Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu 16 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8, tài liệu bao gồm 84 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt tài liệu

16 chuyên đề ôn tập học sinh giỏi lớp 8, mỗi phần bao gồm lý thuyết và bài tập thực hành

Chuyên đề 1 : Đa thức
B. Các phương pháp và bài tập:
I. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
* Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước
dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử
bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì \(\frac{{f(1)}}{{a - 1}}\) và \(\frac{{f( - 1)}}{{a + 1}}\)đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
1. Ví dụ 1: 3x² – 8x+4

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2

3x² – 8x +4 = 3x² – 6x – 2x +4

= 3x(x – 2) – 2( x – 2)= (x – 2)(3x – 2)

Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:

3x² – 8x +4=( 4x² – 8x +4) – x²

= (2x – 2)² – x² = (2x – 2 +x)(2x  - 2 – x)

=(x – 2)(3x – 2)

2. Ví dụ 2: x³ – x² – 4

Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì \(x =  \pm 1; \pm 2; \pm 4\), chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm
của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2
Cách 1:x³ – x² – 4 =( x³ – 2x²) + (x² – 2x)+(2x +4)

= x²( x – 2) +x(x – 2) +2(x – 2) = (x – 2)(x²+x+2)

Cách 2: x³ – x² – 4 = x³ – 8 – x² +4 =(x³ – 8) – (x² – 4)

=( x – 2)(x² +2x+4) – (x – 2)(x+2)

= (x – 2)[(x² +2x +4) – (x+2)]=(x – 2)(x² +x+2)

3. Ví dụ 3: f(x) = 3x³ – 7x² +17x – 5

Nhận xét: \( \pm 1, \pm 5\)không là nghiệm của f(x), như vậyf(x) không có nghiệm nguyên. Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy \(x = \frac{1}{3}\) là nghiệm cùa f(x) do đó f(x) có một nhân từ là 3x – 1. Nên

f(x) = 3x³ – 7x² +17x – 5

= 3x³ – x² – 6x²+2x +15x – 5

= (3x³ – x²) – (6x² – 2x)+(15x – 5)

=x² (3x -1 ) – 2x(3x – 1) +5(3x – 1)

=(3x – 1)(x² – 2x +5)

Vì x² – 2x +5 = (x² – 2x +1) +4 = (x – 1)² +4 >0 với mọi x nên không phân tích được thành nhân tử nữa
4. Ví dụ 4: x³+5x² +8x +4

Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1

x³ +5x²+8x+4=(x³+x²)+(4x²+4x)+(4x+4)

=x²(x+1)+4x(x+1)+4(x+1)

=(x+1)(x²+4x+4)=(x+1)(x – 2)²

5. Ví dụ 5: f(x) = x⁵ – 2x⁴ + 3x³ – 4x² +2

Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:
x⁵ – 2x⁴+3x³ – 4x²+2 =(x – 1)(x⁴ – x³ +2x² – 2x +2)

Vì x⁴ – x³ +2x² – 2x +2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa

6. Ví dụ 6: x⁴ +1997x² +1996x+1997

 = (x⁴ +x²+1)+(1996x²+1996x+1996)

=(x²+x+1)(x² – x +1) +1996(x² +x+1)

= (x²+x+1)(x² – x +1+1996)

=(x² +x+1)(x² – x +1997)

7. Ví dụ 7:

 x² – x – 2001. 2002 = x² – x – 2001 . (2001 +1)

= x² – x – 2001² – 2001

= (x² – 2001²) – (x+2001)

= (x +2001)( x – 2002)

II. Thêm , bớt cùng một hạng tử:
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:
a) Ví dụ 1:4x⁴ +81=4x⁴ +36x²+81 – 36x² =(2x² +9)² – 36x²

=(2x²+9)² – (6x)² =(2x² +9+6x)(2x²+9 – 6x)

=(2x²+6x+9)(2x² – 6x +9)

b) Ví dụ 2: x⁸+98x⁴ +1=(x⁸ +2x⁴+1)+96x⁴

=(x⁴+1)² +16x²(x⁴+1)64x⁴ – 16x²(x⁴+1)+32x⁴

=(x⁴+1+8x²)² – 16x²(x⁴+1 – 2x²)

=(x⁴+8x²+1)² – 16x²(x² – 1)²

=(x⁴ +8x²+1)² – (4x³ – 4x)²

=(x⁴+4x³+8x² – 4x+1)(x⁴ – 4x³+8x² +4x+1)

2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

a) Ví dụ 1: x⁷+x⁵+1= (x⁷ – x)+(x⁵ – x²) +(x² +x+1)

=x(x³ – 1)(x³+1) +x²(x³ – 1)+(x²+x+1)

=(x² +x+1)(x – 1)(x⁴+x)+x²(x – 1)(x²+x+1)+(x²+x+1)

=(x²+x+1)[(x⁵ – x⁴+x² – x]+(x³ – x²)+1]

=(x²+x+1)(x⁵ – x⁴+x³ – x+1)

a) Ví dụ 2: x⁷+x⁵+1= (x⁷ – x)+(x⁵ – x²) +(x² +x+1)

=x(x³ – 1)(x³+1) +x²(x³ – 1)+(x²+x+1)

=(x² +x+1)(x – 1)(x⁴+x)+x²(x – 1)(x²+x+1)+(x²+x+1)

=(x²+x+1)[(x⁵ – x⁴+x² – x]+(x³ – x²)+1]

=(x²+x+1)(x⁵ – x⁴+x³ – x+1)

*Ghi nhớ:

Các đa thức có dạng x^3m+1+ x³ⁿ⁺²+1 như:

 x⁷+x²+1; x⁷+x⁵+1;

 x⁸+x⁴+1; x⁵+x+1; x⁸+x+1;… đều có nhân tử chung là x²+x+1

III. Đặt biến phụ:

1. Ví dụ 1: x(x+4)(x+6)(x+10) +128=[x(x+10)][(x+4)(x+6)] +128

=(x²+10x)+ (x² +10x+24) +128

Đặt x² +10x+12 = 7, đa thức có dạng

(y – 12)(y+12) +128=y² – 144 +128 = y² – 16= (y+4)(y – 4)

=(x²+10x+8)(x²+10x+16) =(x+2)(x+8)(x²+10x+8)

2. Ví dụ 2: A= x⁴ +6x³ +7x² – 6x +1

Giả sử \(x \ne 0\)ta viết

x⁴ +6x³+7x² – 6x+1

= \({x^2}({x^2} + 6x + 7 - \frac{6}{x} + \frac{1}{{{x^2}}})\)

\( = {x^2}{\rm{[(}}{{\rm{x}}^2} + \frac{1}{{{x^2}}}) + 6(x - \frac{1}{x}) + 7]\)

Đặt \(x - \frac{1}{x} = y\)thì \({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {y^2} + 2\), do đó

A= x²(y²+2+6y+7)

=x²(y+3)²=(xy+3x)²

=\[{{\rm{[}}x{(x - \frac{1}{x})^2} + 3x]^2}\]=(x²+3x – 1)²

* Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằn đẳng thức như sau:

A= x⁴+6x³+7x² – 6x+1

= x⁴ +(6x³ – 2x²)+(9x² – 6x+1)

=x⁴+2x²(3x – 1)+(3x – 1)²

= (x²_­ +3x – 1)²

3. Ví dụ 3: A= (x²+y²+z²)(x+y+z)²+(xy+yz+zx)²

=[(x²+y²+z²)+2(xy+yz+xz)](x²+y²+z²)+(xy+yz+xz)²

Đặt x²+y²+z²=a, xy +yz+xz+b ta có

A=a(a+2b) +b² =a²+2ab+b²

=(a+b)²= (x²+y²+z²+xy+yz+xz)²

4. Ví dụ 4: B= 2(x⁴+y⁴+z⁴) – (x²+y²+z²)² – 2( x²+y²+z²)(x+y+z)² +(x+y+z)⁴

Đặt x⁴+y⁴ +z⁴ = a, x² +y² +z² =b, x +y +z =c ta có:

B= 2a – b² – 2bc² +c⁴

= 2a – 2b² +b² – 2bc² +c⁴

 = 2(a – b²)+(b – c²)²

Ta lại có: a – b²= -2(x²y²+y²z²+z²x²) và b – c² = -2(xy+yz+zx) Do đó

B= -4(x²y²+y²z²+z²x²)+4(xy+yz+xz)²

_­= - 4x²y² – 4y²z² – 4z²x² +4x²y² +4y²z² +4z²x²+8xy²z +8xyz²

=8xyz(x+y+z)

5. Ví dụ 5: (a +b+c)³ – 4(a³+b³+c³) – 12abc

Đặt a+b =m, a – b=n thì 4ab=m² – n²

a³+b³=(a+b)[(a – b)² +ab]=\(m({n^2} + \frac{{{m^2} - {n^2}}}{4}).\)Ta có:

C= \({(m + c)^3} - 4.\frac{{{m^3} + 3m{n^2}}}{4} - 4{c^3} - 3c({m^2} - {n^2})\)

\( = 3( - {c^3} + m{c^2} - m{n^2} + c{n^2})\)

=3[c²( m – c) – n²(m – c)]

= 3(m – c)(c – n)(c+n)=3( a+b – c)(c+a – b)(c – a+b)

IV. Phương pháp hệ số bất định:

1. Ví dụ 1: x⁴ – 6x³ +12x² – 14x +3

Nhận xét: các số \( \pm 1. \pm 3\)không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng

(x²+ax+b)(x²+cx+d)=x⁴ +(a+c)x³ +(ac+b+d)x² +(ad+bc)x+bd

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}a + c =  - 6\\ac + b + d = 12\\ad + bc =  - 14\\bd = 3\end{array} \right.\)

Xét bd=3 với \(b,d \in \mathbb{Z},b \in {\rm{\{ }} \pm 1, \pm 3\} \)với b=3 thì d=1 hệ điều kiện trên trở thành

\(\left\{ \begin{array}{l}a + c =  - 6\\ac =  - 8\\a + 3c =  - 14\\bd = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2c =  - 8\\ac = 8\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c =  - 4\\a =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy: x⁴ – 6x³ +12x² – 14x+3= (x² – 2x+3)(x² – 4x+1)

2. Ví dụ 2: 2x⁴ – 3x³ – 7x²+6x+8

Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x=2 nên có thừa số là x – 2 do đó ta có:

2x⁴ – 3x³ – 7x²+6x+8= (x – 2)(2x³+ax²+bx+c)

=2x⁴+(a – 4)x³+(b – 2a)x²+(c – 2b)x – 2c

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 4 =  - 3\\b - 2a =  - 7\\c - 2b = 6\\ - 2c = 8\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 5\\c =  - 4\end{array} \right.\)

Suy ra: 2x⁴ – 3x³ – 7x² +6x+8= (x – 2)(2x³ +x² – 5x – 4)

Ta lại có 2x³ +x² – 5x – 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nhau nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x³ +x² – 5x – 4 =(x+1)(2x² – x – 4)

Vậy: 2x⁴ – 3x³ – 7x² +6x+8 = (x – 2)(x+1)(2x² – x – 1)

3. Ví dụ 3:

12x² +5x – 12y² +12y – 10xy – 3

= (ax +by +3)(cx+dy – 1)

= acx² +(3c – a)x +bdy² +(3d – b)y +(bc +ad)xy – 3

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ac = 12\\bc + ad =  - 10\\3c - a = 5\\bd =  - 12\\3d - b = 12\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\c = 3\\b =  - 6\\d = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \)12x² +5x – 12y² +12y – 10xy – 3

=(4x – 6y +3)(3x +2y – 1)

Bài tập

Phân tích các đa thức sau thành nhân từ:

1)x³  - 7x +6

2) x³ – 9x² +6x +16

3) x³ – 6x² – x+30

4) 2x³ – x² +5x +3

5) 27x³ – 27x² +18x – 4

6) x² +2xy +y² – x – y – 12

7) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24

8)4x⁴ – 32x² +1

9) 3(x⁴ +x² +1) – (x² +x+1)²

10) 64x⁴ +y⁴

11) a⁶ +a⁴ +a²b² +b⁴ – b⁶

12) x³ +3xy+y³ – 1

13) 4x⁴ +4x³ +5x² +2x+1

14) x⁸+x+1

15) x⁸+3x⁴+4

16) 3x² +22xy +11x +37y +7y² +10

17) x⁴ – 8x +63

Chuyên đề 2 -  Lũy thừa bậc N của một nhị thức

B – Kiến thức và bài tập vận dụng:

I. Một số hằng đẳng thức tổng quát:

1. aⁿ  - bⁿ =( a – b)(a^n-1+a^n-2b + a^n-3b²+…+ab^n-2+bⁿ)

2. aⁿ +bⁿ =(a+b)(a^n-1 – a^n-2b+a^n-3b² - …. – ab^n-2 +b^n-1)

3. Nhị thức Niu tơn: (a+b)ⁿ = \({a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + {b^n}\)

Trong đó: \(C_n^k = \frac{{n(n - 1)(n - 2)...{\rm{[}}n - (k - 1){\rm{]}}}}{{1.2.3...k}}\): Tổ hợp chập k của n phần tử

II. Cách xác định hệ số của khai triển Niu tơn:

1. Cách 1: Dùng công thức \(C_n^k = \frac{{n(n - 1)(n - 2)...{\rm{[}}n - (k - 1){\rm{]}}}}{{k!}}\)

Chẳng hạn hệ số của hạng tử a⁴b³ trong khai triển của (a+b)⁷ là \(C_7^4 = \frac{{7.6.5.4}}{{4!}} = \frac{{7.6.5.4}}{{4.3.2.1}} = 35\)

Chú ý: a) \(C_n^k = \frac{{n!}}{{n!(n - k)!}}\) với quy ước 0! = 1 \( \Rightarrow C_7^4 = \frac{{7!}}{{4!.3!}} = \frac{{7.6.5.4.3.2.1}}{{4.3.2.1.3.2.1}} = 35\)

b) Ta có: \(C_n^k = C_n^{k - 1}\) nên \(C_7^4 = C_7^3 = \frac{{7.6.5}}{{3!}} = 35\)

2. Cách 2: Dùng tam giác Patxcan

Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k (k ³1), chẳng hạn ở dòng 2 (n = 2) ta có 2 = 1 + 1, dòng 3 (n = 3): 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2 dòng 4 (n = 4): 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …

Với n=4 thì: (a+b)⁴ =a⁴ +4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

Với n=5 thì: (a+b)⁵ =a⁵ +5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

Với n =6 thì: (a+b)⁶= a⁶ +6a⁵b +15a⁴b² +20a³b³ +15a²b⁴+6ab⁵+b⁶

Với n = 6 thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6
3. Cách 3:
Tìm hệ số của hạng tử đứng sau theo các hệ số của hạng tử đứng trước:
a) Hệ số của hạng tử thứ nhất bằng 1
b) Muốn có hệ số của của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số của hạng tử thứ k nhân với số mũ của biến trong hạng tử thứ k rồi chia cho k
Chẳng hạn:\({(a + b)^4} = {a^4} + \frac{{1.4}}{1}{a^3}b + \frac{{4.3}}{2}{a^2}{b^2} + \frac{{4.3.2}}{{2.3}}a{b^3} + \frac{{4.3.2}}{{2.3.4}}{b^5}\)

Chú ý rằng: các hệ số của khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa là các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau

\({(a + b)^n} = {a^n} + n{a^{n - 1}}b + \frac{{n(n - 1)}}{{1.2}}{a^{n - 2}}{b^2} + ... + \frac{{n(n - 1)}}{{1.2}}{{\rm{a}}^2}{{\rm{b}}^{n - 2}}{\rm{ + n}}{{\rm{a}}^{n - 1}}{{\rm{b}}^{n - 1}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^n}{\rm{ }}\)