Bất đẳng thức lớp 8: lý thuyết, cách chứng minh và bài tập có đáp án
Lớp 8Toán

Bất đẳng thức lớp 8: lý thuyết, cách chứng minh và bài tập có đáp án

Trả lời nhanh

Bất đẳng thức là hệ thức có dạng a > b, a < b, a ≥ b hoặc a ≤ b. Để chứng minh A > B, cách cơ bản nhất là xét hiệu A − B rồi chỉ ra nó dương, thường bằng cách đưa về bình phương (x2 ≥ 0). Cần nhớ: nhân hai vế với số âm thì đổi chiều bất đẳng thức.

1. Định nghĩa và tính chất cơ bản

Ta có: a > b ⇔ a − b > 0 và a < b ⇔ a − b < 0. Mọi chứng minh bằng “xét hiệu” đều xuất phát từ hai tương đương này.

Tính chất Nội dung
Bắc cầu a > b và b > c thì a > c
Cộng hai vế với một số a > b ⇒ a + c > b + c (xem thêm bài liên hệ giữa thứ tự và phép cộng)
Nhân với số dương a > b và c > 0 ⇒ ac > bc
Nhân với số âm a > b và c < 0 ⇒ ac < bc (đổi chiều)
Cộng vế với vế a > b và c > d ⇒ a + c > b + d
Nhân vế với vế a > b > 0 và c > d > 0 ⇒ ac > bd
Lũy thừa a > b > 0 ⇒ an > bn (n nguyên dương)
Nghịch đảo ab > 0 và a > b ⇒ 1/a < 1/b

Chi tiết hai tính chất quan trọng nhất có ở bài liên hệ giữa thứ tự và phép nhân. Bạn có thể xem lại tại Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân và Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.

Lưu ý: không được trừ vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều. Ví dụ 5 > 1 và 4 > 3 nhưng 5 − 4 = 1 lại không lớn hơn 1 − 3 = −2 theo chiều “hiển nhiên” nào để suy ra điều gì chắc chắn. Muốn trừ, phải dùng hai bất đẳng thức ngược chiều.

2. Các hằng bất đẳng thức thường dùng

  • a2 ≥ 0 với mọi a; dấu “=” khi a = 0. Suy ra (a − b)2 ≥ 0, tức a2 + b2 ≥ 2ab (dấu “=” khi a = b).
  • (a + b)2 ≥ 4ab với mọi a, b.
  • |a| ≥ a với mọi a; dấu “=” khi a ≥ 0 (lưu ý: là a ≥ 0 chứ không phải a > 0).
  • |a + b| ≤ |a| + |b|; dấu “=” khi ab ≥ 0.
  • Bất đẳng thức tam giác: trong tam giác, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại.
  • Cô-si cho hai số không âm: (a + b)/2 ≥ √(ab); dấu “=” khi a = b.

3. Bốn cách chứng minh hay dùng

  1. Xét hiệu: lập A − B, biến đổi thành tổng các bình phương hoặc tích các thừa số cùng dấu.
  2. Biến đổi tương đương: biến đổi A > B về một bất đẳng thức hiển nhiên đúng, mỗi bước phải là tương đương.
  3. Dùng hằng bất đẳng thức: áp dụng a2 + b2 ≥ 2ab, Cô-si… cho từng cụm rồi cộng hoặc nhân lại.
  4. Phản chứng: giả sử A ≤ B, dẫn tới điều vô lý.

Mẹo chọn cách: thấy các biểu thức đa thức thì thử xét hiệu; thấy phân thức dương thì thử quy đồng rồi dùng (a − b)2 ≥ 0.

4. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Chứng minh a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b.

Xét hiệu: 2(a2 + b2 + 1 − ab − a − b) = (a − b)2 + (a − 1)2 + (b − 1)2 ≥ 0. Vậy bất đẳng thức đúng; dấu “=” khi a = b = 1.

Ví dụ 2. Với a, b > 0, chứng minh (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4.

Ta có (a + b)(1/a + 1/b) = (a + b)2/(ab). Vì (a + b)2 ≥ 4ab và ab > 0 nên biểu thức ≥ 4ab/(ab) = 4. Dấu “=” khi a = b.

Ví dụ 3. Cho a > b. So sánh 3a − 5 với 3b − 5 và so sánh −2a + 1 với −2b + 1.

Nhân hai vế với 3 > 0: 3a > 3b, trừ 5: 3a − 5 > 3b − 5. Nhân hai vế với −2 < 0 thì đổi chiều: −2a < −2b, cộng 1: −2a + 1 < −2b + 1.

Ví dụ 4. So sánh 340 và 430.

340 = (34)10 = 8110; 430 = (43)10 = 6410. Vì 81 > 64 nên 340 > 430.

Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 − 4x + 7.

A = (x − 2)2 + 3 ≥ 3. Vậy A nhỏ nhất bằng 3 khi x = 2.

5. Lỗi sai thường gặp

  • Quên đổi chiều khi nhân hoặc chia hai vế cho số âm.
  • Nhân vế với vế khi các số hạng không dương (chỉ đúng nếu các vế đều dương).
  • Bình phương hai vế khi chưa biết hai vế cùng dương, ví dụ −3 < 2 nhưng (−3)2 > 22.
  • Viết thiếu điều kiện dấu “=” xảy ra, làm bài tìm min/max bị mất điểm.
  • Dùng Cô-si với số âm. Cô-si chỉ áp dụng cho các số không âm.

6. Bài luyện tập (có đáp án)

Bài 1. Chứng minh a2 + 4b2 ≥ 4ab.

Bài 2. Với x > 0, chứng minh x + 1/x ≥ 2.

Bài 3. Cho a + b = 1. Chứng minh a2 + b2 ≥ 1/2.

Bài 4. Chứng minh a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca.

Đáp án gợi ý

  • Bài 1: a2 + 4b2 − 4ab = (a − 2b)2 ≥ 0. Dấu “=” khi a = 2b.
  • Bài 2: x + 1/x − 2 = (x − 1)2/x ≥ 0 vì x > 0. Dấu “=” khi x = 1.
  • Bài 3: 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 = 1 (vì 2(a2 + b2) − (a + b)2 = (a − b)2 ≥ 0), suy ra a2 + b2 ≥ 1/2. Dấu “=” khi a = b = 1/2.
  • Bài 4: 2(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ 0. Dấu “=” khi a = b = c.

7. Học tiếp ở đâu

Sau phần bất đẳng thức, bạn nên luyện thêm bất phương trình: xem Bất phương trình bậc nhất một ẩn và 50 bài tập bất phương trình một ẩn có đáp án. Muốn mở rộng, hãy xem Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Câu hỏi thường gặp

Bất đẳng thức là gì?

Là hệ thức nối hai biểu thức bằng dấu >, <, ≥ hoặc ≤, ví dụ a > b hay a ≤ b. Hai biểu thức A và B thỏa A > B khi và chỉ khi A − B > 0.

Khi nào phải đổi chiều bất đẳng thức?

Khi nhân hoặc chia cả hai vế cho cùng một số âm. Nhân hoặc chia cho số dương, cộng hoặc trừ cùng một số thì giữ nguyên chiều.

Cách chứng minh bất đẳng thức đơn giản nhất là gì?

Xét hiệu hai vế rồi biến đổi về tổng các bình phương hoặc tích các thừa số cùng dấu, sau đó dùng x² ≥ 0 để kết luận.

Dấu bằng xảy ra khi nào trong a² + b² ≥ 2ab?

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b, vì hiệu a² + b² − 2ab bằng (a − b)².

Bài học liên quan