- Cách 1:

- Cách 2 (phương pháp loại trừ): Từ các định lí ta thấy:

Các dãy ở phương án A,B đều bằng 0, do đó loại phương án A,B

- Cách 1: Dãy ($\frac{1}{3}$)n có giới hạn 0 vì |q| < 1 thì limq_n = 0. Đáp án là D

- Cách 2: Các dãy ở các phương án A,B,C đều có dạng lim qn nhưng |q| > 1 nên không có giới hạn 0, do đó loại phương án A,B,C. Chọn đáp án D

- Cách 1: Chia tử và mẫu của phân tử cho n (n là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), ta được :

- Cách 2: Sử dụng nhận xét:

khi tính lim u_n ta thường chia tử và mẫu của phân thức cho nk (nk là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), từ đó được kết quả:

Nếu m < p thì lim u_n =0. Nếu m =p thì lim u_n=$\frac{am}{bp}$

Nếu m > p thì lim un= +∞ nếu am.bp > 0; lim u_n= -∞ nếu am.bp < 0

Vì tử và mẫu của phân thức đã cho đều có bậc 1 nên kết quả

- Cách 1: Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức nên kết quả :

- Cách 1: Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức lớn hơn bậc của mẫu thức, hệ số luỹ thừa bậc cao nhất của n cả tử và mẫu là số dương nên kết quả :

Chia cả tử thức và mẫu thức cho $\sqrt{n}$

Trước hết tính :

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 bằng ?

Bài 2 bằng ?

Bài 3 Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,32111... được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản $\frac{a}{b}$, trong đó a, b là các số nguyên dương. Tính a - b

Bài 4 bằng?

Bài 5 Giá trị của  bằng?

Bài 6 Kết quả đúng của  là?

Bài 7 Giá trị của  bằng?

Bài 8 Cho dãy số u_n với . Chọn kết quả đúng của lim u_n là?

Bài 9 Tính giới hạn: 

Bài 10 Giá trị của  bằng?

B. Lý thuyết Giới hạn của dãy số

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=0$ hay u_n → 0 khi n → +∞.

Ví dụ 1. Cho dãy số (u_n) với ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\frac{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}}}{{\mathrm{n}}^2}$. Tìm giới hạn dãy số

Giải

Xét $\left|{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right|=\left|\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}\right|=\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}$

Với n > 10 n² > 10² = 100

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left|{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right|=\left|\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}\right|=\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}<\frac{1}{100} \\ \Rightarrow \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=0 \end{gathered}$$

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (v_n) có giới hạn là a (hay v_n dần tới a) khi n → +∞ nếu $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}-\mathrm{a}\right)=0$

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ hay v_n → a khi n → +∞.

Ví dụ 2. Cho dãy số ${\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\frac{-\mathrm{n}-1}{3+2\mathrm{n}}$. Chứng minh rằng $\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\frac{-1}{2}$.

Giải

Ta có $\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{2}\right)=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\left(\frac{-\mathrm{n}-1}{3+2\mathrm{n}}+\frac{1}{2}\right)$$=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }=\frac{1}{2\left(3+2\mathrm{n}\right)}=0$

Do đó: $\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\frac{-1}{2}$.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\mathrm{n}}=0,\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}}=0$ với k nguyên dương;

b) $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}$ nếu |q| < 1;

c) Nếu u_n = c (c là hằng số) thì $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c}$.

Chú ý: Từ nay về sau thay cho $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ ta viết tắt là lim u_n = a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì

lim (u_n + v_n) = a + b

lim (u_n – v_n) = a – b

lim (u_n.v_n) = a.b

$\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ (nếu $\mathrm{b}\ne 0$)

Nếu ${\text{u}}_{\mathrm{n}}\ge 0$ với mọi n và limu_n­ = a thì:

$\lim \sqrt{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}=\sqrt{\mathrm{a}}$ và $\mathrm{a}\ge 0.$

Ví dụ 3. Tính $\lim \left({\mathrm{n}}^2-\frac{2}{\mathrm{n}+1}\right)$

Giải

$$\begin{gathered} \lim \left({\mathrm{n}}^2-\frac{2}{\mathrm{n}+1}\right) \\ =\lim \frac{{\mathrm{n}}^3+{\mathrm{n}}^2-2}{\mathrm{n}+1} \\ =\lim \frac{1+\frac{1}{\mathrm{n}}-\frac{2}{{\mathrm{n}}^3}}{\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}} \\ =\lim \left(1+\frac{1}{\mathrm{n}}-\frac{2}{{\mathrm{n}}^3}\right): \\ \lim \left(\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}\right) \\ =\left(\lim 1+\lim \frac{1}{\mathrm{n}}-\lim \frac{2}{{\mathrm{n}}^3}\right): \\ \left(\lim \frac{1}{{\mathrm{n}}^2}+\lim \frac{1}{{\mathrm{n}}^3}\right) \\ =+\infty \end{gathered}$$

Ví dụ 4. Tìm $\lim \frac{\sqrt{2+9{\mathrm{n}}^2}}{1+4\mathrm{n}}$

Giải

$$\begin{gathered} \lim \frac{\sqrt{2+9{\mathrm{n}}^2}}{1+4\mathrm{n}} \\ =\lim \frac{\sqrt{{\mathrm{n}}^2\left(\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}+9\right)}}{\mathrm{n}\left(\frac{1}{\mathrm{n}}+4\right)} \\ =\lim \frac{\mathrm{n}\sqrt{\left(\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}+9\right)}}{\mathrm{n}\left(\frac{1}{\mathrm{n}}+4\right)} \\ =\lim \frac{\sqrt{\left(\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}+9\right)}}{\frac{1}{\mathrm{n}}+4} \\ =\frac{3}{4}. \end{gathered}$$

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

$$\begin{gathered} \mathrm{S}={\mathrm{u}}_1+{\mathrm{u}}_2+{\mathrm{u}}_3+...+{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}+... \\ =\frac{{\mathrm{u}}_1}{1-\mathrm{q}}\left(\left|\mathrm{q}\right|<1\right) \end{gathered}$$

Ví dụ 5. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $1;-\frac{1}{2};\frac{1}{4};-\frac{1}{8};...;{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{n}-1};...$

Giải

Ta có dãy số $1;-\frac{1}{2};\frac{1}{4};-\frac{1}{8};...;{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{n}-1};...$ là một số cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $\mathrm{q}=-\frac{1}{2}$.

Khi đó ta có:

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u_n = +∞ hay u_n → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (u_n) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–u_n) = +∞.

Kí hiệu: lim u_n = –∞ hay u_n → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: u_n = +∞ ⇔ lim(–u_n) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim n^k = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qⁿ = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = ±∞ thì $\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=0$

b) Nếu lim u_n = a > 0, lim v_n = 0 và v_n > 0, ∀ n > 0 thì $\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=+\infty$

c) Nếu lim u_n = +∞ và lim v_n = a > 0 thì ${\mathrm{limu}}_{\mathrm{n}}.{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=+\infty$

Ví dụ 6. Tính $\lim \left(2^{\mathrm{n}}+\frac{1}{\mathrm{n}}\right)$.

Giải

$\lim \left(2^{\mathrm{n}}+\frac{1}{\mathrm{n}}\right)=\lim 2^{\mathrm{n}}+\lim \frac{1}{\mathrm{n}}$

Vì $\lim 2^{\mathrm{n}}=+\infty$ và $\lim \frac{1}{\mathrm{n}}=0$

$\Rightarrow \lim \left(2^{\mathrm{n}}+\frac{1}{\mathrm{n}}\right)=+\infty$