Trả lời nhanh
Hàm số y = 1/(sin x − cos x) xác định khi mẫu số khác 0, tức sin x − cos x ≠ 0. Vì sin x − cos x = √2·sin(x − π/4) nên điều kiện là x − π/4 ≠ kπ, hay x ≠ π/4 + kπ. Vậy tập xác định là D = ℝ \ {π/4 + kπ, k ∈ ℤ}. Nếu mẫu là sin x + cos x thì loại các điểm x = −π/4 + kπ.
Cách giải từng bước
Hàm phân thức có tập xác định gồm mọi giá trị làm mẫu số khác 0. Với bài này, em chỉ cần giải phương trình sin x − cos x = 0 rồi loại các nghiệm đó.
- Đặt điều kiện: sin x − cos x ≠ 0.
- Giải sin x = cos x. Nếu cos x = 0 thì sin x = ±1 nên không thể bằng cos x; do đó cos x ≠ 0 và ta chia hai vế cho cos x được tan x = 1.
- Suy ra x = π/4 + kπ (k ∈ ℤ).
- Kết luận: D = ℝ \ {π/4 + kπ, k ∈ ℤ}.
Cách làm khác: dùng công thức biến đổi
Áp dụng công thức sin x − cos x = √2·sin(x − π/4). Mẫu số bằng 0 khi sin(x − π/4) = 0, tức x − π/4 = kπ, cho cùng kết quả x = π/4 + kπ. Cách này nhanh hơn khi gặp tổng a·sin x + b·cos x bất kì, vì em luôn đưa được về dạng R·sin(x + φ).
Vì sao chu kì là π mà không phải 2π?
Phương trình tan x = 1 có nghiệm lặp lại sau mỗi nửa vòng tròn, nên các điểm bị loại cách nhau π. Trên đường tròn lượng giác, hai điểm bị loại là 45° và 225° (tức π/4 và 5π/4), nằm trên đường thẳng y = x đi qua gốc toạ độ. Chỉ cần nhớ: sin x = cos x ứng với điểm có hoành độ bằng tung độ.
Đối chiếu các dạng hay gặp
| Hàm số | Điều kiện | Tập xác định |
|---|---|---|
| y = 1/(sin x − cos x) | tan x ≠ 1 | ℝ \ {π/4 + kπ} |
| y = 1/(sin x + cos x) | tan x ≠ −1 | ℝ \ {−π/4 + kπ} |
| y = (1 − sin x)/cos x | cos x ≠ 0 | ℝ \ {π/2 + kπ} |
| y = 1/(sin x · cos x) | sin 2x ≠ 0 | ℝ \ {kπ/2} |
Lưu ý đề thi hay đưa ra các đáp án nhìn giống nhau như ℝ \ {kπ}, ℝ \ {π/2 + kπ} hay ℝ \ {π/4 + kπ}. Em hãy thử một giá trị cụ thể: với x = π/4 thì sin x − cos x = 0 nên π/4 không thuộc tập xác định, loại ngay các đáp án còn chứa π/4.
Lỗi sai thường gặp
- Chia cho cos x khi chưa kiểm tra cos x = 0. Ở bài này an toàn vì cos x = 0 không thoả sin x = cos x, nhưng với phương trình khác em phải xét riêng trường hợp đó.
- Kết luận x ≠ π/4 + 2kπ. Điểm 5π/4 cũng làm mẫu bằng 0 nên phải dùng chu kì π.
- Nhầm dấu của hai dạng ±. sin x − cos x gắn với x − π/4, còn sin x + cos x gắn với x + π/4.
- Quên chữ “k ∈ ℤ”. Không ghi tập chỉ số k thì lời giải thiếu chặt chẽ.
Luyện tập
- Tìm tập xác định của y = 1/(sin x + cos x). Đáp án: ℝ \ {−π/4 + kπ, k ∈ ℤ}.
- Tìm tập xác định của y = tan x / (sin x − cos x). Đáp án: loại thêm cos x = 0, nên x ≠ π/2 + kπ và x ≠ π/4 + kπ.
- Tìm tập xác định của y = 1/(√3·sin x − cos x). Gợi ý: √3·sin x − cos x = 2·sin(x − π/6), nên x ≠ π/6 + kπ.
Đề gốc có thể dùng mẫu sin x − cos x hoặc sin x + cos x; em chỉ cần đối chiếu dấu ở mẫu số rồi chọn dạng nghiệm tương ứng trong bảng trên.
Câu hỏi thường gặp
Tập xác định của hàm số y = 1/(sin x − cos x) là gì?
Là D = ℝ \ {π/4 + kπ, k ∈ ℤ}, vì mẫu số sin x − cos x bằng 0 khi và chỉ khi tan x = 1.
Hàm số y = 1/(sin x + cos x) có tập xác định thế nào?
Là ℝ \ {−π/4 + kπ, k ∈ ℤ}, vì sin x + cos x = √2·sin(x + π/4) bằng 0 khi x = −π/4 + kπ.
Vì sao dùng kπ mà không dùng 2kπ?
Phương trình tan x = 1 lặp lại nghiệm sau mỗi khoảng π, nên các điểm làm mẫu bằng 0 cách nhau π.
Có cách kiểm tra nhanh đáp án trắc nghiệm không?
Có. Thay x = π/4 vào mẫu số: sin(π/4) − cos(π/4) = 0, nên π/4 phải bị loại khỏi tập xác định.