Trả lời nhanh
Tứ giác AEDF có DE // AF (vì DE // AB, F thuộc AB) và DF // AE (vì DF // AC, E thuộc AC) nên là hình bình hành. Nó là hình thoi khi D là chân đường phân giác góc A. Nó là hình chữ nhật khi tam giác ABC vuông tại A. Nó là hình vuông khi xảy ra cả hai điều kiện.
Đề bài
Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E và F.
Đề này thường có các câu hỏi đi kèm. Trang này giải các câu hay gặp nhất:
- Chứng minh AEDF là hình bình hành.
- D ở vị trí nào trên BC thì AEDF là hình thoi?
- Tam giác ABC cần điều kiện gì để AEDF là hình chữ nhật? Hình vuông?
- Câu mở rộng: chứng minh DE/AB + DF/AC = 1.
Vẽ hình và đọc kỹ giả thiết
Cần nhớ: DE // AB nên E nằm trên AC. DF // AC nên F nằm trên AB. Nhiều bạn nhầm DE cắt AB, thực ra DE cắt cạnh AC.
Câu a: Chứng minh AEDF là hình bình hành
Cách giải (dấu hiệu hai cặp cạnh đối song song):
- F thuộc AB và DE // AB nên DE // AF.
- E thuộc AC và DF // AC nên DF // AE.
Tứ giác AEDF có hai cặp cạnh đối song song: DE // AF và DF // AE. Vậy AEDF là hình bình hành. ∎
Hệ quả dùng cho các câu sau: AE = DF, AF = DE, và hai đường chéo AD, EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Câu b: Vị trí của D để AEDF là hình thoi
Hình bình hành là hình thoi khi có một đường chéo là phân giác của một góc. Ở đây đường chéo AD xuất phát từ đỉnh A, nên ta cần AD là phân giác góc BAC.
Kết luận: AEDF là hình thoi khi và chỉ khi D là chân đường phân giác của góc A (D là giao điểm của phân giác góc A với BC).
Chứng minh chiều thuận (D là chân phân giác thì AEDF là hình thoi):
- Vì AD là phân giác nên góc FAD = góc EAD.
- Vì DE // AF nên góc EDA = góc FAD (so le trong).
- Suy ra góc EDA = góc EAD, nên tam giác AED cân tại E, tức EA = ED.
- Hình bình hành AEDF có hai cạnh kề AE = ED nên là hình thoi.
Chiều ngược lại: hình thoi có đường chéo AD là phân giác của góc A, nên D nằm trên phân giác góc A, tức D là chân phân giác.
Lỗi hay gặp: trả lời “D là trung điểm BC”. Điều này chỉ đúng khi tam giác ABC cân tại A, vì khi đó trung tuyến cũng là phân giác.
Câu c: Điều kiện để AEDF là hình chữ nhật, hình vuông
- Hình chữ nhật: hình bình hành có một góc vuông. Góc EAF chính là góc BAC. Vậy AEDF là hình chữ nhật khi góc A = 90°, tức tam giác ABC vuông tại A. Khi đó D là điểm bất kỳ nằm giữa B và C.
- Hình vuông: vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi. Cần tam giác ABC vuông tại A và D là chân phân giác góc A.
| Muốn AEDF là… | Điều kiện |
|---|---|
| Hình bình hành | Luôn đúng với mọi D nằm giữa B, C |
| Hình thoi | D là chân phân giác góc A |
| Hình chữ nhật | Góc A = 90° |
| Hình vuông | Góc A = 90° và D là chân phân giác góc A |
Câu mở rộng: DE/AB + DF/AC = 1
Xét tam giác CAB có DE // AB (E thuộc AC, D thuộc CB), nên DE/AB = CD/CB.
Xét tam giác BAC có DF // AC (F thuộc AB, D thuộc BC), nên DF/AC = BD/BC.
Cộng hai đẳng thức: DE/AB + DF/AC = (CD + BD)/BC = BC/BC = 1, vì D nằm giữa B và C. ∎
Hệ thức này giúp tính nhanh độ dài các cạnh của hình bình hành khi biết AB, AC và vị trí D.
Bài luyện tập (số liệu tự đặt)
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, D là trung điểm BC. Tính chu vi hình bình hành AEDF.
Đáp án: Vì D là trung điểm nên CD/CB = BD/BC = 1/2. Do đó DE = 1/2 · AB = 3 cm và DF = 1/2 · AC = 4 cm. Chu vi = 2 · (3 + 4) = 14 cm.
Bài 2. Với AB = 6 cm, AC = 3 cm, D là chân phân giác góc A. Tính cạnh của hình thoi AEDF.
Đáp án: Gọi cạnh hình thoi là x, thì DE = DF = x. Từ hệ thức mở rộng: x/6 + x/3 = 1, nên x/6 + 2x/6 = 1, suy ra x = 2 cm.
Bài 3. Tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tìm D để AEDF là hình vuông và tính cạnh hình vuông.
Đáp án: D là chân phân giác góc A. Từ x/3 + x/4 = 1 suy ra 7x/12 = 1, nên x = 12/7 cm.
Mẹo nhớ: với AB = a, AC = b, hình thoi AEDF có cạnh bằng ab/(a + b).
Tóm tắt cách làm
- Muốn chứng minh hình bình hành, chỉ ra hai cặp cạnh đối song song bằng cách dùng giả thiết DE // AB, DF // AC.
- Câu hỏi “vị trí D” thường dẫn tới phân giác (hình thoi) hoặc điều kiện về góc A (hình chữ nhật).
- Có tỉ lệ độ dài thì nghĩ tới định lí Ta-lét trong tam giác.
Câu hỏi thường gặp
Tứ giác AEDF là hình gì khi D là điểm bất kỳ nằm giữa B và C?
AEDF luôn là hình bình hành, vì DE // AF và DF // AE theo cách dựng. Muốn nó là hình thoi, hình chữ nhật hay hình vuông thì phải có thêm điều kiện về D hoặc về tam giác ABC.
D ở đâu thì AEDF là hình thoi?
Khi D là chân đường phân giác của góc A. Lúc đó đường chéo AD là phân giác nên hình bình hành AEDF có hai cạnh kề bằng nhau.
Khi nào AEDF là hình chữ nhật?
Khi tam giác ABC vuông tại A, vì góc EAF chính là góc BAC. Khi đó D có thể là điểm bất kỳ nằm giữa B và C.
Hệ thức DE/AB + DF/AC = 1 chứng minh thế nào?
Dùng định lí Ta-lét: DE/AB = CD/CB và DF/AC = BD/BC. Cộng lại được (CD + BD)/BC = 1 vì D nằm giữa B và C.