Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân, tài liệu bao gồm 16 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu gồm:

I. Lý thuyết

II. Bài tập

III. Hướng dẫn giải bài tập

Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

A. Bài giảng

1. Nhắc lại về tứ tự trên tập số

Trên tập số thực, với hai số a và b sẽ xảy ra một trong các trường hợp sau:

Số a bằng số b, kí hiệu là a = b.

Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu là a < b.

Số a lớn hơn số b, kí hiệu là a > b.

Từ đó, ta có thêm nhận xét:

Nếu a không nhỏ hơn b thì a = b hoặc a > b, khi đó ta nói a lơn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là \(a \ge b.\)

Nếu a không lớn hơn b thì a = b hoặc a < b, khi đó ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là \(a \le b.\)

Ví dụ 1. Điền dấu thích hợp (= , < , >) vào ô trống:

Giải

Ta có ngay:

\(a.\,1,53\,\, < 1,8\)

\(b.\, - 2,37\, > \, - 2,41\)

\(c.\,\frac{{12}}{{ - 18}}\, = \,\,\frac{{ - 2}}{3}\)

\(d.\,\frac{3}{5}\, < \,\frac{{13}}{{20}}\)

2. Bất đẳng thức

Bất đẳng thức là hệ thức có một trong các dạng:

\(A > B,A \ge B,A < B,A \le B.\)

3. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Ví dụ 2.

a. Khi cộng -3 vào cả hai vế của bất đăng thức -4 < 2 thì được bất đẳng thức nào?

b. Dự đoán kết quả khi cộng số c vào cả 2 vế của bất đẳng thức -4 < 2 thì được bất đẳng thức nào?

Giải

Ta có ngay:

-3 – 4 < -3 + 2 ó -7 < -1 (đúng)

và dự đoán được rằng c – 4 < c + 2

Tính chất: Với ba số a, b và c, ta có:

Nếu a > b thì a + c > b + c

Nếu a < b thì a + c < b + c

Nếu \(a \ge b\) thì \(a + x \ge b + c\)

Nếu \(a \le b\) thì \(a + c \le b + c\)

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Ví dụ 3. So sánh -2004 + (-777) và -2005 + (-777) mà không tính giá trị từng biểu thức.

Giải

Ta có -2004 > -2005 nên khi cộng cả hai vế của bất đẳng thức này với -777, ta được -2004 + (-777) > -2005 + (-777)

Ví dụ 4. Dựa vào thứ tự giữa \(\sqrt 2 \) và 3 hãy so sánh \(\sqrt 2 \)+ 2 và 5.

Giải

Ta có \(\sqrt 2 \) < 3 nên khi cộng cả hai vế của bất đẳng thức này với 2, ta được

\(\sqrt 2 \) + 2 < 5

B. Phương pháp giải toán

Ví dụ 1. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a. \(\left( { - 2} \right) + 3 \ge 2\)

b. -6 = 2 . (-3)

c. 4 + (-8) < 15 + ( -8)

d. \({x^2} + 1 \ge 1\)

Giải

a. Khẳng định \(\left( { - 2} \right) + 3 \ge 2\) là sai

b. Khẳng định -6 = 2 . (-3) là đúng

c. Khẳng định 4 + (-8) < 15 + ( -8) là đúng

d. Khẳng định \({x^2} + 1 \ge 1\) là đúng vì:

\({x^2} \ge 0,\forall x \Leftrightarrow {x^2} + 1 \ge 1,\forall x\)

Ví dụ 2. Cho a < b, hãy so sánh:

a. a + 1 và b + 1

b. a – 2 và b -2

Giải

a. Ta có:

\(a < b \Leftrightarrow a + 1 < b + 1\)

b. Ta có:

\(a < b \Leftrightarrow a - 2 < b - 2\)

Ví dụ 3: Hãy so sánh a và b nếu:

a. \(a - 5 \ge b - 5\)

b. \(15 + a \le 15 + b\)

Giải

a. Ta có

\(\begin{array}{l}a - 5 \ge b - 5\\ \Leftrightarrow a - 5 + 5 \ge b - 5 + 5\\ \Leftrightarrow a \ge b\end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l}15 + a \le 15 + b\\ \Leftrightarrow 15 + a - 15 \le 15 + b - 15\\ \Leftrightarrow a \le b\end{array}\)

Phiếu bài luyện

Bài 1: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) 5 + (-8) < 3

b) (-3) . (-7) > (-5) . (-4)

c) \({\left( { - 7} \right)^2} - 9 \le \left( { - 10} \right).\left( { - 4} \right)\)

d) \({x^2} + 1 \ge 1\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Bài 2: Cho a < b hãy so sánh

a) a + 3 và b + 3

b) a – 2 và b – 2

c) a và b + 1

d) a – 2 và b + 1

Bài 3: So sánh a; b nếu:

\(a)\,\,a - 4 \ge b - 4\)

b) \(5 + a \le 5 + b\)

c) a + 9 < b + 9

d) a – 17 > b – 17

Bài 4: Sắp xếp các số sau từ lớn đến bé và diễn biến trên trục số:

a) -7;-8;-1;-5;0;3;7;

b) \( - \frac{3}{5};\frac{{ - 1}}{2};0;\sqrt 2 ;\sqrt 5 ;1.\)

Bài 5: Cho x – 8 > 9. Chứng minh x + 3 > 20.

Bài 6: Cho x + 5 > 15. Chứng minh x – 2 > 8.

Bài 7: So sánh x và 0 trong mỗi trường hợp sau:

a) \(x - 8 \le  - 8\);

b) \(\left| { - {x^2}} \right| + x \ge {x^2}\)

Bài 8: Cho a > b. Chứng minh \(a + 2 + 4 + 6 + ... + 18 + 20 > b + 108.\)

Tự luyện:

Bài 1: Hãy xét xem các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) \( - 3.\left( 2 \right) > 6\)

b) \(5 - \frac{1}{5} <  - \frac{1}{5} + 5\)

c) \(\left| { - 4} \right| + 3 \le 7\)

d) \( - {x^2} - 1 \le 0\)

Bài 2: So sánh x và y trong mỗi trường hợp sau:

a) \(x - \frac{5}{3} \le y - \frac{5}{3}\)

b) \( - 5 - x \ge  - y - 5\)

Bài 3: Cho a < b hãy so sánh

a) a + 26 và b + 26

b) a – 4 và b – 4

c) a và b + 4

d) a – 6 và b + 3

Trắc nghiệm

Hãy chọn chỉ một chữ cái đứng trước câu tra lời đúng (trừ câu 2)

Câu 1: Số a không lớn hơn số b. Khi đó ta kí hiệu

A. a > b

B. a < b

C. \(a \ge b\)

D. \(a \le b\)

Câu 2: Khi cộng cùng một số vào cả 2 vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới …………. Với bất đẳng thức đã cho.

Câu 3: Biết bạn An nặng hơn bạn Huy, nếu gọi trọng lượng của bạn An là a(kg), trọng lượng của bạn Huy là b. Khi đó ta có:

A. a < b

B. \(a \ge b\)

C. a > b

D. \(a \le b\)

Câu 4: Các bất đẳng thức sau đúng hay sai?

Câu 5: Một bạn giải bài toán như sau:

Cộng -2006 vào cả hai vế của bất đăng thức 2005 < 2006 ta suy ra

phương án điền vào ô trống là:

A. ‘<’

B. ‘>’

C. ‘\( \le \)’

D. ‘\( \ge \)’

Câu 6: Cho bất đẳng thức 2007 – 2006 > -2006. Khi đó 2007 – 2006 gọi là

A. Đẳng thức

B. Biểu thức

C. Vế trái

D. Vế phải

Câu 7: Phương án nào là bất đẳng thức

A. 2a < b

B. 2a = b

C. 2a = b 2a + b

D. 2a : b

Câu 8: Cho hình vẽ, coi a, b, c là khối lượng của các vật nặng khi đó ta biểu diễn:

A. a > b + c

B. b + c > a

C. b + c > a b + c = a

D. Tất cả các trường hợp sau đều sai

Lời giải phiếu bài luyện

Bài 1: a) Đúng vì \(5 + \left( { - 8} \right) = \left( { - 3} \right) < 3\)

b) Đúng vì \(\left( { - 3} \right).\left( { - 7} \right) = 21 > \left( { - 5} \right).\left( { - 4} \right) = 20\)

c) Đúng vì \({\left( { - 7} \right)^2} - 9 = 40 \le \left( { - 10} \right).\left( { - 4} \right) = 40\)

d) Đúng vì \({x^2} \ge 0\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow {x^2} + 1 \ge 0 + 1 = 1\,\,\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)\) (cùng cộng với một số)

Bài 2: HD: Ta có a < b

a) a + 3 < b + 3 (cùng cộng với 3)

b) a – 2 < b – 2 (cùng cộng với -2)

c) a + 1 < b + 1 (cùng cộng với 1).

Vậy a < a + 1 < b + 1 => a < b + 1 (tính chất bắc cầu)

d) Tương tự có: a – 2 < a + 1 < b + 1

Bài 3: HD: a) \(a - 4 \ge b - 4 \Leftrightarrow a \ge b\)(cùng cộng với 4)

b) \(5 + a \le 5 + b \Leftrightarrow a \le b\) (cùng cộng với (-5))

c) \(a + 9 < b + 9 \Leftrightarrow a < b\) (cùng cộng với (-9))

d) \(a - 17 > b - 17 \Leftrightarrow a > b\) (cùng cộng với 17)

Bài 4: HD:

a) Thứ tự sắp xếp: 8; 3; 0; -1; -5; -7; -8; (tự biểu diễn)

b) Thứ tự sắp xếp: \(\sqrt 5 ;\sqrt 2 ;1;0; - \frac{1}{2}; - \frac{3}{5}\)

Bài 5: HD:

\(\begin{array}{l}x - 8 > 9 \Leftrightarrow a - 8 + 11 > 11 + 9\\ \Leftrightarrow x + 3 > 20\end{array}\)

Bài 6: HD:

\(\begin{array}{l}x + 5 > 15 \Leftrightarrow x + 5 + \left( { - 7} \right) > 15 + \left( { - 7} \right)\\ \Leftrightarrow x - 2 > 8\end{array}\)

Bài 7: HD:

a)

 \(\begin{array}{l}x - 8 \le  - 8\\ \Leftrightarrow x - 8 + 8 \le \left( { - 8} \right) + 8 \Leftrightarrow x \le 0\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}\left| { - {x^2}} \right| + x > {x^2} \Leftrightarrow {x^2} + x > {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - {x^2} > {x^2} - {x^2} \Leftrightarrow x > 0\end{array}\)

Bài 8: HD: Tính tổng:\[\;2{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} + {\rm{ }} \ldots {\rm{ }} + {\rm{ }}18{\rm{ }} + {\rm{ }}20 = \frac{{\left( {20 + 2} \right)}}{2}:[\left( {20 - 2} \right):2 + 1]\]

=11.10=110

\(\begin{array}{l}a > b \Leftrightarrow 108 + a > 108 + b\\ \Leftrightarrow 110 + a > 108 + b\end{array}\)