Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài tập cơ bản và nâng cao số chính phương, tài liệu bao gồm 10 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt tài liệu

Tổng hợp lý thuyết và bài tập nâng cao số chính phương.

Bài tập cơ bản và nâng cao: số chính phương

I- Định nghĩa: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
II- Tính chất:
1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n Î N).
4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n Î N).
5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
III- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
A- Dạng 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:

A =(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y⁴ là số chính phương

Giải: Ta có A= (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y⁴

=(x² +5xy +4y²)(x²+5xy+6y²)+ y⁴

Đặt x² +5xy +5y² =t ( \(t \in \mathbb{Z}\)) thì

A= (t – y²)(t+y²) +y⁴ = t² – y⁴ +y⁴ = t² =(x² +5xy +5y²)²

Vì x, y, z \( \in \mathbb{Z}\)nên

\({x^2} \in Z,5xy \in Z,5{y^2} \in Z \Rightarrow {x^2} + 5xy + 5{y^2} \in Z\)

Vậy A là số chính phương.

Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Giải: Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3 (\(n \in Z)\). Ta có:

n(n+1)(n+2)(n+3) +1= n. (n+3)(n+1)(n+2) + 1

=(n²+3n)(n²+3n+2) +1 (*)

Đặt n²+3n =t (\(t \in N\)) thì (*) = t(t+2) + 1= t² +2t+1 =(t+1)²

=(n²+3n+1)²

Vì \(n \in N\)nên \({n^2} + 3n + 1 \in N\). Vậy n(n+1)(n+2)(n+3) +1 là số chính phương.

Bài 3: Cho S = 1.2.3 +2.3.4 +3.4.5+…+k(k+1)(k+2)

Chứng minh rằng 4S +1 là số chính phương.

Giải: Ta có: k(k+1)(k+2) = \(\frac{1}{4}k((k + 1)(k + 2).4\)

\( = \frac{1}{4}k(k + 1)(k + 2).{\rm{[}}(k + 3) - (k - 1){\rm{]}}\)

\( = \frac{1}{4}k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - \frac{1}{4}k(k + 1)(k + 2)(k - 1)\)

=>4S=1.2.3.4 – 0.1.2.3 +2.3.4.5 – 1.2.3.4 +…+k(k+1)(k+2)(k+3) – k(k+1)(k+2)(k – 1)

= k(k+1)(k+2)(k+3) +1

Theo kết quả bài 2 => kk + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; . . .
- Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa các chữ số đứng trước và đứng sau nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Ta có 44…4\({\kern 1pt} 4\underbrace {4...4}_{nchuso4}8\underbrace {8...8}_{n - 1chuso8}9 = \underbrace {44...4}_{nchuso4}\underbrace {88...8}_{nchuso8} + 1 = \underbrace {4...4}_{nchuso4}{.10^n} + 8.\underbrace {11...1}_{nchuso1} + 1\)

\( = 4.\frac{{{{10}^n} - 1}}{9}{.10^n} + 8.\frac{{{{10}^n} - 1}}{9} + 1\)

\( = \frac{{{{4.10}^{2n}} - {{4.10}^n} + {{8.10}^n} - 8 + 9}}{9} = \frac{{{{4.10}^{2n}} + {{4.10}^n} + 1}}{9}\)

\( = {(\frac{{{{2.10}^n} + 1}}{3})^2}\)

Ta thấy \({2.10^n} + 1 = \underbrace {200...01}_{n - 1chuso0}\)có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 2

=> \({(\frac{{{{2.10}^n} + 1}}{3})^2} \in Z\)hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương.

Các bài tương tự:

Chứng minh rằng số sau đây là sô chính phương.

\(A = \underbrace {11...1}_{2nchuso1} + \underbrace {44...4}_{nchuso4} + 1\)

\(B = \underbrace {11...1}_{2nchuso1} + \underbrace {11...1}_{n + 1chuso1} + \underbrace {66...6}_{nchuso6} + 8\)

\(C = \underbrace {44...4}_{2nchuso4} + \underbrace {22...2}_{n + 1chuso2} + \underbrace {88...8}_{nchuso8} + 7\)

\(D = 224\underbrace {99...9}_{n - 2chuso9}1\underbrace {00...0}_{nchuso0}9\)

\(E = \underbrace {11...15}_{nchuso1}\underbrace {5....56}_{n - 1chuso5}\)

Kết quả: \(A = {(\frac{{{{10}^n} + 2}}{3})^2};B = {(\frac{{{{10}^n} + 8}}{3})^2};C = {(\frac{{{{2.10}^n} + 7}}{3})^2}\)

D=(15.10² – 3)²

\(E = {(\frac{{{{10}^n} + 2}}{3})^2}\)

Bài 5: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương.
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n - 2, n - 1, n +1, n + 2( \(n \in N.n > 2\))

Ta có: ( n – 2)² +(n – 1)² +n² +(n+1)² +(n+2)² =5.(n²+2)

Vì n² không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n² +2 không thể chia hết cho 5

=> 5.(n²+2) không là số chính phương hay A không là số chính phương.

Bài 6: Chứng minh rằng số có dạng n⁶ – n⁴ +2n³ +2n² trong đó \(n \in N\)và n>1 không phải là số chính phương.

n⁶ – n⁴ +2n³ +2n² = n².(n⁴ – n² +2n+2)

=n².[n²(n – 1)(n+1) +2(n+1)]

=n²[(n+1)(n³ – n²+2)]

=n²(n+1).[(n³+1) – (n² – 1)]

=n²(n+1)².(n² – 2n+2)

Với \(n \in N,n > 1\) thì n² – 2n +2 = (n – 1)²+1 >(n – 1)²

Và n² – 2n +2 =n² – 2(n – 1) <n²

Vậy (n – 1)² <n² – 2n +2 <n² => n² – 2n+2 không phải là một số chính phương.

Bài 7: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.
Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 =5² là số chính phương.

Bài 8: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương.
a và b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m Î N).

=> a²+b²= (2k+1)² +(2m+1)² = 4k²+4m+1

= 4(k²+k+m²+m) +2

=> a² +b² không thể là số chính phương.

Bài 9: Chứng minh rằng nếu p là tích của n ( với n>1) số nguyên đầu tiên

thì p - 1 và p + 1 không thể là các số chính phương.
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p 2 và p không thể chia hết cho 4 (1)
a- Giả sử p + 1 là số chính phương. Đặt p + 1 = m² ( \(m \in \mathbb{N}\)).

Vì p chẵn nên p +1 lẻ => m² lẻ => m lẻ

Đặt m=2k+1 ( \(k \in N\)). Ta có m² = 4k² +4k +1 => p+1 = 4k² +4k+1

=> p = 4k² +4k = 4k( k+1) \( \vdots \)a mâu thuẫn với (1)

=> p +1 không phải là số chính phương.

b – p = 2.3.5… là số chia hết cho 3 => p – 1 có dạng 3k+2

=> p – 1 không là số chính phương.

Vậy nếu p là tích n (n >1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không là số chính
phương.
Bài 10: Giả sử N = 1.3.5.7 . . . 2007. 2011
Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N và 2N + 1 không có số nào là số chính phương.
a- 2N - 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 - 1
Có 2N 3 => 2N - 1 = 3k + 2 (\(k \in \mathbb{N}\))

=> 2N - 1 không là số chính phương.
b- 2N = 2.1.3.5.7 . . . 2011 => 2N chẵn.
=> N lẻ => N không chia hết cho 2 và 2N \( \vdots \)2 nhưng 2N không chia hết cho 4.

2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 hoặc dư 3 => 2N không là số chính phương.
c- 2N + 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 + 1
2N + 1 lẻ nên 2N + 1 không chia hết cho 4
2N không chia hết cho 4 nên 2N + 1 không chia cho 4 dư 1.
=> 2N + 1 không là số chính phương.
Bài 11: Cho \(a = \underbrace {11...1}_{2010chuso1};b = 1\underbrace {00...0}_{2009chuso0}5\)

Chứng minh \(\sqrt {ab + 1} \) là số tự nhiên.

Giải \(b = 1\underbrace {00...0}_{2009chuso0}5 = 1\underbrace {00...0}_{2010chuso0} - 1 + 6 = \underbrace {99...9}_{2010chuso9} + 6 = 9a + 6\)

\( \Rightarrow \)ab +1 = a(9a +6) +1 = 9a² +6a +1 =(3a+1)²

\( \Rightarrow \sqrt {ab + 1}  = \sqrt {{{(3a + 1)}^2}}  = 3a + 1 \in N\)

B. Dạng 2: tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương

a) n² +2n +12

b) n(n +3)

c) 13n +3

d) n² +n +1589

Giải

a) n² +2n +12 là số chính phương nên đặt n² + 2n +12 =k² (\(k \in \mathbb{N}\))

\( \Rightarrow \) (n² +2n +1) + 11 =k²

\( \Leftrightarrow \)k² – (n +1)² = 11

 \( \Leftrightarrow \)(k +n +1) (k – n – 1) =11

Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k + n + 1 = 11\\k - n - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 6\\n = 4\end{array} \right.\)

b) đặt n(n+3)=a² ( \(n \in N\)) \( \Rightarrow {n^2} + 3n = {a^2} \Leftrightarrow 4{n^2} + 12n = 4{a^2}\)

\( \Leftrightarrow (4{n^2} + 12n + 9) - 9 = 4{a^2}\)

\( \Leftrightarrow {(2n + 3)^2} - 4{a^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow (2n + 3 + 2a)(2n + 3 - 2a) = 9\)

Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n+3 +2a)(2n +3 – 2a) = 9.1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n + 3 + 2a = 9\\2n + 3 - 2a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 1\\a = 2\end{array} \right.\)

c) Đặt 13n +3 =y² (\(y \in \mathbb{N}\)) \( \Rightarrow \)13(n – 1)=y² – 16

\( \Leftrightarrow \)13(n – 1)=(y+4)(y – 4)

\( \Rightarrow (y + 4)(y - 4) \vdots 13\)mà 13 là số nguyên nên \(y + 4 \vdots 13\)hoặc \(y - 4 \vdots 13\)

\( \Rightarrow y = 13k \pm 4\)( với \(k \in \mathbb{N}\))

\( \Rightarrow 13(n - 1) = {(13k \pm 4)^2} - 16 = 13k(13k \pm 8)\)

\( \Rightarrow 13{k^2} \pm 8k + 1\)

Vậy \(n = 13{k^2} \pm 8k + 1\)( với \(k \in \mathbb{N}\))thì 13n +3 là số chính phương

d) Đặt n² +n +1589=m² (\(m \in \mathbb{N}\))\( \Rightarrow \)(4n²+1)² +6355=4m²

\( \Leftrightarrow (2m + 2n + 1)(2m - 2n - 1) = 6355\)

Nhận xét thấy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n có thể có các giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28
Bài tương tự :
Tìm a để các số sau là những số chính phương

a) a² +a +43

b) a² +81

c) a² +31a+1984

Kết quả: a) 2; 42; 13

b) 0; 12; 40

c) 12; 33; 48; 176; 332; 565; 1728

Bài 2 : Tìm số tự nhiên \(n \ge 1\)sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương.
Với n = 1 thì 1! = 1 =1² là số chính phương

Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 =3³ là số chính phương

\(\)\(\)\(\)