Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tài liệu tự học hàm số liên tục, tài liệu bao gồm 27 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu bao gồm những nội dung dung chính sau:

Giới hạn

Liên tục

Giới hạn

Tài liệu tự học hàm số liên tục

Bài 3. Hàm số liên tục

A. Tóm tắt lý thuyét

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

- Giả sử hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng (a,b) và \({x_0} \in (a;b)\). Hàm số y = f(x) gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\).

- Hàm số không liên tục tại điểm \({x_0}\) gọi là gián đoạn tại \({x_0}\).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn

- Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a,b). Ta nói rằng hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

- Hàm số y = f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a,b) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b).\)

Nhận xét:

- f(x) và g(x) liên tục tại điểm \({x_0}\) thì các hàm số \(f(x) \pm g(x),f(x) \cdot g(x)\), c.f(x) (với c là hằng số) đều liên tục tại điểm \({x_0}\).

- Hàm số đa thức liên tục trên \(\mathbb{R}\). Hàm số phân thức và lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

3. Tính chất của hàm số liên tục

- Định lý về giá trị trung gian: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b]. Nếu \(f(a) \ne f(b)\) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a), f(b) tồn tại ít nhất một điểm \(c \in (a;b)\) thoả mãn f(c) = M.

- Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b] và M là một số thực nằm giữa f(a), f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại ít nhất một điểm có hoành độ \(c \in (a;b)\).

- Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b] và \(f(a).f(b) < 0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c \in (a;b)\) sao cho f(c) = 0. Ta thường vận dụng theo hai hướng sai:

+ Vận dụng chứng minh phương trình có nghiệm: "Nếu hàm số y= f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và \(f(a).f(b) < 0\) thì phương trình f(c) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng \((a;b){\rm{ ''}}\).

+ Vận dụng trong tương giao đồ thị: "Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và \(f(a) \cdot f(b) < 0\) thì đồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ \(c \in (a;b)\) " .

B. Dạng toán và bài tập

Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Phương pháp giải

Hàm số liên tục tại điểm \(x = {x_0}\)  khi \(f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) hoặc \(f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)\)

Ví dụ

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}}&{\rm{ }}\\{4x - 7}&{}\end{array}} \right.\)\(\begin{array}{l}{\rm{khi }}x \ne 2\\{\rm{khi }}x = 2\end{array}\)

tại điểm \({x_0} = 2\).

Lời giải

Ta có \(f\left( {{x_0}} \right) = f(2) = 4.2 - 7 = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(x - 1)}}{{x - 2}} = 1\)

Suy ra \(f(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)\) nên hàm số f(x) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{{x - 1}}{\rm{\;}}}\\{\frac{1}{3}{\rm{\;}}}\end{array}} \right.\]\[\begin{array}{l}{\rm{khi\;}}x \ne 1\\{\rm{khi\;}}x = 1\end{array}\]

tại điểm \({x_0} = 1\)

Lời giải

Ta có \(f\left( {{x_0}} \right) = f(1) = \frac{1}{3}\).

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{(x - 1)(\sqrt {x + 3}  + 2)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} = \frac{1}{4}\end{array}\)

Suy ra \(f(1) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\) nên hàm số \(f(x)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\) (hay gián đoạn tại điểm \({x_0} = 1\) ).

Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x + 3}&{}\\{\frac{{1 - \sqrt {2x - 3} }}{{2 - x}}}&{}\end{array}} \right.\)\(\begin{array}{l}{\rm{ khi }}x \le 2\\{\rm{ khi }}x > 2\end{array}\)

 tại điểm \({x_0} = 2\)

ĐS: Liên tục

Lời giải

Ta có \(f\left( {{x_0}} \right) = f(2) = {2^2} - 3.2 + 3 = 1\)

Suy ra \(f(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\) nên hàm số f(x) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}}}&{}\\{2x + 12}&{}\end{array}} \right.\]\(\begin{array}{l}{\rm{ khi }}x > 3\\{\rm{ khi }}x \le 3\\\end{array}\)

 tại điểm \({x_0} = 3\).

ĐS: Không liên tục

Lời giải

Ta có \(f\left( {{x_0}} \right) = f(3) = 18\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} (2x + 12)\\ = 18\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{(x - 3)(x + 3)(\sqrt {x + 1}  + 2)}}{{x - 3}}\end{array}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} (x + 3)(\sqrt {x + 1}  + 2) = 24\)

Suy ra \(f(3) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x)\) nên hàm số f(x) không liên tục tại điểm \({x_0} = 3\).

Ví dụ 5. Xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{3}{4}}&{\rm{ }}\\{\frac{{3{x^3} - 6{x^2} - 3x + 6}}{{3{x^2} - 14x + 11}}}&{}\end{array}} \right.\)\(\begin{array}{l}{\rm{khi }}x = 1\\{\rm{khi }}x < 1\end{array}\)

 điểm \({x_0} = 1.\)

ĐS: Liên tục

Lời giải

Ta có \(f\left( {{x_0}} \right) = f(1) = \frac{3}{4}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3{x^3} - 6{x^2} - 3x + 6}}{{3{x^2} - 14x + 11}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{(x - 1)\left( {3{x^2} - 3x - 6} \right)}}{{(x - 1)(3x - 11)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3{x^2} - 3x - 6}}{{3x - 11}} = \frac{3}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1 - \sqrt {x + 3} }}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{{(x - 1)}^2} - (x + 3)}}{{(x - 1)(x + 1 + \sqrt {x + 3} )}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 2}}{{x + 1 + \sqrt {x + 3} }} = \frac{3}{4}\end{array}\)

Suy ra \(f(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)\) nên hàm số f(x) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Ví dụ 6. Xét tính liên tục của hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2\cos 5x \cdot \cos 3x - \cos 8x - 1}}{{{x^4} + {x^2}}}{\rm{\;}}}\\{2{\rm{\;}}}\end{array}} \right.\]\[\begin{array}{l}{\rm{khi\;}}x \ne 0\\{\rm{khi\;}}x = 0\\\end{array}\]

Tại điểm \({x_0} = 0\).

ĐS: Không liên tục

Lời giải

Ta có \(f\left( {{x_0}} \right) = f(0) = 2\)

Suy ra \(f(0) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)\) nên hàm số \(f(x)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 0\) (hay gián đoạn tại điểm \({x_0} = 0\) ).

Ví dụ 7. Tìm a để hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^3} + 2{x^2} - 5x - 6}}{{{x^3} - 4x}}}\\{\frac{1}{8}(a + x){\rm{\;}}}\end{array}} \right.\]\[\begin{array}{l}{\rm{khi\;}}x \ne 2\\{\rm{khi\;}}x = 2\end{array}\]

liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

ĐS: \(a = 13\)

Lời giải

Ta có \(f(2) = \frac{1}{8}(a + 2)\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} + 2{x^2} - 5x - 6}}{{{x^3} - 4x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)}}{{x(x - 2)(x + 2)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x(x + 2)}} = \frac{{15}}{8}\end{array}\)

Hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 2 \Leftrightarrow f(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) \Leftrightarrow \frac{1}{8}({\rm{a}} + 2) = \frac{{15}}{8} \Leftrightarrow a = 13\).

Ví dụ 8. Tìm m để hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{2\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{\sqrt {x + 2}  - x}}}&{}\\{\sqrt {m + 2}  + m - 10x}&{}\end{array}} \right.\)\(\begin{array}{l}{\rm{ khi }}x > 2\\{\rm{ khi }}x \le 2\end{array}\)

 liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

ĐS: m= 2

Lời giải

Ta có \(f(2) = \sqrt {m + 2}  + m - 20\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{\sqrt {x + 2}  - x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3(x - 2)(x + 2)(\sqrt {x + 2}  + x)}}{{x + 2 - {x^2}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3(x - 2)(x + 2)(\sqrt {x + 2}  + x)}}{{ - (x + 1)(x - 2)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3(x + 2)(\sqrt {x + 2}  + x)}}{{ - (x + 1)}} =  - 16\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (\sqrt {m + 2}  + m - 10x) = \sqrt {m + 2}  + m - 20\)

Hàm số \(f(x)\) liên tục tại điểm

 \(\begin{array}{l}{x_0} = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)\\ = f(2) \Leftrightarrow \sqrt {m + 2}  + m - 20 =  - 16\end{array}\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {m + 2}  = 4 - m\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 4}\\{{m^2} - 9m + 14 = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 4}\\{m = 2 \vee m = 7}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow m = 2\end{array}\)

2) bài tập áp dụng

Bài 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra:

1. \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {{x^2} - 3}  - 1}}{{x - 2}}}&{}\\{2x - 2}&{}\end{array}} \right.\)\(\begin{array}{l}{\rm{ khi }}x \ne 2\\{\rm{ khi }}x = 2\end{array}\) tại điểm \({x_0} = 2.\)

Đs: Liên tục

2. \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{2 - 7x + 5{x^2} - {x^3}}}{{{x^2} - 3x + 2}}}&{}\\1&{}\end{array}} \right.\)\(\begin{array}{l}{\rm{ khi }}x \ne 2\\{\rm{ khi }}x = 2\end{array}\) tại điểm \({x_0} = 2\).

Đs: Liên tục

3. \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{ - x - 1}}}&{}\\{{x^2} + 2x}&{}\end{array}} \right.\) \(\begin{array}{l}{\rm{ khi }}x \ne  - 1\\{\rm{ khi }}x =  - 1\end{array}\)tại điểm \({x_0} =  - 1\).

Đs: Liên tục

Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra:

1. \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{3{x^2} - 2x - 1}}{{x - 1}}}&{}\\{2x + 2}&{}\end{array}} \right.\)\(\begin{array}{l}{\rm{ khi }}x < 1\\{\rm{ khi }}x \ge 1\end{array}\) tại điểm \({x_0} = 1.\)

Đs: Liên tục

2. \(y = f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{x^2} + x - 2}}}&{}\\{\frac{{\sqrt {x + 1}  + 7}}{3}}&{}\end{array}} \right.\)\(\begin{array}{l}{\rm{ khi }}x > 1\\{\rm{ khi }}x \le 1\end{array}\) tại điểm \({x_0} = 1.\)

Đs: Không liên tục

3. \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^3} - 3x - 4}}{{\sqrt {x + 5}  - 3}}}&{}\\{ - 4x + 46}&{}\end{array}} \right.\)\(\begin{array}{l}{\rm{ khi }}x > 4\\{\rm{ khi }}x \le 4\end{array}\) tại điểm \({x_0} = 4.\quad \)

Đs: Liên tục

Bài 3. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm các hàm số sau liên tục tại các điểm được chỉ ra:

1. \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^3} - 5{x^2} + 7x - 3}}{{{x^2} - 1}}}&{}\\{2m + 1}&{}\end{array}} \right.\) \(\begin{array}{l}{\rm{ khi }}x \ne 1\\{\rm{ khi }}x = 1\end{array}\)tại điểm \({x_0} = 1.\)

Đs: \(m =  - \frac{1}{2}\)

2. \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt {1 + x}  - \sqrt {1 - x} }}{x}{\rm{\;}}}\\{ - 5m + \frac{{4 - x}}{{x + 2}}{\rm{\;}}}\end{array}} \right.\]\[\begin{array}{l}{\rm{khi\;}}x \ne 0\\{\rm{khi\;}}x = 0\end{array}\]liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).

Đs: \(m = \frac{1}{5}\)

3. \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt[3]{{6 + x}} - 2}}{{x - 2}}}\\{2x - m{\rm{\;}}}\end{array}} \right.\]\[\begin{array}{l}{\rm{khi\;}}x \ne 2\\{\rm{khi\;}}x = 2\end{array}\]liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

Đs: \(m = \frac{{47}}{{12}}\)

4. \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt[3]{{12x - 4}} - 2}}{{x - 1}}{\rm{\;}}}\\{\sqrt {{m^2}{x^2} + 8}  + 2mx{\rm{\;}}}\end{array}} \right.\]\[\begin{array}{l}{\rm{khi\;}}x \ne 1\\{\rm{khi\;}}x = 1\end{array}\]liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Đs: m = -1