Đáp án đúng là: C

$\widehat{\text{CDE}}$ là góc ngoài đỉnh D. Tứ giác ABCD có:

$\hat{D}\text{= 360}°-\left(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}\right)$

$\hat{D}\text{= 360}°-\left(\text{50}°\text{+ 117}°\text{+ 71}°\right)$

$\hat{D}\text{= 122}°$

Vì $\widehat{\text{ADC}}$ và $\widehat{\text{CDE}}$ là hai góc kề bù nên:

$\widehat{\text{CDE}}\text{= 180}°-\hat{D}\text{= 180}°-\text{122}°\text{= 58}°$

Góc ngoài và góc trong tứ giác tại một đỉnh là hai góc kề bù.

Đáp án đúng là: C

Trong tứ giác ABCD ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$

$\Rightarrow \hat{\text{C}}+\hat{\text{D}}\text{= 360}°-\hat{\text{A}}-\hat{\text{B}}\text{= 360}°-\text{100}°-\text{120}°\text{= 140}°\text{(1)}$

Mà $\hat{C}-\hat{D}\text{= 20}°$(2)

Từ (1), (2) suy ra: $\hat{C}=80°;\hat{D}\text{= 60}°$

Đáp án đúng là: D

Vì góc ngoài đỉnh D bằng 50° nên góc trong tại đỉnh D là: $\hat{D}\text{= 180}°-\text{50}°\text{= 130}°$

Vì góc ngoài tại đỉnh A bằng 100^o nên góc trong tại đỉnh A là: $\hat{A}\text{= 180}°-\text{100}°=\text{80}°$

Suy ra: $\hat{A}+\hat{D}\text{= 80}°\text{+ 130}°\text{= 210}°$

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC:

$AB+BC>AC$ (bất đẳng thức tam giác)

Tương tự, lần lượt các tam giác BCD, CDA, DAB ta có:

$BC+CD>BD$

$CD+DA>CA$

$\mathrm{DA}+\mathrm{AB}>\mathrm{DB}$

Cộng vế với vế ta được các bất đẳng thức trên ta được:

$AB+BC+CD+CD+DA+DA+AB>AC+BD+CA+DB$

$\iff 2\left(AB+BC+CD+DA\right)>2\left(AC+BD\right)$

$\iff AB+BC+CD+DA>AC+BD$

Mà: $AC+BD=OA+OC+OB+OD$ (hệ thức cộng đoạn thẳng)

$\iff OA+OB+OC+OD<AB+BC+CD+DA$

Vậy ta có: $OA+OB+OC+OD<AB+BC+CD+DA$

Đáp án đúng là: A

Vì số đo của các góc $\hat{A},\hat{B},\hat{C},\hat{D}$ tỉ lệ thuận với 4; 3; 5; 6 nên áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{\hat{A}}{\text{4}}=\frac{\hat{B}}{3}=\frac{\hat{C}}{\text{5}}=\frac{\hat{D}}{\text{6}}=\frac{\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}}{\text{18}}=\frac{\text{360}°}{\text{18}}\text{= 20}°$

Do đó: $\hat{A}\text{= 20}°\text{.4 = 80}°$

$\hat{B}\text{= 20}°\text{.3 = 60}°$

$\hat{C}\text{= 20}°\text{.5 = 100}°$

$\hat{D}\text{= 20}°\text{.6 = 120}°$

Nên số đo các góc $\hat{A},\hat{B},\hat{C},\hat{D}$ lần lượt là $\text{80}°\text{; 60}°\text{; 100}°\text{; 120}°$

Câu 6. Hãy chọn câu sai trong các câu sau:

A. Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác.

B. Tổng các góc của một tứ giác bằng 180°.

C. Tổng các góc của một tứ giác bằng 360°.

D. Tứ giác ABCD là hình gồm các đoạn thẳng AB, BC, DC, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng.

Câu 7. Các góc của tứ giác có thể là

A. 4 góc nhọn.

B. 4 góc tù.

C. 4 góc vuông.

D. 1góc vuông, 3 góc nhọn.

Câu 8. Cho hình vẽ dưới đây. Chọn khẳng định sai trong các câu sau

A. Hai đỉnh kề nhau: A và B; A và D.

B. Hai đỉnh đối nhau: A và C; B và D.

C. Đường chéo: AC, BD.

D. Các điểm nằm trong tứ giác là E, F và các điểm nằm ngoài tứ giác là H.

Câu 9. Tứ giác ABCD có $\hat{A}=\; 50°;\hat{B}=\; 123°;\hat{D}=\; 20°$. Số đo của góc C là:

A. 160°

B. 167°

C. 170°

D. 130°

Câu 10. Cho tứ giác ABCD trong đó: $\hat{\text{A}}+\hat{\text{B}}=\; 140°.$ Tổng $\hat{\text{C}}+\hat{\text{D}}$ bằng:

A. 220°

B. 200°

C. 160°

D. 130°

Đáp án đúng là: D

Gọi góc ngoài tại 4 đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD lần lượt là: $\widehat{{\text{A}}_2};\widehat{{\text{B}}_2};\widehat{{\text{C}}_2};\widehat{{\text{D}}_2}$

Khi đó ta có:

$\widehat{A_1}+\widehat{A_2}\text{= 180}°\Rightarrow \widehat{{\text{A}}_2}\text{= 180}°-\widehat{A_1}$

$\widehat{B_1}+\widehat{{\text{B}}_2}\text{= 180}°\Rightarrow \widehat{{\text{B}}_2}\text{= 180}°-\widehat{B_1}$

$\widehat{C_1}+\widehat{{\text{C}}_2}\text{= 180}°\Rightarrow \widehat{{\text{C}}_2}\text{= 180}°-\widehat{C_1}$

$\widehat{D_1}+\widehat{{\text{D}}_2}\text{= 180}°\Rightarrow \widehat{{\text{D}}_2}\text{= 180}°-\widehat{D_1}$

Suy ra:

$\widehat{A_2}+\widehat{B_2}+\widehat{C_2}+\widehat{D_2}=\left(180°-\widehat{A_1}\right)+\left(180°-\widehat{B_1}\right)$ $+\left(180°-\widehat{C_1}\right)+\left(180°-\widehat{D_1}\right)$

$\widehat{A_2}+\widehat{B_2}+\widehat{C_2}+\widehat{D_2}=720°-\left(\widehat{A_1}+\widehat{B_1}+\widehat{C_1}+\widehat{D_1}\right)$

$\widehat{A_2}+\widehat{B_2}+\widehat{C_2}+\widehat{D_2}=720°-360°=360°$

Vậy số đo 4 góc ngoài tứ giác tại 4 đỉnh A, B, C, D bằng 360°

Đáp án đúng là: A

Gọi góc ngoài tại 4 đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD lần lượt là: $\widehat{{\text{A}}_2};\widehat{{\text{B}}_2};\widehat{{\text{C}}_2};\widehat{{\text{D}}_2}$

Khi đó ta có:

$\widehat{A_1}+\widehat{A_2}\text{= 180}°\Rightarrow \widehat{{\text{A}}_2}\text{= 180}°-\widehat{A_1}$

$\widehat{B_1}+\widehat{{\text{B}}_2}\text{= 180}°\Rightarrow \widehat{{\text{B}}_2}\text{= 180}°-\widehat{B_1}$

$\widehat{C_1}+\widehat{{\text{C}}_2}\text{= 180}°\Rightarrow \widehat{{\text{C}}_2}\text{= 180}°-\widehat{C_1}$

$\widehat{D_1}+\widehat{{\text{D}}_2}\text{= 180}°\Rightarrow \widehat{{\text{D}}_2}\text{= 180}°-\widehat{D_1}$

Suy ra:

$\widehat{A_2}+\widehat{B_2}+\widehat{C_2}+\widehat{D_2}$ $=\left(180°-\widehat{A_1}\right)+\left(180°-\widehat{B_1}\right)+\left(180°-\widehat{C_1}\right)+\left(180°-\widehat{D_1}\right)$

$\widehat{A_2}+\widehat{B_2}+\widehat{C_2}+\widehat{D_2}=720°-\left(\widehat{A_1}+\widehat{B_1}+\widehat{C_1}+\widehat{D_1}\right)$

$\widehat{A_2}+\widehat{B_2}+\widehat{C_2}+\widehat{D_2}=720°-360°=360°$

Vậy số đo 4 góc ngoài tứ giác tại 4 đỉnh A, B, C, D bằng 360°

Mà tổng số đo góc ngoài hai đỉnh B, C bằng 200°nên tổng số đo góc ngoài tại hai đỉnh A, D bằng $\text{360}°-\text{200}°\text{= 160}°$

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC có AB = AC

$\Rightarrow \text{ΔABC}$ cân tại B mà $\hat{B}=100°$

$\Rightarrow \widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{BCA}}=\frac{\text{180}°-\text{100}°}{\text{2}}\text{= 40}°$

Xét tam giác ADC có CD = DA

$\Rightarrow \text{ΔADC}$ cân tại D có $\widehat{\text{ADC}}\text{= 70}°$

$\Rightarrow \widehat{\text{DAC}}=\widehat{\text{DCA}}=\frac{\text{180}°-\text{70}°}{\text{2}}\text{= 55}°$

Từ đó ta có:

$\hat{A}=\widehat{\text{BAD}}=\widehat{\text{BAC}}+\widehat{\text{CAD}}$

$\Rightarrow \hat{A}=\widehat{\text{BAD}}\text{= 40}°\text{+ 55}°\text{= 95}°$

Vậy $\hat{C}=\widehat{\text{BCD}}=\widehat{\text{BCA}}+\widehat{\text{ACD}}$

$\Rightarrow \hat{\text{C}}=\widehat{\text{BCD}}\text{= 40}°\text{+ 55}°\text{= 95}°$

Vậy $\hat{A}=\hat{C}\text{= 95}°$

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác BIC có:

$\widehat{\text{IBC}}=\widehat{I_1}-\widehat{\text{BCI}}$

Xét tam giác DIC có:

$\widehat{\text{IDC}}=\widehat{{\text{I}}_{\text{2}}}-\widehat{\text{ICD}}$

Nên: $\widehat{\text{IBC}}+\widehat{\text{IDC}}\text{=}\left(\widehat{{\text{I}}_{\text{1}}}+\widehat{{\text{I}}_{\text{2}}}\right)-\left(\widehat{{\text{C}}_{\text{1}}}+\widehat{{\text{C}}_{\text{2}}}\right)=\widehat{\text{BID}}-\hat{C}$

Tứ giác ABID:

$\widehat{\text{ABI}}+\widehat{\text{ADI}}\text{= 360}°-\hat{A}-\widehat{\text{BID}}$

Do: $\widehat{\text{ADI}}=\widehat{\text{IDC}}$ (tính chất của tia phân giác)

Nên: $\widehat{\text{IBC}}+\widehat{\text{IDC}}=\widehat{\text{ABI}}+\widehat{\text{ADI}}$

Hay

$\widehat{\text{BID}}-\hat{C}\text{= 360}°-\hat{A}-\widehat{\text{BID}}$

$\iff \text{2}\widehat{\text{BID}}\text{= 360}°-\left(\hat{A}-\hat{C}\right)\text{= 360}°-1\text{60}°\text{= 200}°$

Suy ra: $\widehat{\text{BID}}\text{= 100}°$

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC có:

$\hat{A}+\widehat{\text{ABC}}+\widehat{\text{BCA}}\text{= 180}°$

$\Rightarrow \widehat{\text{ABC}}+\widehat{\text{BCA}}\text{= 120}°$

Vì BI là phân giác $\widehat{\text{BAC}}\Rightarrow \widehat{\text{CBI}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}\widehat{\text{BAC}}$

Vì CI là phân giác $\widehat{\text{BCA}}\Rightarrow \widehat{\text{BCI}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}\widehat{\text{BCA}}$

Từ đó: $\widehat{\text{CBI}}+\widehat{\text{BCI}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}\left(\widehat{\text{BAC}}+\widehat{\text{BCA}}\right)=\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{.120}°\text{= 60}°$

Xét tam giác BCI có: $\widehat{\text{BCI}}+\widehat{\text{BIC}}+\widehat{\text{CBI}}\text{= 180}°$

Nên: $\widehat{\text{BIC}}\text{= 180}°-\left(\widehat{\text{BCI}}+\widehat{\text{CBI}}\right)\text{= 180}°-\text{60}°\text{= 120}°$

Vì BI là phân giác $\widehat{\text{BAC}}\Rightarrow \widehat{\text{CBI}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}\widehat{\text{BAC}}$

Vì BK là phân giác $\widehat{\text{CBx}}\Rightarrow \widehat{\text{CBK}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}\widehat{\text{CBx}}$

Suy ra: $\widehat{\text{CBK}}+\widehat{\text{CBI}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}\left(\widehat{\text{CBx}}+\widehat{\text{ABC}}\right)=\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{.180}°\text{= 90}°$

Hay $\widehat{\text{IBK}}\text{= 90}°$

Tương tự ta có: $\widehat{\text{ICK}}\text{= 90}°$

Xét tứ giác BICK có:

$\widehat{\text{BIC}}+\widehat{\text{IBC}}+\widehat{\text{ICK}}+\widehat{\text{BKC}}\text{= 360}°$

$\Rightarrow \widehat{\text{BKC}}\text{= 360}°-\text{90}°-\text{90}°-\text{120}°\text{= 60}°$

Vậy $\widehat{\text{BIC}}\text{= 120}°;\widehat{\text{BKC}}\text{= 60}°$