Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu 60 bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số điển hình, tài liệu bao gồm 30 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

60 bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số điển hình

Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm sô

Phương pháp hàm só

Nếu hệ có một trong hai phương trình ta dưa về dạng : \({\rm{f}}({\rm{x}}) = {\rm{f}}({\rm{y}})\) với x, y thuộc T thì khi đó ta khảo sát một hàm số đặc trưng : y=(ft) trên T. Nếu f(t) là đơn điệu thì để \({\rm{f}}({\rm{x}}) = {\rm{f}}({\rm{y}})\) chỉ xảy ra khi x = y. Trong phương pháp này khó nhất là các em phải xác định được tập giá trị của x và y, nếu tập giá trị của chúng khác nhau thì các em không được dùng phương pháp trên mà phải chuyển chúng về dạng tích : \({\rm{f}}({\rm{x}}) - {\rm{f}}({\rm{y}}) = 0\) hay : \(({\rm{x}} - {\rm{y}}) \cdot {\rm{A}}({\rm{x}};{\rm{y}}) = 0\)

Khi đó ta xét trường hợp : x = y, và trường hợp A(x,y)=0.

Sau đây là một số bài mà các em tham khảo.

Bài 1 Giải hệ phương trình sau : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2}y + {y^3} = 2{x^4} + {x^6}}\\{(x + 2)\sqrt {y + 1}  = {{(x + 1)}^2}}\end{array}} \right.\)

- Phương trình (1) khi x = 0 và  y= 0 không là nghiệm ( do không thỏa mãn (2) ).

- Chia 2 vế phương trình (1) cho \({x^3} \ne 0 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow 2\left( {\frac{y}{x}} \right) + {\left( {\frac{y}{x}} \right)^3} = 2x + {x^3}\)

- Xét hàm số : \(f(t) = 2t + {t^3} \Rightarrow {f^\prime }(t) = 2 + 3{t^2} > 0\forall t \in R\). Chứng tỏ hàm số \({\rm{f}}({\rm{t}})\) đồng biến. Để phương trình có nghiệm thì chỉ xảy ra khi : \(\frac{y}{x} = x \Leftrightarrow y = {x^2}\). -thay vào (2) :

\[\begin{array}{l}(x + 2)\sqrt {{x^2} + 1}  = \left( {{x^2} + 1 + 2x} \right)\\ \Leftrightarrow {t^2} - (x + 2)t + 2x = 0\\ \Rightarrow t = 2;t = x\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{x^2} + 1}  = 2 \Rightarrow {x^2} = 3 \leftrightarrow x =  \pm \sqrt 3 .}\\{\sqrt {{x^2} + 1}  = x \Rightarrow x \in \emptyset }\end{array}} \right.\end{array}\]

Do đó hệ có hai nghiệm : \(({\rm{x}};{\rm{y}}) = ( - \sqrt 3 ;3),(\sqrt 3 ;3)\)

Bài 2. Giải hệ phương trình sau : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 + 6y = \frac{x}{y} - \sqrt {x - 2y} }\\{\sqrt {x + \sqrt {x - 2y} }  = x + 3y - 2}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 + 6y = \frac{x}{y} - \sqrt {x - 2y} }\\{\sqrt {x + \sqrt {x - 2y} }  = x + 3y - 2}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y - y\sqrt {x - 2y}  - 6{y^2} = 0}\\{\sqrt {x + \sqrt {x - 2y} }  = x + 3y - 2}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(\sqrt {x - 2y}  + 2y)(\sqrt {x - 2y}  - 3y) = 0}\\{\sqrt {x + \sqrt {x - 2y} }  = x + 3y - 2}\end{array}} \right.\end{array}\)

- Trường hợp 1: \[\sqrt {x - 2y}  =  - 2y \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \le 0}\\{x - 2y = 4{y^2}}\end{array}} \right.\]

Thay vào (2)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x - 2y}  = 4{y^2} + 5y - 2\\ \Leftrightarrow  - 2y = 4{y^2} + 5y - 2\\ \Rightarrow 4{y^2} + 7y - 2 = 0\end{array}\)

- Trường hợp :

 \(\begin{array}{l}\sqrt {x - 2y}  = 3y\\ \Rightarrow \begin{array}{*{20}{l}}{y \ge 0}\\{x - 2y = 9{y^2}}\end{array}\\ \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{l}}{y \ge 0}\\{x = 9{y^2} + 2y}\end{array}\end{array}\).

Thay vào \((2): \Leftrightarrow \sqrt {9{y^2} + 2y + 3y}  = 9{y^2} + 2y + 3y - 2\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {9{y^2} + 5y}  = 9{y^2} + 5y - 2 = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \sqrt {9{y^2} + 5y}  \ge 0}\\{{t^2} - t - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2}\\{\sqrt {9{y^2} + 5y}  = 2}\end{array}} \right.} \right.\]

\[ \Rightarrow 9{y^2} + 5y - 4 = 0 \leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y =  - 1 \to x = 9 - 2 = 7}\\{y = \frac{4}{9} \to 9\frac{{{{16}^2}}}{{91}} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{{264}}{9} = \frac{{88}}{3}}\end{array}} \right.\]

Vậy hệ có nghiệm: \[(x;y) = (7; - 1),\left( {\frac{{88}}{3};\frac{4}{9}} \right)\]

Bài 3 Giải hệ phương trình sau : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + \frac{{2xy}}{{x + y}} = 1}\\{\sqrt {x + y}  = {x^2} - y}\end{array}} \right.\)

Giải

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + \frac{{2xy}}{{x + y}} = 1(1)}\\{\sqrt {x + y}  = {x^2} - y(2)}\end{array}} \right.\].

Từ ( \(2\)) viết lại:

\[\sqrt {x + y}  + x + y = {x^2} + x \Leftrightarrow {(\sqrt {x + y} )^2} + \sqrt {x + y}  = {x^2} + x\]

Ta xét hàm số \({\rm{f}}({\rm{t}}) = {t^2} + t(t \ge 0) \Rightarrow {f^\prime }(t) = 2t + 1 > 0 \vee t \ge 0\). Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng biến , cho nên ta có : \(\sqrt {x + y}  = x \Leftrightarrow y = {x^2} - x.(*)\)

Thay vào

\(\begin{array}{l}(1): \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \frac{{2xy}}{{{x^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {{x^2} - x} \right)^2} + \frac{{2x\left( {{x^2} - x} \right)}}{{{x^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 + {x^2}{(x - 1)^2} + 2(x - 1) = 0\end{array}\) \[ \Leftrightarrow (x - 1)\left( {x + 1 + {x^2}(x - 1) + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 0}\\{{x^3} - {x^2} + x + 3 = 0}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 0}\\{(x + 1)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 1}\end{array}(**)} \right.} \right.\]

Thay vào \((*): \Leftrightarrow y = {x^2} - x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1;y = 2}\\{x = 1;y = 0}\end{array} \Leftrightarrow (x;y) = (1;2),(1;0)} \right.\)

Bài 4. Giải hệ phương trinh : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{{x^2} + 1}} - {4^{8{y^2} + \frac{1}{2}}} = 3(2\sqrt y  - \sqrt x }\\{{2^{{{(x + y)}^2}}} + \frac{3}{2}\sqrt {x + y}  = \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\)

Từ . \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{{x^2} + 1}} - {4^{8{y^2} + \frac{1}{2}}} = 3(2\sqrt y  - \sqrt x )(1)}\\{{2^{{{(x + y)}^2}}} + \frac{3}{2}\sqrt {x + y}  = \frac{7}{2}\quad (2)}\end{array}} \right.\). - Điều kiện : \(x,y \ge 0\)

- Từ \((1): \Leftrightarrow {2.2^{{{(\sqrt x )}^4}}} + 3\sqrt x  = {2.2^{{{(2\sqrt y )}^4}}} + 3(2\sqrt y )\)

- Xét hàm số : \(f(t) = 2.{t^4} + 3t(t \ge 0) \Rightarrow {f^\prime }(t) = 8{t^3} + 3 > 0\). Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến .

Do vậy để phương trình (1) có nghiệm chỉ khi : \(\sqrt x  = 2\sqrt y  \Leftrightarrow x = 4y\quad (*)\)

- Thay vào (2) : \({2^{{{(\sqrt {5y} )}^4}}} + \frac{3}{2}(\sqrt {5y} ) = \frac{7}{2}\). Xét hàm số : \({\rm{f}}({\rm{t}}) = {2^{{t^4}}} + \frac{3}{2}t \Rightarrow {f^\prime }(t) = 4{t^3} \cdot {2^4} + \frac{3}{2} > 0\).

- Nhận xét : \({\rm{f}}(1) = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}\). Suy ra \({\rm{t}} = 1\) là nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4y}\\{\sqrt {5y}  = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{1}{5}}\\{x = \frac{4}{5}}\end{array} \Leftrightarrow (x;y) = \left( {\frac{4}{5};\frac{1}{5}} \right)} \right.} \right.\)

Bài 5. Giải hệ phương trình sau : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {1 + {y^2}} } \right) = 1}\\{x\sqrt {6x - 2xy + 1}  = 4xy + 6x + 1}\end{array}} \right.\)

Từ :. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {1 + {y^2}} } \right) = 1}\\{x\sqrt {6x - 2xy + 1}  = 4xy + 6x + 1}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) = \left( { - y + \sqrt {1 + {{( - y)}^2}} } \right)}\\{x\sqrt {6x - 2xy + 1}  = 4xy + 6x + 1}\end{array}} \right.\].

 (nhân liên hợp )

Xét hàm số :

\(\begin{array}{l}f(t) = t + \sqrt {1 + {t^2}}  \Rightarrow {f^\prime }(t) = 1 + \frac{t}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}\\ = \frac{{\sqrt {1 + {t^2}}  + t}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} > \frac{{|t| + t}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} \ge 0\forall t \in R\end{array}\)

Chứng tỏ hàm số đồng biến . Để \({\rm{f}}({\rm{x}}) = {\rm{f}}( - {\rm{y}})\) chỉ xảy ra \({\rm{x}} =  - {\rm{y}}(*)\)

- Thay vào phương trình (2) :

\(\begin{array}{l}x\sqrt {6x + 2{x^2} + 1}  =  - 4{x^2} + 6x + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2{x^2} + 6x + 1}  - \frac{x}{2}} \right)^2} = \frac{{25}}{4}x\\^2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {2{x^2} + 6x + 1}  = 3x}\\{\sqrt {2{x^2} + 6x + 1}  =  - 2x}\end{array}} \right.\end{array}\)

* Trường hợp : \[\sqrt {2{x^2} + 6x + 1}  = 3x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{2{x^2} + 6x + 1 = 9{x^2}}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{7{x^2} - 6x - 1 = 0}\end{array} \Rightarrow x = 1;y =  - 1} \right.\]

* Trường hợp :

\[\sqrt {2{x^2} + 6x + 1}  =  - 2x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 0}\\{2{x^2} + 6x + 1 = 4{x^2}}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 0}\\{2{x^2} - 6x - 1 = 0}\end{array}} \right.\]

\( \to x = \frac{{3 - \sqrt {11} }}{2};y = \frac{{ - 3 + \sqrt {11} }}{2}\).

Vậy hệ có hai nghiệm \(:({\rm{x}};{\rm{y}}) = (1; - 1),\left( {\frac{{3 - \sqrt {11} }}{2};\frac{{ - 3 + \sqrt {11} }}{2}} \right)\)

Bài 6 Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {4{x^2} + 1} \right)x + (y - 3)\sqrt {5 - 2y} }\\{4{x^2} + {y^2} + 2\sqrt {3 - 4x}  = 7}\end{array}} \right.\)

Từ : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {4{x^2} + 1} \right)x + (y - 3)\sqrt {5 - 2y}  = 0(1)}\\{4{x^2} + {y^2} + 2\sqrt {3 - 4x}  = 7}\end{array}(} \right.\) KA-2011)

\( - {\rm{PT}}(1):4{x^3} + x =  - (y - 3)\sqrt {5 - 2y} (3)\). Đặt \(t = \sqrt {5 - 2y}  \Rightarrow y = \frac{{5 - {t^2}}}{2} \Leftrightarrow  - \left( {\frac{{5 - {t^2}}}{2} - 3} \right)t = \frac{{{t^3} + t}}{2}\)

- Khi đó (2) : \(4{x^3} + x = \frac{{{t^3} + t}}{2} \Leftrightarrow {(2x)^3} + 2x = {t^3} + t\)

- Xét hàm số : \({\rm{f}}({\rm{u}}) = {u^3} + u \Rightarrow {f^\prime }(u) = 3{u^2} + 1 > 0\forall u\) suy ra f(u) luôn đồng biến . Do đó để \({\rm{f}}({\rm{x}}) = {\rm{f}}({\rm{t}})\) chỉ xảy ra khi :

 \(2{\rm{x}} = {\rm{t}} \Leftrightarrow 2x = \sqrt {5 - 2y}  \Leftrightarrow 4{x^2} = 5 - 2y \Leftrightarrow 2y = 5 - 4{x^2}(4)\)

- Thay vào (2) \(:g(x) = 4{x^2} + {\left( {\frac{{5 - 4{x^2}}}{2}} \right)^2} + 2\sqrt {3 - 4x}  - 7 = 0\quad :x \in \left[ {0;\frac{3}{4}} \right]\).Ta thấy \({\rm{x}} = 0\) và \({\rm{x}} = \frac{3}{4}\) không là nghiệm

\(\begin{array}{l} \cdot {{\rm{g}}^\prime }({\rm{x}}) = 8x - 8x\left( {\frac{5}{2} - 2{x^2}} \right) - \frac{4}{{\sqrt {3 - 4x} }}\\ = 4x\left( {4{x^2} - 3} \right) - \frac{4}{{\sqrt {3 - 4x} }} < 0\forall x \in \left( {0;\frac{3}{4}} \right)\end{array}\)

- Mặt khác : \(g\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\) là nghiệm duy nhấy , thay vào (4) tìm được \({\rm{y}} = 2\).

- Vậy hệ có nghiệm duy nhất : \((x;y) = \left( {\frac{1}{2};2} \right)\)

Bài 7. Giải hệ phương trình : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{{(2x + 1)}^3} + 2x + 1 = (2y - 3)\sqrt {y - 2} }\\{\sqrt {4x + 2}  + \sqrt {2y + 4}  = 6}\end{array}} \right.\)

Giải :

Từ :. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{{(2x + 1)}^3} + 2x + 1 = (2y - 3)\sqrt {y - 2} (1)}\\{\sqrt {4x + 2}  + \sqrt {2y + 4}  = 6}\end{array}} \right.\)

- Điều kiện : \(y \ge 2;x \ge  - \frac{1}{2}(*)\)

- Đặt: Từ (2) : \(4x + 2y + 6 = 36 \Leftrightarrow 2x + y = 15 \Rightarrow 2x + 1 = 16 - y\)

- Từ (1):Đặt :

\(\sqrt {y - 2}  = t \Rightarrow y = {t^2} + 2 \Leftrightarrow 2y - 3 = 2\left( {{t^2} + 2} \right) - 3 = 2{t^2} + 1\)

- Cho nên vế phải (1) :

\( \Leftrightarrow \left( {2{t^2} + 1} \right)t = 2{t^3} + t \Leftrightarrow (1):2{(x + 1)^3} + (2x + 1) = 2{t^3} + t\)

- Xét hàm số : \(f(u) = 2{u^3} + u \Rightarrow {f^\prime }(u) = 2{u^2} + 1 > 0\forall u \in R\). Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến . Để f(x) = f(t) chỉ xảy ra khi : x= t

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = \sqrt {y - 2} }\\{2x + y = 15}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = \sqrt {y - 2} }\\{15 - y = \sqrt {y - 2} }\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \le 15}\\{{y^2} - 31y + 227 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{31 - \sqrt {53} }}{2}}\\{y = \frac{{31 + \sqrt {53} }}{2} > 15}\end{array}} \right.} \right.\)

- Vậy hệ có nghiệm : \[(x;y) = \left( {\frac{{\sqrt {53}  - 1}}{4};\frac{{31 - \sqrt {53} }}{2}} \right)\]

Bài 8: Giải hệ phương trình : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\left( {{x^3} + 2x - y - 1} \right) = {x^2}(y + 1)(1)}\\{{y^3} + 4x + 1 + \ln \left( {{y^2} + 2x} \right) = 0(2)}\end{array}} \right.\)

Từ : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\left( {{x^3} + 2x - y - 1} \right) = {x^2}(y + 1)(1)}\\{{y^3} + 4x + 1 + \ln \left( {{y^2} + 2x} \right) = 0(2)}\end{array}} \right.\)

- Điều kiện : \({y^2} + 2x > 0(*)\)

- Phương trình

\(\begin{array}{l}(1): \Leftrightarrow 2\left( {{x^3} + 2x} \right) = 2(y + 1) + {x^2}(y + 1)\\ \Leftrightarrow 2x\left( {{x^2} + 2} \right) = (y + 1)\left( {{x^2} + 2} \right)\end{array}\)

- Do : \({x^2} + 2 > 0 \Rightarrow 2x = y + 1(**)\)

- Thay vào (2):

\(\begin{array}{l}{y^3} + 2(y + 1) + 1 + \ln \left( {{y^2} + y + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow f(y) = {y^3} + 2y + 3 + \ln \left( {{y^2} + y + 1} \right) = 0\end{array}\)

-Ta có : \({f^\prime }(y) = 3{y^2} + 2 + \frac{{2y + 1}}{{{y^2} + y + 1}} > 0\). Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến .

- Mặt khác : \({\rm{f}}( - 1) = 0\), do đó phương trình có nghiệm duy nhất : \(({\rm{x}};{\rm{y}}) = (0; - 1)\)

Bài 9 : Giải hệ phương trình : \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(8x - 3)\sqrt {2x - 1}  - y - 4{y^3} = 0}\\{4{x^2} - 8x + 2{y^3} + {y^2} - 2y + 3 = 0}\end{array}} \right.\]

Từ : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(8x - 3)\sqrt {2x - 1}  - y - 4{y^3} = 0}\\{4{x^2} - 8x + 2{y^3} + {y^2} - 2y + 3 = 0(2)}\end{array}} \right.\)

- Điều kiện : \(x \ge \frac{1}{2}\).

- Từ (1): \((8x - 3)\sqrt {2x - 1}  = y + 4{y^3}(*)\)

- Đặt :

\(\begin{array}{l}t = \sqrt {2x - 1}  \Rightarrow 2x = {t^2} + 1 \Leftrightarrow (8x - 3)\sqrt {2x - 1} \\ = \left[ {4\left( {{t^2} + 1} \right) - 3} \right]t = \left( {4{t^2} + 1} \right)t = 4{t^3} + t\end{array}\)

- Do đó \((*):4{t^3} + t = 4{y^3} + y\)

- Xét hàm số : \({\rm{f}}({\rm{u}}) = 4{u^3} + u \Rightarrow {f^\prime }(u) = 12{u^2} + 1 > 0\forall u \in R\). Chứng tỏ hàm số đồng biến. Do đó phương trình có nghiệm khi :

\({\rm{f}}({\rm{t}}) = {\rm{f}}({\rm{y}}) \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  = y \Leftrightarrow 2x = {y^2} + 1(**)\)

- Thay vào (2):

\(\begin{array}{l}{\left( {{y^2} + 1} \right)^2} - 4\left( {{y^2} + 1} \right) + 2{y^3} + {y^2} - 2y + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {y^4} + 2{y^3} - {y^2} - 2y = 0\end{array}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y\left( {{y^3} + 2{y^2} - y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y(y - 1)\left( {{y^2} + 3y + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow y(y - 1)(y + 2)(y + 1) = 0\end{array}\)

- Vậy: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 0}\\{2x = {y^2} + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 0}\\{x = \frac{1}{2}}\end{array} \to (x;y) = \left( {\frac{1}{2};0} \right),} \right.} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 0}\\{2x = {y^2} + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1}\\{x = 1}\end{array} \to (x;y) = (1;1)} \right.} \right.\]

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y =  - 1}\\{2x = {y^2} + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 0}\\{x = 1}\end{array} \to (x;y) = (1;0),} \right.} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y =  - 2}\\{2x = {y^2} + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y =  - 2}\\{x = \frac{5}{2}}\end{array} \to (x;y) = \left( {\frac{5}{2}; - 2} \right)} \right.} \right.\)

Bài 10. Giải hệ phương trình : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}}} - {2^y} =  - xy - \frac{3}{2}}\\{{{\left( {{x^2}y + 2x} \right)}^2} - 2{x^2}y + 1 - 4x = 0}\end{array}} \right.\)

Từ : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}}} - {2^y} =  - xy - \frac{3}{2}}\\{{{\left( {{x^2}y + 2x} \right)}^2} - 2{x^2}y + 1 - 4x = 0(2)}\end{array}} \right.\)

- Từ

\(\begin{array}{l}(2):{\left( {{x^2}y + 2x} \right)^2} - 2\left( {{x^2}y + 2x} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {\left( {{x^2}y + 2x} \right) - 1} \right]^2} = 0\\ \Rightarrow {x^2}y + 2x = 1 \Leftrightarrow {x^2}y = 1 - 2x\end{array}\)

- Hay : \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{1 - 2x}}{{{x^2}}}(*)}\\{xy = \frac{{1 - 2x}}{x}}\end{array}} \right.\), thay vào (1): \[{2^{\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}}}} - {2^{\frac{{1 - 2x}}{{{x^2}}}}} =  - \left( {\frac{{1 - 2x}}{x}} \right) - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{x}(3)\]

 - Nhận xét : \(\frac{{1 - 2x}}{{{x^2}}} - \frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^2}}} = 1 - \frac{2}{x} = 2\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{x}} \right).\)

Gọi : \(a = \frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2}}},b = \frac{{1 - 2x}}{{{x^2}}} \Rightarrow b - a = 2\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{x}} \right)\)

- Cho nên (3) \( \Leftrightarrow {2^a} - {2^b} = 2(b - a) \Leftrightarrow {2^a} + 2a = {2^b} + 2b\).

- Xét hàm số : \({\rm{f}}({\rm{t}}) = {2^t} + 2t \Rightarrow {f^\prime }(t) = {2^t}\ln 2 + 2 > 0\forall t \in R\). Hàm số đồng biến , vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : \({\rm{a}} = {\rm{b}}\), tức \({\rm{b}} - {\rm{a}} = 0\), hay : \(\frac{1}{2} - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 2\). Thay vào \((*)\) ta tìm được \({\rm{y}} =  - \frac{3}{4} \Rightarrow (x;y) = \left( {2; - \frac{3}{4}} \right)\)

Bài 11 Giải hệ phương trình : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 2y + 1 = 0}\\{(3 - x)\sqrt {2 - x}  - 2y\sqrt {2y - 1}  = 0}\end{array}} \right.\)

Giải

$Ð/\text{K}:x\le 2;y\ge \frac{1}{2}$.

Từ (2)

\(\begin{array}{l}[1 + (2 - x)]\sqrt {2 - x}  = [1 + (2y - 1)]2y\sqrt {2y - 1} \\ \Leftrightarrow {(\sqrt {2 - x} )^3} + \sqrt {2 - x}  = {(\sqrt {2y - 1} )^3} + \sqrt {2y - 1} \end{array}\)

 Ta xét hàm số : \(f(t) = {t^3} + t \Rightarrow {f^\prime }(t) = 3{t^2} + 1 > 0\forall t \in R\).

 Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến trên R.

 Do đó để \(f(\sqrt {2 - x} ) = f(\sqrt {2y - 1} )\), chỉ xảy ra khi :

\(\sqrt {2 - x}  = \sqrt {2y - 1}  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y = 3 - x}\\{x = 3 - 2y}\end{array}} \right.\)

Thay vào

\(\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow {x^3} - (3 - x) + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^3} + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow (x - 1)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0\\ \Rightarrow x = 1;y = 3 - 1 = 2\end{array}\)

 Vậy hệ có nghiệm \(({\rm{x}};{\rm{y}}) = (1;2)\)