Hình chóp tứ giác đều có mặt bên là hình gì? 20 bài tập

Trả lời nhanh

Hình chóp tứ giác đều có mặt bên là các tam giác cân bằng nhau (chung đỉnh S) và mặt đáy là hình vuông; hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và ba mặt bên là tam giác cân bằng nhau. Hai công thức cần nhớ: diện tích xung quanh S_xq = p · d (p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn) và thể tích V = 1/3 · S_đáy · h. Bên dưới là 20 bài tập (8 trắc nghiệm, 12 tự luận) có đáp án, sau đó là phần lý thuyết tóm tắt.

A. Bài tập hình chóp tam giác đều – hình chóp tứ giác đều

Các bài được sắp từ nhận biết đến vận dụng, dùng chung cho cả ba bộ sách Toán 8 mới. Em nên tự làm trước rồi mới xem lời giải.

Bài tập trắc nghiệm (Bài 1 – Bài 8)

Bài 1. Hình chóp tứ giác đều có mặt bên là hình gì?

A. Hình vuông
B. Tam giác cân
C. Tam giác vuông
D. Hình chữ nhật

Đáp án B. Bốn mặt bên là bốn tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh S. Trường hợp đặc biệt, nếu cạnh bên bằng cạnh đáy thì mỗi mặt bên là tam giác đều (vẫn là tam giác cân).

Bài 2. Mặt đáy của hình chóp tam giác đều là

A. tam giác vuông cân
B. tam giác cân
C. tam giác đều
D. tam giác vuông

Đáp án C. Chữ “đều” trong tên hình chóp nói về đáy: đáy là đa giác đều (tam giác đều hoặc hình vuông).

Bài 3. Số đỉnh, số cạnh, số mặt của hình chóp tứ giác đều lần lượt là

A. 5; 8; 5
B. 4; 8; 5
C. 5; 8; 4
D. 5; 6; 5

Đáp án A. Có 1 đỉnh S và 4 đỉnh của đáy (5 đỉnh); 4 cạnh bên và 4 cạnh đáy (8 cạnh); 4 mặt bên và 1 mặt đáy (5 mặt).

Bài 4. Hình chóp tam giác đều có bao nhiêu cạnh?

A. 3
B. 4
C. 6
D. 8

Đáp án C. 3 cạnh bên và 3 cạnh đáy. Hình này có 4 đỉnh và 4 mặt (đều là tam giác).

Bài 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao SO. Điểm O là

A. trung điểm của AB
B. giao điểm của hai đường chéo AC và BD
C. trùng với đỉnh A
D. trung điểm của SC

Đáp án B. Chân đường cao là tâm của hình vuông đáy. Với hình chóp tam giác đều, chân đường cao là trọng tâm của tam giác đáy.

Bài 6. Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 8 cm, trung đoạn 10 cm. Diện tích xung quanh là

A. 80 cm²
B. 160 cm²
C. 320 cm²
D. 240 cm²

Đáp án B. p = 4 · 8 : 2 = 16 cm; S_xq = 16 · 10 = 160 cm². Phương án C là lỗi quên chia đôi chu vi.

Bài 7. Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 6 cm, chiều cao 10 cm. Thể tích của hình chóp là

A. 360 cm³
B. 180 cm³
C. 120 cm³
D. 60 cm³

Đáp án C. S_đáy = 6 · 6 = 36 cm²; V = 1/3 · 36 · 10 = 120 cm³. Phương án A là lỗi quên nhân 1/3.

Bài 8. Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy 6 cm, trung đoạn 7 cm. Diện tích xung quanh là

A. 126 cm²
B. 63 cm²
C. 42 cm²
D. 21 cm²

Đáp án B. p = 3 · 6 : 2 = 9 cm; S_xq = 9 · 7 = 63 cm².

Bài tập tự luận (Bài 9 – Bài 20)

Bài 9. Mỗi phát biểu sau đúng hay sai? Sửa lại phát biểu sai.

Phát biểu	Đúng/Sai	Sửa lại (nếu sai)
a) Mọi cạnh của hình chóp tứ giác đều bằng nhau.	Sai	Các cạnh bên bằng nhau, các cạnh đáy bằng nhau; cạnh bên không nhất thiết bằng cạnh đáy.
b) Trung đoạn là đường cao của một mặt bên, kẻ từ đỉnh của hình chóp.	Đúng	–
c) Chiều cao của hình chóp đều luôn lớn hơn trung đoạn.	Sai	Chiều cao luôn nhỏ hơn trung đoạn, vì tam giác SOM vuông tại O có SM là cạnh huyền.
d) Hình chóp tam giác đều có cả 4 mặt đều là tam giác.	Đúng	–

Bài 10. Cho hình chóp tam giác đều S.MNP có SM = 8 cm, MN = 5 cm. Nêu đỉnh, các mặt bên, độ dài các cạnh còn lại, số đo mỗi góc của đáy và tổng độ dài tất cả các cạnh.

Lời giải: Đỉnh S; ba mặt bên SMN, SNP, SPM. Các mặt bên là tam giác cân bằng nhau nên SN = SP = SM = 8 cm. Đáy MNP là tam giác đều nên NP = PM = MN = 5 cm và mỗi góc của đáy bằng 60°. Tổng độ dài các cạnh: 3 · 8 + 3 · 5 = 39 cm.

Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA = 12 cm, AB = 9 cm. Tính các cạnh còn lại, chu vi đáy và tổng độ dài tất cả các cạnh. Chỉ ra đường cao của hình chóp.

Lời giải: SB = SC = SD = 12 cm; BC = CD = DA = 9 cm; mỗi góc của đáy bằng 90°. Chu vi đáy: 4 · 9 = 36 cm. Tổng các cạnh: 4 · 12 + 4 · 9 = 84 cm. Gọi O là giao điểm của AC và BD thì SO là đường cao.

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy hình vuông ABCD, đường cao SO từ đỉnh S xuống tâm O của đáy và trung đoạn SM nối S với trung điểm M của cạnh BC — Hình 1. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đường cao SO và trung đoạn SM.

Bài 12. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 10 cm, trung đoạn 13 cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.

Lời giải: p = 4 · 10 : 2 = 20 cm; S_xq = 20 · 13 = 260 cm². S_đáy = 10 · 10 = 100 cm². S_tp = 260 + 100 = 360 cm².

Bài 13. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 10 cm, cạnh bên 13 cm. Tính trung đoạn và diện tích xung quanh.

Lời giải: Gọi M là trung điểm BC. Tam giác SBC cân tại S nên SM ⊥ BC, BM = 5 cm. Theo định lí Pythagore trong tam giác SMB vuông tại M: SM² = 13² − 5² = 144, SM = 12 cm. S_xq = 20 · 12 = 240 cm².

Bài 14. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 10 cm và thể tích 300 cm³. Tính chiều cao.

Lời giải: Từ V = 1/3 · S · h suy ra h = 3V : S = 3 · 300 : 100 = 9 cm.

Bài 15. Hình chóp tứ giác đều có chiều cao 8 cm và thể tích 96 cm³. Tính độ dài cạnh đáy.

Lời giải: S_đáy = 3V : h = 3 · 96 : 8 = 36 cm². Đáy là hình vuông nên cạnh đáy a thỏa mãn a² = 36, a = 6 cm.

Bài 16. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 16 cm, chiều cao SO = 6 cm. Tính trung đoạn, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích.

Lời giải: Gọi M là trung điểm BC. O là tâm hình vuông nên OM = 16 : 2 = 8 cm. Tam giác SOM vuông tại O: SM² = 6² + 8² = 100, SM = 10 cm.

S_xq = (4 · 16 : 2) · 10 = 32 · 10 = 320 cm².
S_đáy = 16 · 16 = 256 cm²; S_tp = 320 + 256 = 576 cm².
V = 1/3 · 256 · 6 = 512 cm³.

Bài 17. Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy 6 cm, cạnh bên 5 cm. Tính trung đoạn, diện tích xung quanh và diện tích toàn phần (lấy √3 ≈ 1,732).

Lời giải: Trung đoạn d = √(5² − 3²) = √16 = 4 cm. S_xq = 9 · 4 = 36 cm². Đáy là tam giác đều cạnh 6 cm nên S_đáy = 6² · √3 : 4 = 9√3 ≈ 15,59 cm². S_tp ≈ 36 + 15,59 = 51,59 cm².

Bài 18. Kim tự tháp Kheops (Ai Cập) có dạng gần đúng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy khoảng 230 m, chiều cao ban đầu khoảng 147 m. Ước tính thể tích của kim tự tháp.

Lời giải: V ≈ 1/3 · 230² · 147 = 1/3 · 52 900 · 147 = 2 592 100 m³, tức khoảng 2,6 triệu mét khối (kết quả gần đúng vì số đo đã làm tròn).

Bài 19. Một chiếc lều cắm trại có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy 2 m, trung đoạn 2,5 m. Lều không may đáy. Tính diện tích vải cần dùng và số tiền mua vải, biết 1 m² vải giá 45 000 đồng (bỏ qua phần vải may viền).

Lời giải: Vải chỉ phủ bốn mặt bên nên cần S_xq = (4 · 2 : 2) · 2,5 = 4 · 2,5 = 10 m². Số tiền: 10 · 45 000 = 450 000 đồng.

Bài 20. Bạn Mai làm một chiếc đèn lồng hình chóp tam giác đều mà cả bốn mặt đều là tam giác đều cạnh 20 cm. Tính trung đoạn và tổng diện tích giấy cần dán kín bốn mặt (lấy √3 ≈ 1,732, bỏ qua mép dán).

Lời giải: Trung đoạn d = √(20² − 10²) = √300 = 10√3 ≈ 17,32 cm. S_xq = (3 · 20 : 2) · 17,32 = 30 · 17,32 ≈ 519,6 cm². Mặt đáy cũng là tam giác đều cạnh 20 cm: S_đáy = 1/2 · 20 · 17,32 ≈ 173,2 cm². Tổng diện tích giấy ≈ 519,6 + 173,2 = 692,8 cm².

B. Lý thuyết hình chóp tam giác đều – hình chóp tứ giác đều

1. Các yếu tố của hình chóp tam giác đều

Hình chóp tam giác đều S.ABC có:

Đỉnh S; mặt đáy ABC là tam giác đều; cạnh đáy AB, BC, CA bằng nhau.
Cạnh bên SA = SB = SC; ba mặt bên SAB, SBC, SCA là các tam giác cân bằng nhau.
Đường cao SO, trong đó O là trọng tâm (cũng là tâm) của tam giác đáy; độ dài SO là chiều cao.

2. Các yếu tố của hình chóp tứ giác đều

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, bốn cạnh bên SA = SB = SC = SD, bốn mặt bên SAB, SBC, SCD, SDA là các tam giác cân bằng nhau. Đường cao SO có chân O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông đáy. Đây chính là câu trả lời cho thắc mắc thường gặp “hình chóp tứ giác đều có mặt bên là hình gì”: mặt bên luôn là tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.

Trung đoạn là đường cao của mặt bên kẻ từ đỉnh S, ví dụ SM với M là trung điểm cạnh đáy BC. Mọi trung đoạn của một hình chóp đều có độ dài bằng nhau.

3. Tạo lập hình chóp đều từ tấm bìa

Hình chóp tam giác đều: vẽ một tam giác đều, trên mỗi cạnh của nó vẽ một tam giác cân nhận cạnh đó làm đáy (các tam giác cân bằng nhau). Cắt theo đường viền ngoài, gấp theo ba cạnh của tam giác đều rồi dán lại.
Hình chóp tứ giác đều: vẽ một hình vuông, trên mỗi cạnh vẽ một tam giác cân bằng nhau nhận cạnh đó làm đáy. Cắt, gấp theo bốn cạnh của hình vuông. Lưu ý: nếu các tam giác không được đặt mỗi cái trên một cạnh khác nhau của hình vuông thì khi gấp sẽ bị chồng mặt và thiếu mặt.

4. Công thức diện tích và thể tích

Đại lượng	Công thức	Ghi chú
Diện tích xung quanh	S_xq = p · d	p: nửa chu vi đáy; d: trung đoạn
Diện tích toàn phần	S_tp = S_xq + S_đáy	Đáy hình vuông: a²; đáy tam giác đều: a²√3 : 4
Thể tích	V = 1/3 · S_đáy · h	h: chiều cao (độ dài SO)
Liên hệ h, d (chóp tứ giác đều)	d² = h² + (a/2)²	Tam giác SOM vuông tại O
Liên hệ cạnh bên b và d	d² = b² − (a/2)²	Đúng cho cả hai loại hình chóp

Ví dụ: Hình chóp tứ giác đều cạnh đáy 4 cm, trung đoạn 5 cm có S_xq = 8 · 5 = 40 cm² và S_tp = 40 + 16 = 56 cm².

Những lỗi thường gặp khi làm bài hình chóp đều

Dùng chu vi thay cho nửa chu vi trong công thức S_xq = p · d, làm kết quả gấp đôi.
Quên hệ số 1/3 trong công thức thể tích (nhầm với thể tích hình lăng trụ V = S · h).
Nhầm chiều cao với trung đoạn: chiều cao SO vuông góc với đáy, còn trung đoạn SM nằm trong mặt bên. Đọc kĩ đề cho số đo nào.
Nhầm đơn vị: diện tích tính bằng cm², m²; thể tích tính bằng cm³, m³. Bài toán thực tế thường hỏi tiền, cần đổi đúng đơn vị trước khi nhân đơn giá.
Tính diện tích đáy tam giác đều sai: nhớ S = a²√3 : 4, hoặc tính đường cao tam giác đều a√3 : 2 rồi dùng S = 1/2 · đáy · cao.

Câu hỏi thường gặp

Hình chóp tứ giác đều có mặt bên là hình gì?

Các mặt bên là bốn tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh; mặt đáy là hình vuông. Nếu cạnh bên bằng cạnh đáy thì mặt bên là tam giác đều.

Hình chóp tam giác đều có mấy mặt, mấy cạnh, mấy đỉnh?

Có 4 mặt (1 đáy tam giác đều, 3 mặt bên tam giác cân), 6 cạnh và 4 đỉnh.

Trung đoạn của hình chóp đều là gì?

Trung đoạn là đường cao của một mặt bên kẻ từ đỉnh hình chóp, nối đỉnh với trung điểm một cạnh đáy. Các trung đoạn của một hình chóp đều bằng nhau.

Công thức tính thể tích hình chóp tứ giác đều là gì?

V = 1/3 · a² · h, trong đó a là cạnh hình vuông đáy và h là chiều cao của hình chóp.

Diện tích xung quanh hình chóp đều tính thế nào?

Lấy nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn: Sxq = p · d. Muốn tính diện tích toàn phần thì cộng thêm diện tích đáy.