên nên x ∈ {2; 3; 4; ...; 2018}. Suy ra có 2017 giá trị nguyên của x thỏa mãn bài toán.

Câu 11:

a) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn  Chứng minh rằng:

b) Cho các số thực x, y thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức:

c) Tính giá trị của biểu thức:

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:0

Với n ∈ N^*, ta có:

Áp dụng kết quả trên, ta được: