Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tổng hợp 20 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8, tài liệu bao gồm 156 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt tài liệu

20 chuyên đề dành cho học sinh giỏi môn toán lớp 8, mỗi phần bao gồm lý thuyết và bài tập vận dụng

Chuyên đề 1 - phấn tích đa thức thành nhân tử

A. Mục tiêu:
* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử
* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử
* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử
B. Các phương pháp và bài tập
I. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số
tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số
của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì\(\frac{{f(1)}}{{a - 1}}\)và \(\frac{{f( - 1)}}{{a + 1}}\)

đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
1. Ví dụ 1: 3x² – 8x +4

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2

3x² – 8x +4 = 3x² – 6x – 2x +4

= 3x(x – 2) – 2( x – 2)= (x – 2)(3x – 2)

Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:

3x² – 8x +4=( 4x² – 8x +4) – x²

= (2x – 2)² – x² = (2x – 2 +x)(2x  - 2 – x)

=(x – 2)(3x – 2)

2. Ví dụ 2: x³ – x² – 4

Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì \(x =  \pm 1; \pm 2; \pm 4\), chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm
của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2
Cách 1:x³ – x² – 4 =( x³ – 2x²) + (x² – 2x)+(2x +4)

 = x²( x – 2) +x(x – 2) +2(x – 2) = (x – 2)(x²+x+2)

Cách 2: x³ – x² – 4 = x³ – 8 – x² +4 =(x³ – 8) – (x² – 4)

=( x – 2)(x² +2x+4) – (x – 2)(x+2)

= (x – 2)[(x² +2x +4) – (x+2)]

=(x – 2)(x² +x+2)

3. Ví dụ 3: f(x) = 3x³ – 7x² +17x – 5

Nhận xét: \( \pm 1, \pm 5\)không là nghiệm của f(x), như vậyf(x) không có nghiệm nguyên. Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy  \(x = \frac{1}{3}\)là nghiệm cùa f(x) do đó f(x) có một nhân từ là 3x – 1. Nên

f(x) = 3x³ – 7x² +17x – 5

 = 3x³ – x² – 6x²+2x +15x – 5

= (3x³ – x²) – (6x² – 2x)+(15x – 5)

 =x² (3x -1 ) – 2x(3x – 1) +5(3x – 1)

=(3x – 1)(x² – 2x +5)

Vì x² – 2x +5 = (x² – 2x +1) +4 = (x – 1)² +4 >0 với mọi x nên không phân tích được thành nhân tử nữa
4. Ví dụ 4: x³+5x² +8x +4

Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1

x³ +5x²+8x+4=(x³+x²)+(4x²+4x)+(4x+4)

=x²(x+1)+4x(x+1)+4(x+1)

=(x+1)(x²+4x+4)=(x+1)(x – 2)²

5. Ví dụ 5: f(x) = x⁵ – 2x⁴ + 3x³ – 4x² +2

Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:
x⁵ – 2x⁴+3x³ – 4x²+2 =(x – 1)(x⁴ – x³ +2x² – 2x +2)

Vì x⁴ – x³ +2x² – 2x +2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa

6. Ví dụ 6: x⁴ +1997x² +1996x+1997

 = (x⁴ +x²+1)+(1996x²+1996x+1996)

=(x²+x+1)(x² – x +1) +1996(x² +x+1)

= (x²+x+1)(x² – x +1+1996)

=(x² +x+1)(x² – x +1997)

7. Ví dụ 7: x² – x – 2001. 2002 = x² – x – 2001 . (2001 +1)

= x² – x – 2001² – 2001

= (x² – 2001²) – (x+2001)

= (x +2001)( x – 2002)

II. Thêm , bớt cùng một hạng tử:
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:
a) Ví dụ 1:4x⁴ +81=4x⁴ +36x²+81 – 36x² =(2x² +9)² – 36x²

=(2x²+9)² – (6x)² =(2x² +9+6x)(2x²+9 – 6x)

=(2x²+6x+9)(2x² – 6x +9)

b) Ví dụ 2: x⁸+98x⁴ +1=(x⁸ +2x⁴+1)+96x⁴

=(x⁴+1)² +16x²(x⁴+1)64x⁴ – 16x²(x⁴+1)+32x⁴

=(x⁴+1+8x²)² – 16x²(x⁴+1 – 2x²)

=(x⁴+8x²+1)² – 16x²(x² – 1)²

=(x⁴ +8x²+1)² – (4x³ – 4x)²

=(x⁴+4x³+8x² – 4x+1)(x⁴ – 4x³+8x² +4x+1)

2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

a) Ví dụ 1: x⁷+x⁵+1= (x⁷ – x)+(x⁵ – x²) +(x² +x+1)

=x(x³ – 1)(x³+1) +x²(x³ – 1)+(x²+x+1)

=(x² +x+1)(x – 1)(x⁴+x)+x²(x – 1)(x²+x+1)+(x²+x+1)

=(x²+x+1)[(x⁵ – x⁴+x² – x]+(x³ – x²)+1]

=(x²+x+1)(x⁵ – x⁴+x³ – x+1)

a) Ví dụ 2: x⁷+x⁵+1= (x⁷ – x)+(x⁵ – x²) +(x² +x+1)

=x(x³ – 1)(x³+1) +x²(x³ – 1)+(x²+x+1)

=(x² +x+1)(x – 1)(x⁴+x)+x²(x – 1)(x²+x+1)+(x²+x+1)

=(x²+x+1)[(x⁵ – x⁴+x² – x]+(x³ – x²)+1]

=(x²+x+1)(x⁵ – x⁴+x³ – x+1)

*Ghi nhớ:

Các đa thức có dạng x^3m+1+ x³ⁿ⁺²+1 như:

x⁷+x²+1; x⁷+x⁵+1;

x⁸+x⁴+1; x⁵+x+1; x⁸+x+1;… đều có nhân tử chung là x²+x+1

III. Đặt biến phụ:

1. Ví dụ 1: x(x+4)(x+6)(x+10) +128=[x(x+10)][(x+4)(x+6)] +128

=(x²+10x)+ (x² +10x+24) +128

Đặt x² +10x+12 = 7, đa thức có dạng

(y – 12)(y+12) +128=y² – 144 +128 = y² – 16= (y+4)(y – 4)

=(x²+10x+8)(x²+10x+16) =(x+2)(x+8)(x²+10x+8)

2. Ví dụ 2: A= x⁴ +6x³ +7x² – 6x +1

Giả sử \(x \ne 0\)ta viết

x⁴ +6x³+7x² – 6x+1

= \({x^2}({x^2} + 6x + 7 - \frac{6}{x} + \frac{1}{{{x^2}}})\)

\( = {x^2}{\rm{[(}}{{\rm{x}}^2} + \frac{1}{{{x^2}}}) + 6(x - \frac{1}{x}) + 7]\)

Đặt \(x - \frac{1}{x} = y\)thì\({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {y^2} + 2\), do đó

A= x²(y²+2+6y+7)=x²(y+3)²=(xy+3x)²

=\[{{\rm{[}}x{(x - \frac{1}{x})^2} + 3x]^2}\]=(x²+3x – 1)²

* Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằn đẳng thức như sau:

A= x⁴+6x³+7x² – 6x+1

= x⁴ +(6x³ – 2x²)+(9x² – 6x+1)

=x⁴+2x²(3x – 1)+(3x – 1)² = (x²_­ +3x – 1)²

3. Ví dụ 3: A= (x²+y²+z²)(x+y+z)²+(xy+yz+zx)²

=[(x²+y²+z²)+2(xy+yz+xz)](x²+y²+z²)+(xy+yz+xz)²

Đặt x²+y²+z²=a, xy +yz+xz+b ta có

A=a(a+2b) +b² =a²+2ab+b²

=(a+b)²= (x²+y²+z²+xy+yz+xz)²

4. Ví dụ 4: B= 2(x⁴+y⁴+z⁴) – (x²+y²+z²)² – 2( x²+y²+z²)(x+y+z)² +(x+y+z)⁴

Đặt x⁴+y⁴ +z⁴ = a, x² +y² +z² =b, x +y +z =c ta có:

B= 2a – b² – 2bc² +c⁴

= 2a – 2b² +b² – 2bc² +c⁴

= 2(a – b²)+(b – c²)²

Ta lại có: a – b²= -2(x²y²+y²z²+z²x²) và b – c² = -2(xy+yz+zx) Do đó

B= -4(x²y²+y²z²+z²x²)+4(xy+yz+xz)²

_­= - 4x²y² – 4y²z² – 4z²x² +4x²y² +4y²z² +4z²x²+8xy²z +8xyz²

=8xyz(x+y+z)

5. Ví dụ 5: (a +b+c)³ – 4(a³+b³+c³) – 12abc

Đặt a+b =m, a – b=n thì 4ab=m² – n²

a³+b³=(a+b)[(a – b)² +ab]= \(m({n^2} + \frac{{{m^2} - {n^2}}}{4}).\) Ta có:

C= \({(m + c)^3} - 4.\frac{{{m^3} + 3m{n^2}}}{4} - 4{c^3} - 3c({m^2} - {n^2})\)

\( = 3( - {c^3} + m{c^2} - m{n^2} + c{n^2})\)