20 Bài tập Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm (sách mới) có đáp án – Toán 11

Lý thuyết số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Mẫu số liệu ghép nhóm

Khi dữ liệu có nhiều giá trị khác nhau, người ta chia chúng vào các nhóm [u₁; u₂), [u₂; u₃), …, [u_k; u_k+1) và ghi số giá trị rơi vào mỗi nhóm (tần số n_i). Cỡ mẫu n = n₁ + n₂ + … + n_k. Giá trị đại diện của nhóm [u_i; u_i+1) là trung điểm c_i = (u_i + u_i+1) : 2, còn hiệu u_i+1 − u_i là độ dài nhóm.

Hiệu chỉnh nhóm số nguyên. Nếu bảng cho các nhóm dạng [1; 5], [6; 10], … (dữ liệu là số nguyên), ta trừ 0,5 ở đầu mút trái và cộng 0,5 ở đầu mút phải để được các nhóm liền nhau [0,5; 5,5), [5,5; 10,5), … rồi mới tính toán.

2. Số trung bình

x̄ = (n₁c₁ + n₂c₂ + … + n_kc_k) : n. Đây là giá trị xấp xỉ của số trung bình của mẫu gốc, dùng để đo xu thế trung tâm.

3. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Bước 1: tìm nhóm có tần số lớn nhất, gọi là nhóm chứa mốt [u_m; u_m+1). Bước 2: áp dụng công thức

M_o = u_m + (n_m − n_m−1) : [(n_m − n_m−1) + (n_m − n_m+1)] · (u_m+1 − u_m)

trong đó n_m là tần số nhóm chứa mốt, n_m−1 và n_m+1 là tần số nhóm liền trước và liền sau. Nếu nhóm chứa mốt là nhóm đầu tiên thì lấy n_m−1 = 0; nếu là nhóm cuối cùng thì lấy n_m+1 = 0. Một mẫu có thể có nhiều nhóm cùng tần số lớn nhất, khi đó có nhiều mốt.

Về mặt hình học, mốt là hoành độ giao điểm của hai đoạn thẳng nối góc trên của cột cao nhất với góc trên của hai cột kề bên trong biểu đồ tần số (xem Hình 1 với số liệu của Bài 1 bên dưới).

Bài tập trắc nghiệm (Câu 1 – Câu 8)

Câu 3, 4 dùng bảng sau về thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của 20 học sinh:

Thời gian (phút)	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)	[25; 30)
Số học sinh	3	7	6	4

Câu 6, 8 dùng bảng sau về số giờ dùng điện thoại mỗi tuần của 20 bạn:

Số giờ	[0; 4)	[4; 8)	[8; 12)	[12; 16)
Số bạn	2	9	5	4

1. Câu 1. Giá trị đại diện của nhóm [12; 18) là: A. 12; B. 15; C. 18; D. 6.
   Đáp án B. c = (12 + 18) : 2 = 15. Phương án D là độ dài nhóm, không phải giá trị đại diện.
2. Câu 2. Trong bảng thời gian đi đến trường ở trên, nhóm chứa mốt là: A. [10; 15); B. [15; 20); C. [20; 25); D. [25; 30).
   Đáp án B vì nhóm [15; 20) có tần số lớn nhất là 7.
3. Câu 3. Thời gian trung bình đi đến trường xấp xỉ bằng: A. 20 phút; B. 20,25 phút; C. 19 phút; D. 21,5 phút.
   Đáp án B. x̄ = (12,5·3 + 17,5·7 + 22,5·6 + 27,5·4) : 20 = 405 : 20 = 20,25.
4. Câu 4. Mốt của mẫu số liệu trên là: A. 17,5; B. 18; C. 19; D. 20.
   Đáp án C. M_o = 15 + (7 − 3) : [(7 − 3) + (7 − 6)] · 5 = 15 + 4 = 19.
5. Câu 5. Một bảng có nhóm số nguyên [10; 14]. Sau khi hiệu chỉnh, nhóm này trở thành: A. [10; 14); B. [9,5; 14,5); C. [10,5; 14,5); D. [9; 15).
   Đáp án B. Trừ 0,5 ở đầu mút trái, cộng 0,5 ở đầu mút phải.
6. Câu 6. Mốt của bảng số giờ dùng điện thoại xấp xỉ bằng: A. 6,00; B. 6,55; C. 7,20; D. 8,00.
   Đáp án B. Nhóm chứa mốt [4; 8): M_o = 4 + 7 : (7 + 4) · 4 = 4 + 28/11 ≈ 6,55.
7. Câu 7. Khẳng định nào đúng? A. Mốt luôn bằng giá trị đại diện của nhóm chứa mốt; B. Mỗi mẫu ghép nhóm chỉ có đúng một mốt; C. Nếu nhóm chứa mốt là nhóm đầu tiên thì lấy n_m−1 = 0; D. Số trung bình luôn nằm trong nhóm chứa mốt.
   Đáp án C. A sai vì mốt lệch về phía nhóm kề có tần số lớn hơn; B sai vì có thể có nhiều nhóm cùng tần số lớn nhất; D sai, ví dụ ở Bài 4 số trung bình 6,25 nằm ngoài nhóm chứa mốt [0; 5).
8. Câu 8. Số giờ dùng điện thoại trung bình mỗi tuần là: A. 7,6; B. 8; C. 8,2; D. 9.
   Đáp án C. x̄ = (2·2 + 6·9 + 10·5 + 14·4) : 20 = 164 : 20 = 8,2.

Bài tập tự luận có lời giải (Bài 1 – Bài 12)

Ở mỗi bài, em ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm nếu cần).

Bài 1. Thời gian tự học mỗi ngày của 40 học sinh

Thời gian (phút)	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	14	8	4

Lời giải. Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là 10, 30, 50, 70, 90; cỡ mẫu n = 40.

x̄ = (10·5 + 30·9 + 50·14 + 70·8 + 90·4) : 40 = 48,5 phút.

Nhóm chứa mốt là [40; 60) với n_m = 14, n_m−1 = 9, n_m+1 = 8, độ dài nhóm h = 20. M_o = 40 + (14 − 9) : [(14 − 9) + (14 − 8)] · 20 ≈ 49,09 phút.

Bài 2. Chiều cao của 45 học sinh lớp 11

Chiều cao (cm)	[150; 155)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)
Số học sinh	4	11	17	10	3

Lời giải. Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là 152,5, 157,5, 162,5, 167,5, 172,5; cỡ mẫu n = 45.

x̄ = (152,5·4 + 157,5·11 + 162,5·17 + 167,5·10 + 172,5·3) : 45 ≈ 162,17 cm.

Nhóm chứa mốt là [160; 165) với n_m = 17, n_m−1 = 11, n_m+1 = 10, độ dài nhóm h = 5. M_o = 160 + (17 − 11) : [(17 − 11) + (17 − 10)] · 5 ≈ 162,31 cm.

Bài 3. Số cuốn sách đọc trong một năm của 50 bạn (dữ liệu số nguyên)

Số sách	[1; 5]	[6; 10]	[11; 15]	[16; 20]	[21; 25]
Số bạn	6	14	18	9	3

Lời giải. Hiệu chỉnh thành các nhóm [0,5; 5,5), [5,5; 10,5), [10,5; 15,5), [15,5; 20,5), [20,5; 25,5) với giá trị đại diện 3; 8; 13; 18; 23.

x̄ = (3·6 + 8·14 + 13·18 + 18·9 + 23·3) : 50 = 11,9 cuốn.

Nhóm chứa mốt là [10,5; 15,5) với n_m = 18, n_m−1 = 14, n_m+1 = 9, độ dài nhóm h = 5. M_o = 10,5 + (18 − 14) : [(18 − 14) + (18 − 9)] · 5 ≈ 12,04 cuốn.

Bài 4. Thời gian chờ xe buýt của 40 hành khách (mốt ở nhóm đầu)

Thời gian (phút)	[0; 5)	[5; 10)	[10; 15)	[15; 20)
Số hành khách	20	12	6	2

Lời giải. x̄ = (2,5·20 + 7,5·12 + 12,5·6 + 17,5·2) : 40 = 6,25 phút.

Nhóm chứa mốt là nhóm đầu tiên [0; 5) nên lấy n_m−1 = 0, n_m+1 = 12: M_o = 0 + (20 − 0) : [(20 − 0) + (20 − 12)] · 5 = 100/28 ≈ 3,57 phút.

Bài 5. Mẫu số liệu có hai mốt

Số km chạy mỗi tuần	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
Số người	3	10	6	10	1

Lời giải. x̄ = (1·3 + 3·10 + 5·6 + 7·10 + 9·1) : 30 ≈ 4,73 km.

Hai nhóm [2; 4) và [6; 8) cùng có tần số lớn nhất là 10, nên mẫu có hai mốt.

Nhóm chứa mốt là [2; 4) với n_m = 10, n_m−1 = 3, n_m+1 = 6, độ dài nhóm h = 2. M_o = 2 + (10 − 3) : [(10 − 3) + (10 − 6)] · 2 ≈ 3,27 km.

Nhóm chứa mốt là [6; 8) với n_m = 10, n_m−1 = 6, n_m+1 = 1, độ dài nhóm h = 2. M_o = 6 + (10 − 6) : [(10 − 6) + (10 − 1)] · 2 ≈ 6,62 km.

Bài 6. Tìm tần số chưa biết khi biết số trung bình

Mẫu số liệu gồm các nhóm [10; 20), [20; 30), [30; 40) với tần số lần lượt 4; x; 6. Biết số trung bình bằng 26, tìm x.

Lời giải. (15·4 + 25x + 35·6) : (10 + x) = 26 ⇔ 270 + 25x = 260 + 26x ⇔ x = 10. Thử lại: (60 + 250 + 210) : 20 = 520 : 20 = 26 (đúng).

Bài 7. So sánh điểm trung bình hai lớp

Điểm kiểm tra của lớp 11A và 11B (mỗi lớp 40 học sinh):

Điểm	[5; 6)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)
Lớp 11A	2	8	15	10	5
Lớp 11B	4	6	12	13	5

Lời giải. Lớp 11A: x̄ = (5,5·2 + 6,5·8 + 7,5·15 + 8,5·10 + 9,5·5) : 40 = 7,7. Nhóm chứa mốt là [7; 8) với n_m = 15, n_m−1 = 8, n_m+1 = 10, độ dài nhóm h = 1. M_o = 7 + (15 − 8) : [(15 − 8) + (15 − 10)] · 1 ≈ 7,58.

Lớp 11B: x̄ = (5,5·4 + 6,5·6 + 7,5·12 + 8,5·13 + 9,5·5) : 40 = 7,725. Nhóm chứa mốt là [8; 9) với n_m = 13, n_m−1 = 12, n_m+1 = 5, độ dài nhóm h = 1. M_o = 8 + (13 − 12) : [(13 − 12) + (13 − 5)] · 1 ≈ 8,11.

Hai lớp có điểm trung bình gần bằng nhau (7,7 và 7,725), nhưng mốt của lớp 11B (≈ 8,11) cao hơn lớp 11A (≈ 7,58): nhiều học sinh lớp 11B đạt quanh mức 8 điểm hơn.

Bài 8. Cân nặng của 50 học sinh

Cân nặng (kg)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)	[70; 80)	[80; 90)
Số học sinh	6	12	20	8	4

Lời giải. Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là 45, 55, 65, 75, 85; cỡ mẫu n = 50.

x̄ = (45·6 + 55·12 + 65·20 + 75·8 + 85·4) : 50 = 63,4 kg.

Nhóm chứa mốt là [60; 70) với n_m = 20, n_m−1 = 12, n_m+1 = 8, độ dài nhóm h = 10. M_o = 60 + (20 − 12) : [(20 − 12) + (20 − 8)] · 10 ≈ 64 kg.

Ở bài này mốt ra số tròn: M_o = 60 + 8/20 · 10 = 64 kg.

Bài 9. Thời gian sử dụng pin của 80 chiếc tai nghe

Thời gian (giờ)	[1,5; 2)	[2; 2,5)	[2,5; 3)	[3; 3,5)	[3,5; 4)
Số chiếc	5	18	30	22	5

Lời giải. Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là 1,75, 2,25, 2,75, 3,25, 3,75; cỡ mẫu n = 80.

x̄ = (1,75·5 + 2,25·18 + 2,75·30 + 3,25·22 + 3,75·5) : 80 = 2,775 giờ.

Nhóm chứa mốt là [2,5; 3) với n_m = 30, n_m−1 = 18, n_m+1 = 22, độ dài nhóm h = 0,5. M_o = 2,5 + (30 − 18) : [(30 − 18) + (30 − 22)] · 0,5 ≈ 2,8 giờ.

Bài 10. Thời gian tự học của 40 học sinh (đọc biểu đồ)

Dùng lại số liệu Bài 1 được biểu diễn ở Hình 1. Hãy giải thích bằng hình vẽ vì sao mốt nằm lệch về phía nhóm [20; 40).

Lời giải. Nhóm kề trước [20; 40) có tần số 9, lớn hơn nhóm kề sau [60; 80) có tần số 8, nên hai đoạn thẳng nối góc cột cắt nhau ở bên trái trung điểm 50 của nhóm chứa mốt. Giao điểm có hoành độ ≈ 49,09, đúng với kết quả tính ở Bài 1.

Bài 11. Số lượt truy cập một trang web trong 60 ngày

Số lượt (nghìn)	[0; 10)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)
Số ngày	8	15	22	10	5

Lời giải. Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là 5, 15, 25, 35, 45; cỡ mẫu n = 60.

x̄ = (5·8 + 15·15 + 25·22 + 35·10 + 45·5) : 60 ≈ 23,17 nghìn lượt.

Nhóm chứa mốt là [20; 30) với n_m = 22, n_m−1 = 15, n_m+1 = 10, độ dài nhóm h = 10. M_o = 20 + (22 − 15) : [(22 − 15) + (22 − 10)] · 10 ≈ 23,68 nghìn lượt.

Bài 12. Tìm tần số khi biết mốt

Mẫu số liệu gồm các nhóm [0; 10), [10; 20), [20; 30), [30; 40) với tần số lần lượt 5; 12; x; 8 (x > 12). Biết mốt bằng 24, tìm x.

Lời giải. Vì x > 12 nên nhóm chứa mốt là [20; 30). Ta có 24 = 20 + (x − 12) : [(x − 12) + (x − 8)] · 10 ⇔ 4(2x − 20) = 10(x − 12) ⇔ 8x − 80 = 10x − 120 ⇔ x = 20. Thử lại: 20 + 8 : (8 + 12) · 10 = 24 (đúng).

Lỗi thường gặp khi tính số trung bình và mốt

• Lấy đầu mút trái thay cho giá trị đại diện khi tính số trung bình.
• Quên hiệu chỉnh nhóm số nguyên dạng [1; 5], [6; 10] trước khi tính mốt, khiến u_m và h bị sai.
• Nhầm thứ tự n_m−1 và n_m+1 trong công thức mốt.
• Chia cho số nhóm k thay vì chia cho cỡ mẫu n.
• Làm tròn quá sớm ở các bước trung gian, dẫn đến lệch kết quả cuối.

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

Mo = um + (nm − nm−1) : [(nm − nm−1) + (nm − nm+1)] · h, trong đó [um; um+1) là nhóm có tần số lớn nhất và h là độ dài nhóm.

Nếu nhóm chứa mốt là nhóm đầu tiên thì tính thế nào?

Khi đó không có nhóm liền trước nên lấy nm−1 = 0; tương tự, nếu là nhóm cuối cùng thì lấy nm+1 = 0.

Giá trị đại diện của một nhóm được tính ra sao?

Giá trị đại diện là trung điểm của nhóm, bằng tổng hai đầu mút chia cho 2.

Mẫu số liệu ghép nhóm có thể có hai mốt không?

Có. Nếu hai nhóm cùng có tần số lớn nhất, em tính mốt riêng cho từng nhóm và mẫu có hai mốt.

Số trung bình của mẫu ghép nhóm có bằng số trung bình mẫu gốc không?

Không hẳn; số trung bình của mẫu ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ vì mỗi giá trị trong nhóm được thay bằng giá trị đại diện.

Bài học liên quan

• 20 Bài tập Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (sách mới) có đáp án – Toán 11
• Giải các phương trình sau: 2.10^2x = 30 (phương trình mũ có lời giải)
• Góc giữa cạnh bên và mặt bên: phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập có đáp án
• 24 bài tập cấp số nhân có đáp án và lời giải chi tiết – Toán 11
• 20 bài tập công thức lượng giác Toán 11 có đáp án, lời giải chi tiết
• Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm lẻ? Hàm y = sin 2x có là hàm lẻ không?