Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề phương trình chứa ẩn ở mẫu, tài liệu bao gồm 16 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu gồm có:

I. lý thuyết

II. bài tập minh hoạ

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC

I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình, (tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu thức của phương trình khác 0). Viết tắt: ĐKXĐ.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: (Kết luận).Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các gá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

*Chú ý. Nếu A(x) = 0 tại x = x₁ hoặc x = x₂ thì

\(A\left( x \right) \ne 0\)khi \(x \ne {x_1}\) và \(x \ne {x_2}\)

II.BÀI TẬP MINH HOẠ

A.DẠNG BÀI CƠ BẢN

Phương pháp

Vận dụng phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, đưa về phương trình bậc nhất đã biết

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

a. \(\frac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}};\)

b. \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{4}{{{x^2} - 1}}\).

Ví dụ 2. Giải các phương tình sau:

a. \(\frac{6}{{x - 5}} + \frac{2}{{x - 8}} = \frac{{18}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {8 - x} \right)}} - 1;\)

b. \(\frac{3}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 2}} = \frac{9}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}};\)

c. \(\frac{{{x^2} - x}}{{x + 3}} - \frac{{{x^2}}}{{x - 3}} = \frac{{7{x^2} - 3x}}{{9 - {x^2}}}.\)

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

a. \(\frac{1}{{2x - 3}} - \frac{3}{{x\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{5}{x};\)

b. \(\frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\).

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

a. \(2 + \frac{1}{x} = \left( {\frac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right);\)

b. \({\left( {x + 1 + \frac{1}{x}} \right)^2} = {\left( {x - 1 - \frac{1}{x}} \right)^2}\).

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:

a. \(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}};\)

b. \(\frac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \frac{1}{{2x + 7}} = \frac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\).

Ví dụ 5. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2.

a. \(A = \frac{{3x - 1}}{{3x + 1}} + \frac{{x - 3}}{{x + 3}};\)

b. \(B = \frac{{10}}{3} - \frac{{3x - 1}}{{4x + 12}} - \frac{{7x + 2}}{{6x + 18}}\).

LỜI GIẢI DẠNG BÀI CƠ BẢN

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

c. \(\frac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}};\)

d. \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{4}{{{x^2} - 1}}\).

Lời giải

a. \(\frac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}\).                  (1)

ĐKXĐ của phương trình (1) là \(x \ne \frac{3}{2}\) và \(x \ne  - 7\).

Mẫu số chung (MSC) của phương trình là \(\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)\). Khi đó:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow 6{x^2} - 9x - 4x + 6 = 6{x^2} + 42x + x + 7\)

\( \Leftrightarrow 56x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{{56}}\)

So với ĐKXĐ ta thấy \(x =  - \frac{1}{{56}}\) thoả mãn, vậy \(x =  - \frac{1}{{56}}\) là nghiệm của phương trình đã cho.

b. \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{4}{{{x^2} - 1}}\)          (2)

ĐKXĐ của phương trình (2) là \(x \ne  \pm 1\).

Mẫu số chung của phương trình là \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\). Khi đó:

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{4}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 = 4\)

\( \Leftrightarrow 4x = 4 \Leftrightarrow x = 1\)

So với ĐKXĐ ta thấy gá trị x = 1 không thoả mãn nên bị loại.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.\(\)

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a. \(\frac{6}{{x - 5}} + \frac{2}{{x - 8}} = \frac{{18}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {8 - x} \right)}} - 1;\)

b. \(\frac{3}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 2}} = \frac{9}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}};\)

c. \(\frac{{{x^2} - x}}{{x + 3}} - \frac{{{x^2}}}{{x - 3}} = \frac{{7{x^2} - 3x}}{{9 - {x^2}}}\).

Lời giải

a. ĐKXĐ của phương trình là \(x \ne 5\), \(x \ne 8\).

Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là \(\left( {x - 5} \right)\left( {x - 8} \right)\).

Với điều kiện đó phương trình trở thành

\(6\left( {x - 8} \right) + 2\left( {x - 5} \right) + 18 + \left( {x - 5} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\).

Phương trình tương đương với \(x\left( {x - 5} \right) = 0\).

Phương trình cuối có hai nghiệm \(x = 0\) và \(x = 5\).

So với điều kiện giá trị thì giá trị \(x = 5\)bị loại.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 0\).

b. ĐKXĐ của phương trình là \(x \ne  - 1\), \(x \ne 2\).

Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là \(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\).

Với điều kiện đó phương trình trở thành \(3\left( {x - 2} \right) - x - 1 = 9\), hay \(2x = 16\).

Phương trình này có nghiệm \(x = 8\), giá trị này thoả mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình đã cho.

c. ĐKXĐ của phương trình là \(x \ne  \pm 3\).

Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = {x^2} - 9\).

Với điều kiện đó phương trình trở thành

\(\left( {{x^2} - x} \right)\left( {x - 3} \right) - {x^2}\left( {x + 3} \right) + 7{x^2} - 3x = 0\).

Biến đổi phương trình trở thành 0 = 0.

Phương trình này nghiệm đúng với mọi giá trị x thoả mãn điều kiện nên nghiệm của phương trình đã cho là mọi \(x \ne  \pm 3\).

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

a. \(\frac{1}{{2x - 3}} - \frac{3}{{x\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{5}{x};\)

b. \(\frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\).

Lời giải

a. ĐKXĐ của phương trình là \(x \ne 0\), \(x \ne \frac{3}{2}\).

Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là \(x\left( {2x - 3} \right)\).

Với điều kiện đó phương trình trở thành \(x - 3 - 5\left( {2x - 3} \right) = 0\), hay \(9x = 12\).

Phương trình có nghiệm \(x = \frac{4}{3}\), giá trị này thoả mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình đã cho.

b. ĐKXĐ của phương trình là \(x \ne 1\), \(x \ne 2\), \(x \ne 3\).

Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là \(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\).

Với điều kiện đó phương trình trở thành \(3\left( {x - 3} \right) - 2\left( {x - 2} \right) = x - 1\), hay \(0x = 4\). Phương trình cuối vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

a. \(2 + \frac{1}{x} = \left( {\frac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right);\)

b. \({\left( {x + 1 + \frac{1}{x}} \right)^2} = {\left( {x - 1 - \frac{1}{x}} \right)^2}\).

Lời giải

a. ĐKXĐ của phương trình là \(x \ne 0\).

Với điều kiện đó phương trình trở thành \({x^2}\left( {\frac{1}{x} + 2} \right) = 0\), hay \(x\left( {1 + 2x} \right) = 0\).

Phương trình có nghiệm \(x = 0\) và \(x =  - \frac{1}{2}\). Chỉ có giá trị \(x =  - \frac{1}{2}\) thoả mãn điều kiện nên nó là nghiệm của phương trình đã cho.

b. ĐKXĐ của phương trình là \(x \ne 0\).

Với điều kiện đó phương trình trở thành \({\left( {x + 1 + \frac{1}{x}} \right)^2} - {\left( {x - 1 - \frac{1}{x}} \right)^2} = 0\).

Biến đổi phương trình trở thành \(2x\left( {2 + \frac{2}{x}} \right) = 0\), hay \(x + 1 = 0\).

Phương trình có nghiệm \(x =  - 1\), giá trị đó thoả mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:

a. \(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}};\)

b. \(\frac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \frac{1}{{2x + 7}} = \frac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\).

Lời giải

a. \(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}.\)

Ta có \({x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right),\)\({x^2} + x + 1 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\)nên ĐKXĐ của phương trình là \(x \ne 1\).

Với điều kiện đó, MSC là \({x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\). Quy đồng mẫu số, ta có

\(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + x + 1 - 3{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {4x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 1\);\(x =  - \frac{1}{4}\).

So với ĐKXĐ giá trị \(x = 1\)bị loại, vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x =  - \frac{1}{4}\).

b. \(\frac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \frac{1}{{2x + 7}} = \frac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\).

ĐKXĐ của phương trình là \(x \ne  \pm 3\);\(x \ne  - \frac{2}{7}\). Với điều kiện này, ta có

\(\frac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \frac{1}{{2x + 7}} = \frac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{13\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{6\left( {2x + 7} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 3\);\(x =  - 4\).

So với ĐKXĐ giá trị \(x = 3\)bị loại, vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x =  - 4\).

Ví dụ 6. Với giá trị nào của \(x\)thì mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2.

a. \(A = \frac{{3x - 1}}{{3x + 1}} + \frac{{x - 3}}{{x + 3}};\)

b. \(B = \frac{{10}}{3} - \frac{{3x - 1}}{{4x + 12}} - \frac{{7x + 2}}{{6x + 18}}\).

Lời giải

a. Ta thấy ĐKXĐ của biểu thức A là \(x \ne  - 3\),\(x \ne  - \frac{1}{3}\).

Với điều kiện đó, ta biến đổi biểu thức A trở thành:

\(A = \frac{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 3} \right)\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {3{x^2} + 8x - 3} \right) + \left( {3{x^2} - 8x - 3} \right)}}{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{6{x^2} - 6}}{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\).