Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số, tài liệu bao gồm 14 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số

I) Phương pháp sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số

1. Kiến thức sử dụng:

Định nghĩa: lim u_n = L Û "e > 0, $ N Î N*: " n ³ N Þ | u_n – L| < e

Sử dụng:

- Tiêu chuẩn Cô-si: Dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi e > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m, n ³ N ta có |x_m – x_n| < e .

- Nguyên lý ánh xạ co: Nếu với mọi x, y ta có |f(x) – f(y)| £ q|x – y| với q là hằng số 0 < q < 1  và và {xn} bị chặn thì {xn} hội tụ. Đặc biệt nếu |f(x) £ q < 1|thì ta luôn có điều này.

Ý tưởng chính: Đánh giá |u_n – L| £ q|u_n-1 – L|; q < 1 và |u_n – u_n| £ q|u_n - u_n-1|; q < 1

Phương pháp này thường được dùng khi ta thấy dãy số không tăng, không giảm.

2. Các ví dụ:

Bài 1: Cho dãy số u₁ = \[\frac{1}{3}\] và u_n+1 = \[\frac{1}{2}u_n^2 - 1\]. Tìm giới hạn dãy số?

HD: Chứng minh: - 1 < u_n < 0

Giải phương trình x = \[\frac{1}{2}{x^2} - 1\] Þ x = 1 - \[\sqrt 3 \] = a

Xét \[\left| {{u_n} - a} \right| = \left| {\frac{{u_n^2}}{2} - 1 - \left( {\frac{{{a^2}}}{2} - 1} \right)} \right| = \frac{1}{2}\left| {{u_n} - a} \right|\left| {{u_n} + a} \right| < \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left| {{u_n} - a} \right|\]

Suy ra lim u_n = 1 - \[\sqrt 3 \]

Bài 2. Cho số thực a và dãy số thực (u_n)  xác định bởi:

u₁ = a và u_n+1 = ln(3 + cos u_n + sin u_n) – 2008 với mọi n =1,2,3…

Chứng minh rằng dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn.

HD: Đặt f(x) = ln(3 + cos u_n + sin u_n) – 2008 thì \[f'(x) = \frac{{\cos x - \sin x}}{{3 + \sin x + \cos x}}\]

Từ đó, sử dụng đánh giá \[\left| {\cos x - \sin x} \right| \le \sqrt 2 ;\left| {\cos x + \sin x} \right| \le \sqrt 2 \] ta suy ra \[\left| {f'(x)} \right| \le \frac{{\sqrt 2 }}{{3 - \sqrt 2 }} = q < 1\].

Áp dụng định lý Lagrange với m > n ³ N, ta có:

\[\left| {{u_m} - {u_n}} \right| = \left| {f({u_{m - 1}}) - f({u_{n - 1}})} \right| \le q\left| {{u_{m - 1}} - {u_{n - 1}}} \right| \le ... \le {q^{n - 1}}\left| {{u_{m - n + 1}} - {u_1}} \right|\]

Do dãy (u_n) bị chặn và q < 1 nên dãy (x_n) thoả mãn điều kiện Cauchy nên có giới hạn hữu hạn.

Bài 3: Cho dãy số u₁ = 1 và u_n+1 = \[\frac{1}{{1 + {u_n}}}\]. Tìm giới hạn dãy số?

HD: Chứng minh: 0 < u_n < 1

Giải phương trình x = \[\frac{1}{{1 + x}}\] Þ x = \[\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}\]= a

Xét |u_n+1 – a| = \[\left| {\frac{1}{{1 + {u_n}}} + \frac{1}{{1 + a}}} \right| = \frac{2}{{1 + \sqrt 5 }}\frac{{\left| {{u_n} - a} \right|}}{{\left| {1 + {u_n}} \right|}} < \frac{2}{{1 + \sqrt 5 }}\left| {{u_n} - a} \right|\]

Suy ra lim u_n = \[\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}\]= a

Bài 4: Cho dãy số (u_n) định bởi u₁ Î (1, 2) và u_n+1 = 1 + u_n - \[\frac{{u_n^2}}{2}\].Chứng minh rằng (u_n) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

HD: Chứng minh: rằng 1 < u_n < \[\frac{3}{2}\]

Giải phương trình x = 1 + x - \[\frac{1}{2}\]x² Þ x = \[\sqrt 2 \] = a

Xét

\[\begin{array}{l}\left| {{u_{n + 1}} - a} \right| = \left| {{u_{n + 1}} - \sqrt 2 } \right| = \left| {1 + {u_n} - \frac{{u_n^2}}{2} - \sqrt 2 } \right|\\ = \left| {{u_n} - \sqrt 2 } \right|\left| {\frac{{\sqrt 2  + {u_n} - 1}}{2}} \right| < \left| {\frac{{2\sqrt 2  + 1}}{4}} \right|\left| {{u_n} - \sqrt 2 } \right|\end{array}\]

Suy ra lim u_n = \[\sqrt 2 \]

3. Bài tập tự giải:

Bài 1: Cho dãy số u₁ = 2012 và u_n+1 = \[\frac{1}{{4 - 3{u_n}}}\]. Tìm giới hạn dãy số?

Bài 2: Cho dãy số u₁ = a và u_n+1 = \[\frac{{2012}}{3}\]ln(u_n² + 2012²) – 2012². Chứng minh dã số có giới hạn.

II) Phương pháp sử dụng công thức, tính chất của các dãy số đặc biệt

1. Kiến thức sử dụng:

- Tính chất của các dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân - Các công thức đối với các dãy số quen thuộc:

\[\frac{1}{{n(n + 1)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\]

1 + 2 + 3+ … + n = \[\frac{1}{2}\]n(n + 1)

1² + 2² + 3² + … + n² = \[\frac{1}{6}\]n(n + 1)(2n + 1)

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = \[{\left[ {\frac{{n(n + 1)}}{2}} \right]^2}\]

Ý tưởng chính: Đưa các dãy số về các dãy số quen thuộc 2.

Các ví dụ:

Bài 1: Cho dãy số u_n = \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n(n + 1)}}\]. Tìm giới hạn dãy số?

HD: u_n = \[\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\].

Suy ra lim u_n = 1

Bài 2: Cho dãy số u_n = \[\frac{{{1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {{(2n - 1)}^2}}}{{{2^2} + {4^2} + {6^2} + ... + {{(2n)}^2}}}\]. Tìm giới hạn dãy số?

HD: u_n + 1 = \[ = \frac{{\frac{{2n(2n + 1)(4n + 1)}}{6}}}{{4.\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}}} = \frac{{(4n + 1)}}{{2(n + 1)}}\]

Suy ra lim u_n = 1

Bài 3: Cho dãy số u₁ = 5 và u_n+1 = \[\frac{{5{u_n} + 4}}{{{u_n} + 2}}\]. Tìm giới hạn dãy số?

HD: Chứng minh: u_n ¹ 4

Ta có: u_n+1 – 4 = \[\frac{{{u_n} - 4}}{{{u_n} + 2}}\] Þ \[\frac{1}{{{u_{n + 1}} - 4}} = 1 + \frac{6}{{{u_{n + 1}} - 4}}\]

Xét x_n = \[\frac{1}{{{u_n} - 4}} + \frac{1}{5} \Rightarrow {u_n} = 4 + \frac{5}{{{6^n} - 1}}\]

Suy ra lim u_n = 4

Bài 4: Cho dãy số u₁ = \[\frac{2}{3}\] và u_n+1 = \[\frac{{{u_n}}}{{2(2n + 1){u_n} + 1}}\]. Tìm giới hạn dãy số x_n = \[\sum\limits_{i = 1}^n {{u_n}} \]?

HD: Đặt v_n = \[\frac{1}{{{u_n}}}\] Þ v_n = \[\frac{{(2n - 1)(2n + 1)}}{2}\]

Þ u_n = \[\frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}}\]

Suy ra lim x_n = 1

Bài 5: Cho dãy số u₁ = 1 và u_n+1 = \[\sqrt {u_n^2 + {a^n}} \] (0 < a < 1). Tìm giới hạn dãy số?

HD: Chứng minh: u₁² = 1; u₂² = 1 + a; u₃² = 1 + a + a² + …a^n-1

Suy ra : u_n = \[\frac{{1 - {a^n}}}{{1 - a}}\]

Vậy lim u_n = \[\frac{1}{{\sqrt {1 - a} }}\]

Bài 6: Cho dãy số u₁ = 2011 và u_n-1 = n² (u_n-1 – u_n). Tìm giới hạn dãy số?

HD: Ta có: 0 < u_n = \[\frac{{({n^2} - 1){u_{n - 1}}}}{{{n^2}}}\]< u_n-1

Mặt khác:

u_n = \[\frac{{(n - 1)(n + 1)}}{{{n^2}}}{u_{n - 1}} + \frac{{(n - 1)(n + 1)(n - 2)n}}{{{n^2}{{(n - 1)}^2}}}{u_{n - 2}}\]

\[ = ... = \frac{{n + 1}}{{2n}}{u_1} = \frac{{n + 1}}{{2n}}2011\]

Vậy lim u_n = \[\frac{{2011}}{2}\]

3. Bài tập tự giải:

Bài 1: Cho dãy số u_n = \[\frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + ... + \frac{1}{{n(n + 1)(n + 2)}}\]. Tìm giới hạn dãy số? Bài 2: Cho dãy số u_n = \[\frac{{{1^3} + {3^3} + {5^3} + ... + {{(2n - 1)}^3}}}{{{2^3} + {4^3} + {6^3} + ... + {{(2n)}^3}}}\]. Tìm giới hạn dãy số?

Bài 3: Cho dãy số u_n = \[\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{4^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\]. Tìm giới hạn dãy số? Bài 4: Cho dãy số u₁ = 1 và u_n+1 = \[\sqrt[n]{{u_n^n + {a^n}}}\] ( 0 < a < 1). Tìm giới hạn dãy số?

III) Phương pháp sử dụng định lí kẹp

1. Kiến thức sử dụng:

- Định lí kẹp

v_n < u_n < w_n " n Î N* : lim v_n = a Þ lim u_n = a

Ý tưởng chính: Đánh giá dãy số qua hai dãy số tính được giới hạn

2. Các ví dụ:

Bài 1: Cho dãy số u_n = \[\frac{{{1^1} + {2^2} + {3^3} + ... + {n^n}}}{{{n^{n + 2}}}}\]. Tìm giới hạn dãy số?

HD: 0 < u_n = \[\frac{{{1^1} + {2^2} + {3^3} + ... + {n^n}}}{{{n^{n + 2}}}} < \frac{{n.{n^n}}}{{{n^{n + 2}}}} = \frac{1}{n} \to 0\]

Suy ra lim u_n = 0

Bài 2: Cho dãy số u_n = \[\frac{{1.3.5.7... + (2n - 1)}}{{2.3.6.8...(2n)}}\]. Tìm giới hạn dãy số?

HD:

\[\begin{array}{l}0 < {u_n} = \frac{{1.3.5.7... + (2n - 1)}}{{2.3.6.8...(2n)}}\\ < \frac{{1.3.5.7... + (2n - 1)}}{{\sqrt {1.3} \sqrt {3.5} \sqrt {5.7} ...\sqrt {(2n - 1)(2n + 1)} }} = \frac{1}{{\sqrt {(2n + 1)} }} \to 0\end{array}\]

Suy ra lim u_n = 1.

Bài 3: Cho dãy số u_n = \[\sqrt[n]{n}\]. Tìm giới hạn dãy số?

HD. Ta có:

1 < u_n =\[\sqrt[n]{n}\]= \[\sqrt[n]{{1.1...1.\sqrt n \sqrt n }}\]

\[ \le \frac{{1 + 1 + ... + 1 + \sqrt n \sqrt n }}{n} = \frac{{n - 2 + 2\sqrt n }}{n} < 1 + \frac{2}{{\sqrt n }} \to 1\]

Suy ra lim u_n = 1

Bài 4: Cho dãy số \[{u_n} = \frac{n}{{{n^2} + 1}} + \frac{n}{{{n^2} + 2}} + ... + \frac{n}{{{n^2} + n}}\]. Tìm giới hạn dãy số?

HD: Ta có:

\[\begin{array}{l}{u_n} = n.\frac{n}{{{n^2} + n}} \le {u_n} \le n.\frac{n}{{{n^2} + 1}}\\ \Leftrightarrow 1 \leftarrow \frac{n}{{{n^2} + n}} \le {u_n} \le \frac{n}{{{n^2} + 1}} \to 1\end{array}\]

Suy ra lim x_n = 1

Bài 5: Cho phương trình x²ⁿ⁺¹ = x² + x + 1. Chứng minh rằng phương trình có duy nhất 1 nghiệm dương x_n . Tìm giới hạn dãy số x_n ?

HD: Ta chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm thuộc (1;2) bằng tính chất hàm số liên tục và chứng minh dãy số x_n là dãy số giảm.

Ta có

 \[\begin{array}{l}1 < {x_n} = \sqrt[{2n + 1}]{{x_n^2 + {x_n} + 1}} \le \frac{{1 + 1 + ... + 1 + x_n^2 + {x_n} + 1}}{{2n + 1}}\\ = \frac{{2n + 1 + x_n^2 + {x_n}}}{{2n + 1}} < \frac{{2n + 1 + 6}}{{2n + 1}} = 1 + \frac{6}{{2n + 1}} \to 1\end{array}\]

Suy ra lim x_n = 1

3. Bài tập tự giải:

Bài 1: Cho dãy số u_n = \[\frac{{{2^n}}}{{n!}}\]. Tìm giới hạn dãy số?

Bài 2: Cho dãy số u_n = \[\sqrt[n]{{1 + {a^n}}}\]. Tìm giới hạn dãy số?

Bài 3: Cho dãy số u_n = \[\frac{{1 + {2^2} + ... + {n^n}}}{{{n^n}}}\]. Tìm giới hạn dãy số?

IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn 1. Kiến thức sử dụng:

 - Định lí: Dãy số tăng bị chặn trên (giảm bị chặn dưới) thì tồn tại giới hạn

Ý tưởng chính:

Chứng minh dãy số đơn điệu

Chứng minh dãy số bị chặn

Giải phương trình tìm giới hạn

2. Các ví dụ:

Bài 1: Cho dãy số u₁ = 2008 và u_n+1 = \[\frac{1}{{2008}}\left( {2007{u_n} + \frac{{2008}}{{u_n^{2007}}}} \right)(n \ge 1)\]

Tìm giới hạn dãy số?

HD: Chứng minh:

u_n+1 = \[\frac{1}{{2008}}\left( {2007{u_n} + \frac{{2008}}{{u_n^{2007}}}} \right)\]

\[ = \frac{1}{{2008}}\left( {{u_n} + {u_n} + ...{u_n} + \frac{{2008}}{{u_n^{2007}}}} \right) > \sqrt[{2008}]{{2008}}\]

Ta có  u_n+1 = \[\frac{1}{{2008}}\left( {2007{u_n} + \frac{{2008}}{{u_n^{2007}}}} \right) - {u_n}\]

\[ = \frac{1}{{2008}}\left( {\frac{{2008 - u_n^{2008}}}{{u_n^{2007}}}} \right) < 0\]

Suy ra lim u_n = \[\sqrt[{2008}]{{2008}}\]

bạn đọc.