Bài tập phương trình chứa căn

Quang Trung Ngày: 08-03-2024 Lớp 10

Tải xuống 7 1.7 K 8

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài tập phương trình chứa căn, tài liệu bao gồm 7 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Bài tập phương trình chứa căn

Dạng 1. Phương trình căn cơ bản

(1) $\sqrt {\rm{A}} = {\rm{B}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{B}} \ge 0}\\{\;{\rm{A}} = {{\rm{B}}^2}}\end{array}} \right.$.

(2) $\sqrt {\rm{A}} = \sqrt {\rm{B}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{B}} \ge 0}\\{\;{\rm{A}} = {\rm{B}}}\end{array}} \right.$.

Phương pháp tổng quát : (nếu không thuộc hai dạng trên)

- Bước 1. Đặt điều kiện cho căn có nghĩa.

- Bước 2. Chuyển vế sao cho hai vế không âm.

- Bước 3. Bình phương hai vế để đưa về một trong các dạng trên.

Bài tập áp dụng

Bài 1. Giải các phương trình

a/ $\sqrt {2{\rm{x}} - 3} = {\rm{x}} - 3$.

b/ $\sqrt {5{\rm{x}} + 10} = 8 - {\rm{x}}$

c/ ${\rm{x}} - \sqrt {2{\rm{x}} - 5} = 4$

d/ $\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {\rm{x}} - 12} = 8 - {\rm{x}}$.

e/ $\sqrt {{\rm{x}} - 2} = 4 - {\rm{x}}$

f/ $\sqrt {3{{\rm{x}}^2} - 9{\rm{x}} + 1} = {\rm{x}} - 2$.

$g/\sqrt {3{{\rm{x}}^2} - 9{\rm{x}} + 1} = |{\rm{x}} - 2|$.

h) $\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} - 10} = {\rm{x}} - 2$

i/ ${\rm{x}} - \sqrt {2{\rm{x}} + 7} = 4$

j/ ${\rm{x}} + \sqrt {{\rm{x}} - 1} = 13$

k/ ${\rm{x}} - \sqrt {{\rm{x}} - 1} = 3$

l/ $\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} - 1} = 2{\rm{x}} - 7$.

${\rm{m}}/\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}}} = 3{\rm{x}} - 1$.

${\rm{n}}/\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 9{\rm{x}} + 1} = {\rm{x}} - 2$.

o/ $2{\rm{x}} - \sqrt {2{\rm{x}} - 1} = 7$.

p/ $\sqrt {3 - {\rm{x}}} = 3{\rm{x}} - 5$.

q/ $x - \sqrt {4{\rm{x}} - 3} = 2$.

r/ $\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 1} = {\rm{x}} - 1$

s/ ${\rm{x}} - 2 = \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 3} $

t/ $\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 2} = 2{\rm{x}} - 1$.

u/ $\sqrt { - {{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} - 3} = 2{\rm{x}} - 5$.

v/ $\sqrt {5 - {x^2}} = x - 1$.

${\rm{x}}/\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} + 1} + 1 = 4{\rm{x}}$.

$y/\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = {x^2} - 2x + 1$.

Bài 2. Giải các phương trình

a/ ${{\rm{x}}^2} + \sqrt {{\rm{x}} + 7} = 7$.

b/ $\sqrt { - {{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} - 3} = 2{\rm{x}} - 5$.

c/ $\sqrt {16{\rm{x}} + 17} = 8{\rm{x}} - 23$.

d/ $\sqrt { - {{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}}} + 2 = 2{\rm{x}}$.

e/ $\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 6} = 2{\rm{x}} - 1$

f/ ${{\rm{x}}^2} - 1 = \sqrt {{\rm{x}} + 1} $

g/ $\sqrt {4 - {{\rm{x}}^2}} = {\rm{x}} + 2$.

h/ $\sqrt {4 - {{\rm{x}}^2}} = {\rm{x}} + 2$.

Bài 3. Giải các phương trình sau

a/ $\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 4} = \sqrt {2 - {\rm{x}}} $.

b/ $\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}}} = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} .$

c/ $\sqrt {2{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 4} = \sqrt {{{\rm{x}}^2} - {\rm{x}} + 2} $.

d/ $\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} - 2} = \sqrt {{\rm{x}} - 3} $.

Bài 4. Giải các phương trình sau

a/ $\sqrt {2{\rm{x}} + 1} = 2 + \sqrt {{\rm{x}} - 3} $.

b/ $\sqrt {3{\rm{x}} + 4} - \sqrt {{\rm{x}} - 3} = 3$.

cl $\sqrt {{\rm{x}} - 3} - \sqrt {{\rm{x}} + 2} = 5$.

d/ $\sqrt {2{\rm{x}} + 1} = 4 - \sqrt {{\rm{x}} - 3} $.

e/ $\sqrt {5{\rm{x}} - 1} = \sqrt {3{\rm{x}} - 2} + \sqrt {2{\rm{x}} + 2} .\quad $

f/ $\quad \sqrt {3{\rm{x}} + 1} - \sqrt {4{\rm{x}} - 3} = \sqrt {5{\rm{x}} + 4} $

g/ $\sqrt {{\rm{x}} + 1} - \sqrt {{\rm{x}} - 1} = 1$

${\rm{h}}/\sqrt {3{\rm{x}} + 7} - \sqrt {{\rm{x}} + 1} = 2$.

i/ $\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 9} - \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 7} = 2$.

j/ $\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} + 8} - \sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} + 1} = 1$.

${\rm{k}}/\sqrt {2{\rm{x}} + 3} + \sqrt {2{\rm{x}} + 2} = 1$.

1/ $\sqrt {{\rm{x}} + 4} - \sqrt {2{\rm{x}} - 6} = 1$

${\rm{m}}/\sqrt {3{\rm{x}} + 7} - \sqrt {{\rm{x}} + 1} = 2.$

${\rm{n}}/\sqrt {11 - {\rm{x}}} - \sqrt {{\rm{x}} - 1} = 2$.

o/ $\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 9} - \sqrt {{{\rm{x}}^2} + 7} = 2$.

p/ $\sqrt {\rm{x}} + \sqrt {{\rm{x}} - 5} = \sqrt 5 $

q/ $\sqrt {3{\rm{x}} - 5} + \sqrt {2{\rm{x}} + 3} = \sqrt {{\rm{x}} + 2} .$

r/ $\sqrt {{\rm{x}} - 2} + \sqrt {{\rm{x}} - 1} = \sqrt {2{\rm{x}} - 3} $

s/ $\sqrt {{\rm{x}} + 3} - \sqrt {7 - {\rm{x}}} = \sqrt {2{\rm{x}} - 8} .\quad $

t/ $\sqrt {2 - {\rm{x}}} = \sqrt {7 - {\rm{x}}} - \sqrt { - 3 - 2{\rm{x}}} $.

${\rm{u}}/\sqrt {5{\rm{x}} - 1} = \sqrt {3{\rm{x}} - 2} - \sqrt {2{\rm{x}} - 1} .\quad $

v/ $\sqrt {5{\rm{x}} - 1} - \sqrt {{\rm{x}} - 1} = \sqrt {2{\rm{x}} - 4} $

$x/\sqrt {x + 2} - \sqrt {2x - 3} = \sqrt {3x - 5} .\quad $

y $\quad \sqrt {x + 4} - \sqrt {1 - x} = \sqrt {1 - 2x} $

Bài 5. Giải các phương trình sau

a/ $1 + \sqrt {{\rm{x}} - 1} = \sqrt {6 - {\rm{x}}} $.

b/ $\sqrt {5{\rm{x}} - 1} - \sqrt {3{\rm{x}} - 2} - \sqrt {{\rm{x}} - 1} = 0.$

c/ $\sqrt {\rm{x}} + \sqrt {{\rm{x}} + 1} = \sqrt {{\rm{x}} + 2} $.

d/ $\sqrt {3{\rm{x}} + 1} = 8 - \sqrt {{\rm{x}} + 1} $.

e/ $\sqrt {3x - 3} - \sqrt {5 - x} = \sqrt {2x - 4} $.

f/ $\sqrt {{\rm{x}} + 9} = 5 - \sqrt {2{\rm{x}} + 4} $

Dạng 2. Phương trình căn sử dụng đặt ẩn phụ

(1)Loại 1 $af(x) + b\sqrt {(x)} + c = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \sqrt {f(x)} ,t \ge 0}\\{a{t^2} + bt + c = 0}\end{array}} \right.$.

(2) Loại 2 $\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} + \sqrt {f(x) \cdot g(x)} = h(x)$.

Đặt $t = \sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} $.

(3) Loại 3. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình : $\sqrt {{\rm{f}}({\rm{x}})} + \sqrt {{\rm{g}}({\rm{x}})} = {\rm{h}}({\rm{x}})$.

- Đặt $u = {\rm{f}}({\rm{x}}),\quad {\rm{v}} = {\rm{g}}({\rm{x}})$ với $u,{\rm{v}} \ge 0$.

- Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.

Ta có thể giải dạng tổng quát dạng $:\sqrt[n]{{{\rm{f}}({\rm{x}})}} + \sqrt[m]{{{\rm{g}}({\rm{x}})}} = {\rm{a}},\quad ({\rm{a}} = {\rm{const}})$.

Bài tập áp dụng

Bài 6. Giải các phương trình sau

a/ ${x^2} - 6x + 9 = 4\sqrt {{x^2} - 6x + 6} .\quad $

b/ $\sqrt {(x - 3)(8 - x)} + 26 = - {x^2} + 11x$

c) $(x + 4)(x + 1) - 3\sqrt {{x^2} + 5x + 2} = 6.$

d)$(x + 5)(2 - x) = 3\sqrt {{x^2} + 3x} $

e/ ${{\rm{x}}^2} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} + 11} = 31$

f/ ${{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 8 - 4\sqrt {(4 - {\rm{x}})({\rm{x}} + 2)} = 0$

${\rm{g}}/4{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} - 5\sqrt {4{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 11} = 0.$

${\rm{h}}/{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} - 3|2 + {\rm{x}}| + 4 = 0$

i/ $4{{\rm{x}}^2} + \frac{1}{{{{\rm{x}}^2}}} + \left| {2{\rm{x}} - \frac{1}{{\rm{x}}}} \right| - 6 = 0.$

j/ ${x^2} - x + \sqrt {{x^2} - x + 9} = 3.$

${\rm{k}}/{{\rm{x}}^2} + 2\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 11} = 3{\rm{x}} + 4$

l/ ${{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} - 10 + 3\sqrt {{\rm{x}}({\rm{x}} + 3)} = 0$

${\rm{m}}/{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 18 + 4\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 6} = 0.\quad $

${\rm{n}}/2{\rm{x}} - {{\rm{x}}^2} + \sqrt {6{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 7} = 0$

o/ $({\rm{x}} + 4)({\rm{x}} + 1) - 3\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} + 2} = 0.\quad $

${\rm{p}}/\quad {({\rm{x}} - 3)^2} + 3{\rm{x}} - 22 = \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 7} $

q/ $\quad {{\rm{x}}^2} + 1 - 7\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 1} + 10 = 0.$

${\rm{r}}/\sqrt {2{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 12} = {{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 6$

Bài 7. Giải các phương trình sau

a/ $\sqrt {{\rm{x}} + 3} + \sqrt {6 - {\rm{x}}} = 3 + \sqrt {({\rm{x}} + 3)(6 - {\rm{x}})} .\quad $

b/ $\sqrt {2{\rm{x}} + 3} + \sqrt {{\rm{x}} + 1} = 3{\rm{x}} + 2\sqrt {(2{\rm{x}} + 3)({\rm{x}} + 1)} - 16.$

c/ $\sqrt {{\rm{x}} - 1} + \sqrt {3 - {\rm{x}}} - \sqrt {({\rm{x}} - 1)(3 - {\rm{x}})} = 1.$

${\rm{d}}/\sqrt {7 - {\rm{x}}} + \sqrt {2 + {\rm{x}}} - \sqrt {(7 - {\rm{x}})(2 + {\rm{x}})} = 3$

e/ $\sqrt {{\rm{x}} + 1} + \sqrt {4 - {\rm{x}}} + \sqrt {({\rm{x}} + 1)(4 - {\rm{x}})} = 5.\quad $

f $/\sqrt {3{\rm{x}} - 2} + \sqrt {{\rm{x}} - 1} = 4{\rm{x}} - 9 + 2\sqrt {3{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} + 2} $

${\rm{g}}/1 + \frac{2}{3}\sqrt {{\rm{x}} - {{\rm{x}}^2}} = \sqrt {\rm{x}} + \sqrt {1 - {\rm{x}}} .\quad $

${\rm{h}}/\sqrt {\rm{x}} + \sqrt {9 - {\rm{x}}} = \sqrt { - {{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}} + 9} $

\[{\rm{i}}/{\rm{x}} + \sqrt {17 - {{\rm{x}}^2}} + {\rm{x}}\sqrt {17 - {{\rm{x}}^2}} = 9.\]

\[{\rm{j}}/\sqrt {{\rm{x}} - 1} + \sqrt {{\rm{x}} + 3} + 2\sqrt {({\rm{x}} - 1)({\rm{x}} + 3)} = 4 - 2{\rm{x}}\]

${\rm{k}}/\sqrt {{\rm{x}} + 4} + \sqrt {{\rm{x}} - 4} = 2{\rm{x}} - 12 + 2\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 16} .$

$1/\quad \sqrt {2{\rm{x}} + 3} + \sqrt {{\rm{x}} + 1} = 3{\rm{x}} + 2\sqrt {2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} + 3} - 16$

${\rm{m}}/\sqrt {3{\rm{x}} - 2} + \sqrt {{\rm{x}} - 1} = 4{\rm{x}} - 9 + 2\sqrt {3{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} + 2} .\quad $

${\rm{n}}/\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} + 16} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} = 2\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 4} $

Bài 8. Giải các phương trình sau

a/ $2\sqrt {\frac{{3x - 1}}{x}} = \frac{x}{{3x - 1}} + 1$.

b/ $\sqrt[3]{{{\rm{x}} + 7}} - \sqrt {\rm{x}} = 1$

c/ $\sqrt[3]{{2 - {\rm{x}}}} = 1 - \sqrt {{\rm{x}} - 1} $

${\rm{d}}/\sqrt {{\rm{x}} + 3} - \sqrt[3]{{\rm{x}}} = 1$

e/ ${x^3} + 2 = 3\sqrt[3]{{3x - 2}}$

f/ $\sqrt[5]{{\frac{{16{\rm{x}}}}{{{\rm{x}} - 1}}}} + \sqrt[5]{{\frac{{{\rm{x}} - 1}}{{16{\rm{x}}}}}} = \frac{5}{2}$

g/ $\sqrt[3]{{\frac{{2x}}{{x + 1}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{2} + \frac{1}{{2x}}}} = 2$

${\rm{h}}/\frac{{3 + {\rm{x}}}}{{3{\rm{x}}}} = \sqrt {\frac{1}{9} + \frac{1}{{\rm{x}}}\sqrt {\frac{4}{9} + \frac{2}{{{{\rm{x}}^2}}}} } $.

i/ ${\rm{x}} + \sqrt {4 - {{\rm{x}}^2}} = 2 + 3{\rm{x}}\sqrt {4 - {{\rm{x}}^2}} $

${\rm{j}}/2\sqrt[4]{{{{(1 + x)}^2}}} + 3\sqrt[4]{{1 - {x^2}}} + \sqrt[4]{{{{(1 - x)}^2}}} = 0$

k/ $\sqrt[4]{{5 - x}} + \sqrt[4]{{4 - x}} = \sqrt 2 $

1/ $2\sqrt[3]{{3{\rm{x}} - 2}} + 3\sqrt {6 - 5{\rm{x}}} - 8 = 0$

${\rm{m}}/\sqrt[3]{{{\rm{x}} + 3}} = 1 + \sqrt {\rm{x}} $

${\rm{n}}/\sqrt[3]{{{\rm{x}} + 34}} - \sqrt[3]{{{\rm{x}} - 3}} = 1$

Dạng 3. Đưa về phương trình tích số( nhóm, liên hiệp,…)

- Đoán nhận một nghiệm của phương trình để định hướng đưa về phương trình tích số hoặc nhân liên hiệp.

- Cần chú ý đến các cách biến đổi về tích và nhân liên hiệp

Bài tập phương trình chứa căn (ảnh 1)

- ${\rm{f}}({\rm{x}}) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + {\rm{bx}} + {\rm{c}} = {\rm{a}}\left( {{\rm{x}} - {{\rm{x}}_1}} \right)\left( {{\rm{x}} - {{\rm{x}}_2}} \right)$ với ${{\rm{x}}_1}$ và ${{\rm{x}}_2}$ là hai nghiệm của ${\rm{f}}({\rm{x}}) = 0$.

$*\quad {\rm{u}} + {\rm{v}} = 1 + {\rm{uv}} \Leftrightarrow ({\rm{u}} - 1)({\rm{v}} - 1) = 0$

$*\quad {\rm{au}} + {\rm{bv}} = {\rm{ab}} + {\rm{vu}} \Leftrightarrow ({\rm{u}} - {\rm{b}})({\rm{v}} - {\rm{a}}) = 0$

- Cần lưu ý đến các hằng đẳng thức( kết hợp đồng nhất thức)

Bài tập áp dụng

Giải các phương trình sau

a/ $(x - 3)\sqrt {{x^2} + 4} = {x^2} - 9.\quad $

b/ $(x - 3)\sqrt {{x^2} - 5x + 4} = 2x - 6$

c/ $(x + 3)\sqrt {10 - {x^2}} = {x^2} - x - 12.\quad $

d $/(x + 1)\sqrt {16x + 17} = 8{x^2} - 15x - 23.$

e/ $\sqrt {2{{\rm{x}}^2} + 8{\rm{x}} + 6} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 1} = 2{\rm{x}} + 2.\quad $

f/ $\quad \sqrt {{{\rm{x}}^2} + 10{\rm{x}} + 21} = 3\sqrt {{\rm{x}} + 3} + 2\sqrt {{\rm{x}} + 7} - 6$

g/ ${\rm{x}} + 2\sqrt {7 - {\rm{x}}} = 2\sqrt {{\rm{x}} - 1} + \sqrt { - {{\rm{x}}^2} + 8{\rm{x}} - 7} + 1.$.

${\rm{h}}/\sqrt {\rm{x}} + \sqrt {{\rm{x}} + 1} - \sqrt {{{\rm{x}}^2} + {\rm{x}}} = {\rm{x}}$

i/ $\sqrt {{x^2} - x - 2} - 2\sqrt {x - 2} + 2 = \sqrt {x + 1} .\quad $

j/ $\quad \sqrt {{x^2} - 3x + 2} + \sqrt {x + 3} = \sqrt {x - 2} + \sqrt {{x^2} + 2x - 3} $.

${\rm{k}}/\sqrt {{\rm{x}}({\rm{x}} - 1)} + \sqrt {{\rm{x}}({\rm{x}} + 2)} = 2\sqrt {{{\rm{x}}^2}} .\quad $

l/ $\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 15} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 15} = \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 9{\rm{x}} + 18} $

${\rm{m}}/2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 1 = 7\sqrt {{{\rm{x}}^3} - 1} $

${\rm{n}}/\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + {{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 0.$

o/ $\frac{{{{\rm{x}}^2}}}{{\sqrt {3{\rm{x}} - 2} }} - \sqrt {3{\rm{x}} - 2} = 1 - {\rm{x}}$

${\rm{p}}/\sqrt[3]{{{\rm{x}} + 1}} + \sqrt[3]{{{\rm{x}} + 2}} = 1 + \sqrt[3]{{{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 2}}$

q/ $\sqrt[3]{{{\rm{x}} + 1}} + \sqrt[3]{{{{\rm{x}}^2}}} = \sqrt[3]{{\rm{x}}} + \sqrt[3]{{{{\rm{x}}^2} + {\rm{x}}}}.$

${\rm{r}}/\sqrt {{\rm{x}} + 3} + 2{\rm{x}}\sqrt {{\rm{x}} + 1} = 2{\rm{x}} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + 3} $

s/ $\sqrt {{\rm{x}} + 3} + \frac{{4{\rm{x}}}}{{\sqrt {{\rm{x}} + 3} }} = 4\sqrt {\rm{x}} $

${\rm{t}}/\sqrt {{\rm{x}} + 1} + 2({\rm{x}} + 1) = {\rm{x}} - 1 + \sqrt {1 - {\rm{x}}} + 3\sqrt {1 - {{\rm{x}}^2}} $

Bài 10. Giải phương trình

a/ $\sqrt {4{\rm{x}} + 1} - \sqrt {3{\rm{x}} - 2} = \frac{{{\rm{x}} + 3}}{5}.\quad $

b/ $\frac{4}{{{\rm{x}} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} + {\rm{x}}} }} - \frac{1}{{{\rm{x}} - \sqrt {{{\rm{x}}^2} + {\rm{x}}} }} = \frac{3}{{\rm{x}}}$

c/ $\frac{1}{{1 - \sqrt {1 - {\rm{x}}} }} - \frac{1}{{1 + \sqrt {1 - {\rm{x}}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\rm{x}}}.$.

${\rm{d}}/\sqrt {\rm{x}} + \sqrt {{\rm{x}} + 1} = \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} }}$

e/ $\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 1} - {\rm{x}} = \frac{5}{{2\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 1} }}.\quad $

f/ $\frac{4}{{{\rm{x}} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} + {\rm{x}}} }} - \frac{1}{{{\rm{x}} - \sqrt {{{\rm{x}}^2} + {\rm{x}}} }} = \frac{3}{{\rm{x}}}$

${\rm{g}}/4{({\rm{x}} + 1)^2} = (2{\rm{x}} + 10){(1 - \sqrt {3 + 2{\rm{x}}} )^2}.\quad $

h/ $2{{\rm{x}}^2} = ({\rm{x}} + 9){(2 - \sqrt {9 + 2{\rm{x}}} )^2}$

i/ ${\rm{x}} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} + 16} = \frac{{40}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 16} }}$.

j$/\frac{{3{\rm{x}}}}{{\sqrt {3{\rm{x}} + 10} }} = \sqrt {3{\rm{x}} + 1} - 1$

${\rm{k}}/\sqrt {2{\rm{x}} + 4} - 2\sqrt {2 - {\rm{x}}} = \frac{{3{\rm{x}} - 2}}{{\sqrt 3 }}$. $\quad $

l/ $(\sqrt {1 + {\rm{x}}} - 1)(\sqrt {1 - {\rm{x}}} + 1) = 2{\rm{x}}$.

${\rm{m}}/\sqrt {3{\rm{x}} + 1} - \sqrt {6 - {\rm{x}}} + 3{{\rm{x}}^2} - 14{\rm{x}} - 8 = 0.$

${\rm{n}}/\sqrt[3]{{{{\rm{x}}^2} - 1}} + {\rm{x}} = \sqrt {{{\rm{x}}^3} - 2} $

o/ $\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 12} + 5 = 3{\rm{x}} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} + 5} .$

${\rm{p}}/\sqrt {2{\rm{x}} + 4} - 2\sqrt {2 - {\rm{x}}} = \frac{{6{\rm{x}} - 4}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 4} }}$

Dạng 4. Sử dụng hằng đẳng thức đưa về phương trình cơ bản

(1) Loại 1 $ \cdot \sqrt[3]{{\rm{A}}} + \sqrt[3]{{\rm{B}}} = \sqrt[3]{{\rm{C}}}\quad (*)$

Ta có

$\begin{array}{l}(*) \Leftrightarrow {(\sqrt[3]{{\rm{A}}} + \sqrt[3]{{\rm{B}}})^3} = {(\sqrt[3]{{\rm{C}}})^3}\\ \Leftrightarrow {\rm{A}} + {\rm{B}} + 3\sqrt[3]{{{\rm{AB}}}}(\sqrt[3]{{\rm{A}}} + \sqrt[3]{{\rm{B}}}) = {\rm{C}}(**)\end{array}$

Thay $\sqrt[3]{{\rm{A}}} + \sqrt[3]{{\rm{B}}} = \sqrt[3]{{\rm{C}}}$ vào $(**)$, ta được: $(**) \Leftrightarrow {\rm{A}} + {\rm{B}} + 3\sqrt[3]{{{\rm{ABC}}}} = {\rm{C}}$.

(2) Loại 2. $\sqrt {{\rm{f}}({\rm{x}})} + \sqrt {{\rm{g}}({\rm{x}})} = \sqrt {{\rm{h}}({\rm{x}})} + \sqrt {{\rm{k}}({\rm{x}})} $

với $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{f}}({\rm{x}}) + {\rm{h}}({\rm{x}}) = {\rm{g}}({\rm{x}}) + {\rm{k}}({\rm{x}})}\\{{\rm{f}}({\rm{x}}) \cdot {\rm{h}}({\rm{x}}) = {\rm{g}}({\rm{x}}) \cdot {\rm{k}}({\rm{x}})}\end{array}} \right.$

- Biến đổi về dạng: $\sqrt {{\rm{f}}({\rm{x}})} - \sqrt {{\rm{h}}({\rm{x}})} = \sqrt {{\rm{k}}({\rm{x}})} - \sqrt {{\rm{g}}({\rm{x}})} $.

- Bình phương, giải phương trình hệ quả.

(3) Lọai 3. Căn trong căn

Sử dụng hẳng đẳng thức ${{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} \pm 2{\rm{ab}} = {({\rm{a}} \pm {\rm{b}})^2}$ nhưng lưu ý

$| A | = \{\begin{cases} A \\ A \end{cases}$ $\begin{array}{l} khi A \geq 0 \\ khi A < 0 \end{array}$ . Đưa về phương trình căn cơ bản.

Bài tập áp dụng

Bài 11. Giải phương trình

a/ $2\sqrt {{\rm{x}} + 2 + 2\sqrt {{\rm{x}} + 1} } - \sqrt {{\rm{x}} + 1} = 4$.

b/ $\sqrt {{\rm{x}} + 2\sqrt {{\rm{x}} - 1} } - \sqrt {{\rm{x}} - 2\sqrt {{\rm{x}} - 1} } = - 2$.

c/ $\sqrt {{\rm{x}} - 1 - 2\sqrt {{\rm{x}} - 2} } - \sqrt {{\rm{x}} + 2 + 4\sqrt {{\rm{x}} - 2} } + 3 = 0$

d $/\sqrt {2{\rm{x}} - 4 + 2\sqrt {2{\rm{x}} - 5} } + \sqrt {2{\rm{x}} + 4 + 6\sqrt {2{\rm{x}} - 5} } = 14$.

e/ $\sqrt {{\rm{x}} + 5 - 4\sqrt {{\rm{x}} + 1} } + \sqrt {{\rm{x}} + 2 - 2\sqrt {{\rm{x}} + 1} } = 1$.

f/ $\sqrt {2{\rm{x}} - 2\sqrt {2{\rm{x}} - 1} } - 2\sqrt {2{\rm{x}} + 3 - 4\sqrt {2{\rm{x}} - 1} } + 3\sqrt {2{\rm{x}} + 8 - 6\sqrt {2{\rm{x}} - 1} } = 4$

g/ $\sqrt {{\rm{x}} + 3 - 4\sqrt {{\rm{x}} - 1} } + \sqrt {{\rm{x}} + 8 - 6\sqrt {{\rm{x}} - 1} } = 1$.

${\rm{h}}/\sqrt {{\rm{x}} + 8 - 6\sqrt {{\rm{x}} - 1} } - \sqrt {{\rm{x}} + 3 + 4\sqrt {{\rm{x}} - 1} } + 5 = 0$.

i/ $\sqrt {2{\rm{x}} - 4 - 2\sqrt {2{\rm{x}} - 5} } - \sqrt {2{\rm{x}} + 4 + 6\sqrt {2{\rm{x}} - 5} } + 4 = 0$.

${\rm{j}}/\sqrt {2{\rm{x}} - 2 + 2\sqrt {2{\rm{x}} - 3} } = 4 + \sqrt {2{\rm{x}} - 6 - 6\sqrt {2{\rm{x}} - 3} } $.

${\rm{k}}/\sqrt {{\rm{x}} + 2\sqrt {{\rm{x}} - 1} } + \sqrt {{\rm{x}} - 2\sqrt {{\rm{x}} - 1} } = \frac{{{\rm{x}} + 3}}{2}$.

l/ $\sqrt {{\rm{x}} + \sqrt {2{\rm{x}} - 1} } + \sqrt {{\rm{x}} - \sqrt {2{\rm{x}} - 1} } = \sqrt 2 $.

${\rm{m}}/\sqrt {{\rm{x}} - 3 - 2\sqrt {{\rm{x}} - 4} } + \sqrt {{\rm{x}} - 2\sqrt {{\rm{x}} - 1} } = 1$.

${\rm{n}}/\sqrt {{\rm{x}} + \sqrt {14{\rm{x}} - 49} } + \sqrt {{\rm{x}} - \sqrt {14{\rm{x}} - 49} } = \sqrt {14} $.

o/ $21{\rm{x}} - 63 + 7\sqrt {10 - 4|3{\rm{x}} - 9|} = 0.$

Bài 12. Giải phương trình

a/ $\sqrt[3]{{{\rm{x}} + 1}} + \sqrt[3]{{{\rm{x}} + 2}} + \sqrt[3]{{{\rm{x}} + 3}} = 0$

b/ $\sqrt[3]{{2{\rm{x}} - 1}} + \sqrt[3]{{{\rm{x}} - 1}} = \sqrt[3]{{3{\rm{x}} - 2}}$

c/ $\sqrt[3]{{{\rm{x}} + 5}} + \sqrt[3]{{{\rm{x}} + 6}} = \sqrt[3]{{2{\rm{x}} + 11}}$

${\rm{d}}/\sqrt[3]{{{\rm{x}} + 1}} + \sqrt[3]{{3{\rm{x}} + 1}} = \sqrt[3]{{{\rm{x}} - 1}}$

e/ $\sqrt[3]{{{\rm{x}} + 2}} + \sqrt[3]{{{\rm{x}} + 1}} = \sqrt[3]{{2{{\rm{x}}^2}}} + \sqrt[3]{{2{{\rm{x}}^2} + 1}}\quad $

f/ $\sqrt[3]{{2{\rm{x}} - 1}} + \sqrt[3]{{{\rm{x}} - 1}} + \sqrt[3]{{3{\rm{x}} - 2}} = 0$

${\rm{g}}/\sqrt[3]{{2{\rm{x}} + 1}} + \sqrt[3]{{2{\rm{x}} + 2}} + \sqrt[3]{{2{\rm{x}} + 3}} = 0.$

${\rm{h}}/\sqrt[3]{{\rm{x}}} + \sqrt[3]{{2{\rm{x}} - 3}} = \sqrt[3]{{12({\rm{x}} - 1)}}$

Bài 13. Giải phương trình

a/ $\sqrt {{\rm{x}} + 3} + \sqrt {3{\rm{x}} + 1} = 2\sqrt {\rm{x}} + \sqrt {2{\rm{x}} + 2} $.

b/ $\sqrt {\frac{{{{\rm{x}}^3} + 1}}{{{\rm{x}} + 3}}} + \sqrt {{\rm{x}} + 1} = \sqrt {{{\rm{x}}^2} - {\rm{x}} + 1} + \sqrt {{\rm{x}} + 3} $.

c/ $\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 2} + \sqrt {{\rm{x}} + 3} = \sqrt {6{\rm{x}} - 2} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 3} $.

d $/\sqrt {2{{\rm{x}}^2} - 1} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} - 2} = \sqrt {2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 3} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} - {\rm{x}} + 2} $.

e/ $\sqrt {3{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} + 1} - \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 2} = \sqrt {3\left( {{{\rm{x}}^2} - {\rm{x}} - 1} \right)} - \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 4} $.

f/ $\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} + 7} = \sqrt {{{\rm{x}}^2} + {\rm{x}} + 3} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} + {\rm{x}} + 8} $.

g/ $\sqrt {3{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} + 3} - \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 2} = \sqrt {3{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 1} - \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 4} $.

Bài 14. Giải phương trình

a/ $4\sqrt[3]{{{{(x + 2)}^2}}} - 7\sqrt[3]{{\left( {4 - {x^2}} \right)}} + 3 \cdot \sqrt[3]{{{{(2 - x)}^2}}} = 0$.

b/ $2\left( {{x^2} + 2} \right) = 5\sqrt {{x^3} + 1} $

c/ ${{\rm{x}}^2} + 3\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 1} = \sqrt {{{\rm{x}}^4} - {{\rm{x}}^2} + 1} $

Bài 15. Giải phương trình (đặt ẩn phụ không hoàn toàn)

a/ ${x^2} + 2(x - 1)\sqrt {{x^2} + x + 1} - x + 2 = 0$

b/ $({\rm{x}} + 1)\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 3} = {{\rm{x}}^2} + 1$

$c/(4x - 1)\sqrt {{x^2} + 1} = 2{x^2} + 2x + 1$

${\rm{d}}/\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 12} + 5 = 3{\rm{x}} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} + 5} $.

Ngoài cách giai thông thưởng ở trên, ta còn môt số phương pháp giải khác

- Phuơng pháp đánh giá dùng các bất đẳng thức cơ bản: BD Cauchy, BD Bunhiacopski, BDT hinh hoc, ......

- Phương pháp lượng giác hóa