Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu 15 Bài toán Bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8, tài liệu bao gồm 6 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

15 Bài toán Bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8

Tóm tắt tài liệu

Tổng hợp 15 bài toán hình học và đại số môn toán lớp 8

15 bài toán bồi dưỡng HSG toán lớp 8

Bài 1: Tìm x biết:

a) x² – 4x +4 = 25

ĐS: Tính đúng x = ; x = -3

b) \(\frac{{x - 17}}{{1990}} + \frac{{x - 21}}{{1986}} + \frac{{x + 1}}{{1004}} = 4\)

HD: x=2007

c) 4^x – 12. 2^x +32 =0

HD: 4^x – 12.2^x +32 = 0

\( \Leftrightarrow \)2^x.2^x – 4.2^x – 8.2^x +4.8=0

\( \Leftrightarrow \)2^x(2^x  - 4) – 8(2^x – 4)=0 \( \Leftrightarrow \)(2^x – 8)(2^x – 4)=0

\( \Leftrightarrow \)(2^x – 2³)(2^x – 2²)=0\( \Leftrightarrow \)2^x – 2³=0 hoặc  2^x – 2²=0

\( \Leftrightarrow \)2^x=2³ hoặc 2^x=2² \( \Leftrightarrow \)x=3 ; x=2

Bài 2: Cho x, y, z đôi một khác nhau và \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0\)

Tính giá trị của biểu thức: \(A = \frac{{yz}}{{{x^2} + 2yz}} + \frac{{xz}}{{{y^2} + 2xz}} + \frac{{xy}}{{{z^2} + 2xy}}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \Rightarrow \frac{{xy + yz + xz}}{{xyz}} = 0\\ \Rightarrow xy + yz + xz = 0 \Rightarrow yz =  - xy - xz\end{array}\)

x²+2yz=x²+yz – xy – xz = x(x – z) – z(x – y)= (x – y)(x – z)

Tương tự: y²+2xz =(y – x)(y – z) ;

 z²+2xy= (z – x)(z – y)

Do đó: \(A = \frac{{yz}}{{(x - y)(x - z)}} + \frac{{xz}}{{(y - x)(y - z)}} + \frac{{xy}}{{(z - x)(z - y)}}\)

Tính đúng A = 1
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được

 một số chính phương.
Giải:

Gọi \(\overline {abcd} \)là số phải tìm \(a,b,c,d \in N,0 \le a,b,c,d \le 9,a \ne 0\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overline {abcd}  = {k^2}\\\overline {(a + 10(b + 3)(c + 5)(d + 3)}  = {m^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overline {abcd}  = {k^2}\\\overline {abcd}  + 1353 = {m^2}\end{array} \right.\)

Do đó: m² – k² =1353

\( \Rightarrow \)(m+k)(m – k) = 123.11=41.33 (k+m<200)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + k = 123\\m - k = 11\end{array} \right.\) hoặc\(\left\{ \begin{array}{l}m + k = 41\\m - k = 33\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 67\\k = 56\end{array} \right.\)hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}m = 37\\k = 4\end{array} \right.\)

Kết luận đúng \(\overline {abcd}  = 3136\)

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.

a) Tính tổng \[\frac{{HA'}}{{AA'}} + \frac{{HB'}}{{BB'}} + \frac{{HC'}}{{CC'}}\]

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức \(\frac{{{{(AB + BC + CA)}^2}}}{{AA{'^2} + BB{'^2} + CC{'^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất?

Giải

a) \(\frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.HA'.BC}}{{\frac{1}{2}{\rm{AA}}'.BC}} = \frac{{HA'}}{{AA'}}\)

Tương tự: \[\frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{HC'}}{{CC'}};\frac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{HB'}}{{BB'}}\]

\[\frac{{HA'}}{{AA'}} + \frac{{HB'}}{{BB'}} + \frac{{HC'}}{{CC'}} = \frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\]

b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:

\[\frac{{BI}}{{IC}} = \frac{{AB}}{{AC}};\frac{{AN}}{{NB}} = \frac{{AI}}{{BI}};\frac{{CM}}{{MA}} = \frac{{IC}}{{AI}}\]

\[\frac{{BI}}{{IC}}.\frac{{AN}}{{NB}}.\frac{{CM}}{{MA}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\frac{{AI}}{{BI}}.\frac{{IC}}{{AI}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\frac{{IC}}{{BI}} = 1\]

\( \Rightarrow BI.AN.CM = BN.IC.AM\)

c) Vẽ \(Cx \bot CC'\)’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: \(BD \le BC + CD\)

- \(\Delta BAD\) vuông tại  A nên: AB² + AD² = BD²

\( \Rightarrow A{B^2} + A{D^2} \le {(BC + CD)^2}\)

\(A{B^2} + 4CC{'^2} \le {(BC + AC)^2}\)

\(4CC{'^2} \le {(BC + AC)^2} - A{B^2}\)

Tương tự: \(4AA{'^2} \le {(AB + AC)^2} - B{C^2}\)

\(4BB{'^2} \le {(AB + BC)^2} - A{C^2}\)

- Chứng minh được: \(4(AA{'^2} + BB{'^2} + CC{'^2}) \le {(AB + BC + AC)^2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{(AB + BC + CA)}^2}}}{{AA{'^2} + BB{'^2} + CC{'^2}}} \ge 4\)

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \)BC=AC, AC=AB, AB=BC \( \Leftrightarrow \)AB=AC=BC

\( \Leftrightarrow \Delta ABC\)đều

Bài 5: Cho (a – b) ² + (b – c) ² +( c – a) ² = 4. (a² + b² +c ² – ab – ac – bc).

Chứng minh rằng a = b = c.

Giải: Biến đổi đẳng thức để được

a² + b² – 2ab +b² +c² – 2bc +c² + a² +2ac = 4a² + 4b² +4c² – 4ab – 4ac – 4bc

Biến đổi để có (a² + b² – 2ac) + (b² +c² – 2bc) +(a² +c² – 2ac) =0

Biến đổi để có (a – b )² +(b – c)² + ( a – c)² =0 (*)

Vì \({(a - b)^2} \ge 0;{(b - c)^2} \ge 0;{(a - c)^2} \ge 0\); với mọi a, b, c

Nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a – b) ² =0; (b – c)²=0 và (a – c)²=0

Từ đó suy ra a=b=c

Bài 6:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= a⁴ – 2a³ +3a² – 4a +5

Giải: Biến đổi để có A= a²(a²+2) – 2a(a²+2) +(a²+2)+3

=(a²+2)(a² – 2a +1) +3 =(a² +2)(a – 1)² +3

Vì a² +2 >0 \(\forall a\)và \({(a - 1)^2} \ge 0\forall a\) nên \(({a^2} + 2){(a - 1)^2} \ge 0\forall a\)

Do đó \(({a^2} + 2){(a - 1)^2} + 3 \ge 3\forall a\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a – 1=0 \( \Leftrightarrow \)a=1

Bài 7
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 60⁰, phân giác BD. Gọi
M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.

Giải:
a) Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang
Chứng minh được AN=MI,
từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân
b) Tính được \(AD = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}cm\); \(BD = 2AD = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}cm\)

\(AM = \frac{1}{2}BD = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Tính được \(NI = AM = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

\(DC = BC = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\), \(MN = \frac{1}{2}DC = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)cm

Tính được \(AI = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}cm\)

Bài 6 (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng
qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng \[\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{CD}} = \frac{2}{{MN}}.\]

c. Biết \({S_{AOB}} = {2008^2}\)( đơn vị diện tích); \({S_{COD}} = {2009^2}\)( đơn vị diện tích). Tính \({S_{ABCD}}\)

Giải:

a) Lập luận để có \(\frac{{OM}}{{AB}} = \frac{{OD}}{{BD}},\frac{{ON}}{{AB}} = \frac{{OC}}{{AC}}\)

Lập luận để có \(\frac{{OD}}{{DB}} = \frac{{OC}}{{AC}}\)

\( \Rightarrow \frac{{OM}}{{AB}} = \frac{{ON}}{{AB}} \Rightarrow OM = ON\)

b) Xét \(\Delta ABD\) để có \(\frac{{OM}}{{AB}} = \frac{{DM}}{{AD}}(1),\)xét \(\Delta ADC\)để có \(\frac{{OM}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{AD}}(2)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow OM.(\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{CD}}) = \frac{{AM + DM}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AD}} = 1\)

Chứng minh tương tự \(ON(\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{CD}}) = 1\)

Từ đó có \((OM + ON)(\frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{CD}}) = 2 \Rightarrow \frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{CD}} = \frac{2}{{MN}}\)

c)

\(\begin{array}{l}\frac{{{S_{AOB}}}}{{{S_{AOD}}}} = \frac{{OB}}{{OD}},\frac{{{S_{BOC}}}}{{{S_{DOC}}}} = \frac{{OB}}{{OD}} \Rightarrow \frac{{{S_{AOB}}}}{{{S_{AOD}}}} = \frac{{{S_{BOC}}}}{{{S_{DOC}}}}\\ \Rightarrow {S_{AOB}}.{S_{DOC}} = {S_{BOC}}.{S_{AOD}}\end{array}\)          \[\]

Chứng minh được \({S_{AOD}} = {S_{BOC}}\)

\( \Rightarrow {S_{AOB}}.{S_{DOC}} = {({S_{AOD}})^2}\)

Thay số để có 2008².2009²=(S_AOD)²\( \Rightarrow \)S_AOD=2008.2009

Do đó S_ABCD= 2008² +2.2008.2009+2009²=(2008+2009)²=4017²( đơn bị DT)

Bài 7

Cho \(x = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\); \(y = \frac{{{a^2} - {{(b - c)}^2}}}{{{{(b + c)}^2} - {a^2}}}\)

Tính giá trị P = x+y+xy

Bài 8:

Giải phương trình:

a. \(\frac{1}{{a + b - x}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)( x là ẩn số)

b. \(\frac{{(b - c){{(1 + a)}^2}}}{{x + {a^2}}} + \frac{{(c - a){{(1 + b)}^2}}}{{x + {b^2}}} + \frac{{(a - b)(1 + {c^2})}}{{x + {c^2}}} = 0\)

(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Bài 9
Xác định các số a, b biết:

\(\frac{{(3x + 1)}}{{{{(x + 1)}^3}}} = \frac{a}{{{{(x + 1)}^3}}} + \frac{b}{{{{(x + 1)}^2}}}\)

Bài 10
Chứng minh phương trình:

2x² – 4y=10 không có nghiệm nguyên.
Bài 11

Cho \(\Delta ABC\); AB= 3AC

Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
Bài 11
Cho biểu thức:\(A = [\frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}}(\frac{1}{x} + 1) + \frac{1}{{{x^2} + 2x + 1}}(\frac{1}{{{x^2}}} + 1)]:\frac{{x - 1}}{{{x^3}}}\)

a/ Thu gọn A
b/ Tìm các giá trị của x để A<1
c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên
Bài 12
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên):

x²+2xy+7x+7y+y²+10

b/ Biết xy=11 và x²y+xy²+x+y=2010. Hãy tính x²+y²

Bài 13

Cho đa thức P(x) = x² +bx +c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức

x⁴+6x²_­+25 và 3x⁴ +4x²+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1)
Bài 14
Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM.
a/ Tính số đo góc DBK.
b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 15
Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6.