Trả lời nhanh
Cộng, trừ phân thức cùng mẫu: cộng (trừ) các tử thức và giữ nguyên mẫu. Khác mẫu: tìm mẫu thức chung (MTC), quy đồng, rồi cộng (trừ) như trường hợp cùng mẫu và rút gọn kết quả. Khi gặp hai mẫu đối nhau, như x − 2 và 2 − x, hãy đổi dấu một mẫu để đưa về cùng mẫu. Bài viết có 20 bài tập kèm đáp án.
Quy ước viết trong bài: phân thức tử/mẫu được viết dạng (tử)/(mẫu), ví dụ (x+1)/(x−2). Các đáp án đều kèm điều kiện xác định để em không bị mất điểm ở bước này.
1. Nhắc nhanh kiến thức cần nhớ
- Cùng mẫu: A/M + B/M = (A + B)/M; A/M − B/M = (A − B)/M.
- Khác mẫu: phân tích các mẫu thành nhân tử → chọn MTC → nhân tử phụ → quy đồng → cộng/trừ.
- Phép trừ: A/M − B/N = A/M + (−B)/N. Phân thức đối của B/N là (−B)/N, cũng bằng B/(−N).
- Tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với 0. Nhờ đó em có thể nhóm các phân thức cùng mẫu lại trước cho gọn.
Cần xem lại lí thuyết đầy đủ? Em tham khảo bài lí thuyết ở đây: Lý thuyết Phép cộng, phép trừ phân thức đại số.
2. Mẹo làm bài và lỗi sai thường gặp
- Quên đổi dấu khi trừ: trong (x+5)/M − (x−2)/M, tử là (x+5) − (x−2) = 7, không phải 2x + 3. Hãy đặt tử thứ hai trong ngoặc ngay từ đầu.
- Cộng cả mẫu: 1/x + 1/y không bằng 2/(x+y). Mẫu chỉ được giữ nguyên khi đã cùng mẫu.
- Chọn MTC quá cồng kềnh: luôn phân tích mẫu ra nhân tử trước, rồi lấy mỗi nhân tử với số mũ lớn nhất.
- Không rút gọn: đề thường được thiết kế để kết quả cuối rút gọn được. Nếu tử còn phân tích được, hãy thử.
- Bỏ điều kiện: mọi mẫu ban đầu đều phải khác 0.
3. Dạng 1: Cộng, trừ phân thức cùng mẫu (Bài 1–5)
Bài 1. Tính (3x+1)/(x−2) + (x+5)/(x−2).
Đáp án: (3x+1+x+5)/(x−2) = (4x+6)/(x−2), với x ≠ 2.
Bài 2. Tính (5a−b)/(ab) − (2a−3b)/(ab).
Đáp án: (5a − b − 2a + 3b)/(ab) = (3a+2b)/(ab), với a ≠ 0, b ≠ 0.
Bài 3. Tính x²/(x−1) − 1/(x−1).
Đáp án: (x²−1)/(x−1) = (x−1)(x+1)/(x−1) = x + 1, với x ≠ 1.
Bài 4. Tính 2x/(x+3) + 6/(x+3).
Đáp án: (2x+6)/(x+3) = 2(x+3)/(x+3) = 2, với x ≠ −3.
Bài 5. Tính (x²+1)/(x²−1) − 2x/(x²−1).
Đáp án: (x²−2x+1)/(x²−1) = (x−1)²/((x−1)(x+1)) = (x−1)/(x+1), với x ≠ ±1.
4. Dạng 2: Cộng, trừ phân thức khác mẫu (Bài 6–11)
Bài 6. Tính 1/x + 1/y.
Đáp án: MTC = xy. Kết quả (y + x)/(xy), với x, y ≠ 0.
Bài 7. Tính 2/(x−3) + 3/(x+3).
Đáp án: MTC = (x−3)(x+3) = x²−9. Tử: 2(x+3) + 3(x−3) = 5x − 3. Kết quả (5x−3)/(x²−9), với x ≠ ±3.
Bài 8. Tính 1/(x−1) − 2/(x²−1).
Đáp án: MTC = (x−1)(x+1). Tử: (x+1) − 2 = x − 1. Kết quả (x−1)/((x−1)(x+1)) = 1/(x+1), với x ≠ ±1.
Bài 9. Tính 1/x + 1/(x+1) + 1/(x(x+1)).
Đáp án: MTC = x(x+1). Tử: (x+1) + x + 1 = 2x + 2 = 2(x+1). Kết quả 2(x+1)/(x(x+1)) = 2/x, với x ≠ 0, x ≠ −1.
Bài 10. Tính (x+1)/(2x) − (x−1)/(3x).
Đáp án: MTC = 6x. Tử: 3(x+1) − 2(x−1) = 3x + 3 − 2x + 2 = x + 5. Kết quả (x+5)/(6x), với x ≠ 0.
Bài 11. Tính a/(a−b) − b/(a+b).
Đáp án: MTC = a²−b². Tử: a(a+b) − b(a−b) = a² + ab − ab + b² = a² + b². Kết quả (a²+b²)/(a²−b²), với a ≠ ±b.
5. Dạng 3: Mẫu đối nhau, dùng quy tắc đổi dấu (Bài 12–14)
Bài 12. Tính 5/(x−2) + 3/(2−x).
Đáp án: 3/(2−x) = −3/(x−2). Tổng (5−3)/(x−2) = 2/(x−2), với x ≠ 2.
Bài 13. Tính x²/(x−y) + y²/(y−x).
Đáp án: y²/(y−x) = −y²/(x−y). Tổng (x²−y²)/(x−y) = x + y, với x ≠ y.
Bài 14. Tính 1/(x−3) − 6/(9−x²).
Đáp án: −6/(9−x²) = 6/(x²−9). MTC = (x−3)(x+3). Tử: (x+3) + 6 = x + 9. Kết quả (x+9)/(x²−9), với x ≠ ±3.
Mẹo nhớ: đổi dấu mẫu thì đổi luôn dấu của cả phân thức (hoặc dấu đứng trước), như đổi dấu một thừa số trong tích.
6. Dạng 4: Rút gọn, tính giá trị, tìm x nguyên (Bài 15–17)
Bài 15. Rút gọn A = 1/(x−2) − 1/(x+2) − 4/(x²−4).
Đáp án: MTC = x²−4. Tử: (x+2) − (x−2) − 4 = 4 − 4 = 0. Vậy A = 0 với mọi x ≠ ±2.
Bài 16. Rút gọn B = 2/(x−1) + 3/(x+1) rồi tính B khi x = 2.
Đáp án: B = (2(x+1) + 3(x−1))/(x²−1) = (5x−1)/(x²−1). Khi x = 2: (10−1)/(4−1) = 9/3 = 3. Thử lại: 2/1 + 3/3 = 3. ✔
Bài 17. Tìm số nguyên x để C = (x+5)/(x−1) − 2/(x−1) có giá trị nguyên.
Đáp án: C = (x+3)/(x−1) = 1 + 4/(x−1). C nguyên khi (x−1) là ước của 4, tức x − 1 ∈ {±1, ±2, ±4}. Vậy x ∈ {2, 0, 3, −1, 5, −3}.
7. Dạng 5: Bài toán thực tế (Bài 18–20)
Bài 18. Một người đi xe máy từ A đến B dài 60 km với vận tốc x (km/h), lúc về đi chậm hơn 10 km/h (x > 10). Viết biểu thức tổng thời gian đi và về, rồi tính khi x = 40.
Đáp án: Thời gian: 60/x + 60/(x−10) = 60(2x−10)/(x(x−10)) = 120(x−5)/(x(x−10)) (giờ). Với x = 40: 60/40 + 60/30 = 1,5 + 2 = 3,5 giờ.
Bài 19. Vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong x giờ, vòi thứ hai trong y giờ. Mỗi giờ cả hai vòi cùng chảy được bao nhiêu phần bể? Tính khi x = 6, y = 3.
Đáp án: 1/x + 1/y = (x+y)/(xy) (bể). Với x = 6, y = 3: 9/18 = 1/2 bể mỗi giờ, nên hai vòi đầy bể sau 2 giờ.
Bài 20. Hai xe cùng đi quãng đường 240 km, xe thứ nhất vận tốc x (km/h), xe thứ hai nhanh hơn 20 km/h. Xe nào đến trước và sớm hơn bao nhiêu giờ? Tính khi x = 40.
Đáp án: Xe thứ hai đến trước. Chênh lệch: 240/x − 240/(x+20) = 240·20/(x(x+20)) = 4800/(x(x+20)) giờ. Với x = 40: 4800/(40·60) = 2 giờ. Kiểm tra: 240/40 = 6 giờ, 240/60 = 4 giờ, chênh 2 giờ. ✔
8. Cách tự kiểm tra kết quả
- Chọn một giá trị x thoả điều kiện, thay vào đề và vào đáp án; hai kết quả phải bằng nhau.
- Kiểm tra bậc của tử và mẫu: nếu kết quả còn rút gọn được thì chưa xong.
- Soát dấu ở bước trừ: đây là chỗ mất điểm nhiều nhất.
Ví dụ với Bài 10, thay x = 1: đề cho 2/2 − 0/3 = 1; đáp án (1+5)/6 = 1. Khớp.
9. Học tiếp ở đâu?
- Giải SGK Toán 8 Bài 2 (Cánh diều)
- Sách bài tập Toán 8 Bài 2 (Cánh diều)
- 20 câu trắc nghiệm Phép cộng, phép trừ phân thức đại số
- Giải SGK Toán 8 – Cánh diều
Câu hỏi thường gặp
Cộng hai phân thức khác mẫu thì làm thế nào?
Phân tích các mẫu thành nhân tử, tìm mẫu thức chung, nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ để quy đồng. Sau đó cộng các tử, giữ nguyên mẫu và rút gọn kết quả nếu có thể.
Khi nào cần dùng quy tắc đổi dấu trong cộng, trừ phân thức?
Khi hai mẫu đối nhau, ví dụ x − 2 và 2 − x. Em đổi dấu một mẫu (kèm đổi dấu phân thức) để hai phân thức cùng mẫu rồi cộng, trừ như bình thường.
Vì sao phải ghi điều kiện xác định khi cộng, trừ phân thức?
Phân thức chỉ có nghĩa khi mẫu khác 0. Kết quả sau rút gọn có thể trông không còn bị ràng buộc, nhưng đề bài ban đầu vẫn chỉ đúng với các giá trị làm mọi mẫu khác 0.
Phép trừ phân thức có giao hoán không?
Không. Phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp, còn phép trừ thì không. Muốn dùng các tính chất này, em chuyển phép trừ thành cộng với phân thức đối.