Hai đường thẳng d1, d2 lần lượt đi qua hai điểm M₁(1; 0; -1), M₂(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương lần lượt là

Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi :

⇔ -5.0 + (a - 2).2 + (2a + 1).4 ≠ 0 ⇔ 10a ≠ 0 ⇔ a ≠ 0

Hai đường thẳng đã cho có hai vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}$(-1; 2; a); $\overrightarrow{u_2}$(a; 1; 2)

Để hai đường thẳng sau vuông góc thì

$\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}$ = -1.a + 2.1 + a.2 = 0 ⇔ a + 2 = 0 ⇔ a = -2

Đường thẳng d đi qua điểm A( 1 ; 1 ;1) ; có một vecto chỉ phương là ( 2 ; -1 ; -1)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}$ = 2.1 + (-1).1 + (-1).1 = 0 và A ∈ (P)

Suy ra, đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P).

Đường thẳng d đi qua điểm M(2 ;3 ;0) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{ud}$ = (4; 1; -5), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{uP}$ = (1; 1; 1). Ta có :

Suy ra đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

Mặt khác d đi qua điểm M(2 ;1 ;-3).

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

x = 2 + t, y = 1 - 9t, z = -3 - 3t

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-2; -2; -4), M(1; 0; 0) . Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, nằm trong mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0 sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất

Bài 2 Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(-2;3;1), vuông góc với trục Ox, đông thời d song song với mặt phẳng: (P): x + 2y - 3z = 0

Bài 3 Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(0;1;-1), nằm trong mặt phẳng (P): x + 2y + z - 1 = 0 và vuông góc với đường thẳng

Bài 4 Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau: (P): x + 2y - z + 1 = 0, (Q): x + y + 2z + 3 = 0

Bài 5 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P): x + y - z + 3 = 0, (Q): 2x - y + 6z - 2 = 0. phương trình chính tắc của đường thẳng d là?

Bài 6 Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(0;1;-1), vuông góc và cắt đường thẳng Δ: x = 1 - 4t, y = t, z = -1 + 4t

Bài 7 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(8; 4; -5) và mặt phẳng 2x + 2y - z + 1 = 0 . Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho AM² + BM² đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 8 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là: (x + 1)² + (y - 4)² + (z + 3)² = 36 . Số mặt phẳng (P) chứa trục Ox và tiếp xúc với mặt cầu (S) là?

Bài 9 Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 1 + at và mặt phẳng (P): 2x + y + z + b = 0 . Tìm a và b để đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)

Bài 10 Trong không gian Oxyz, tọa độ của hình chiếu vuông góc của điểm M(5;2;3) trên mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 1 = 0 là?

B. Lý thuyết Phương tình đường thẳng trong không gian

I. Phương trình tham số của đường thẳng

-  Định lí:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ (x₀ ; y₀; z₀) và nhận vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên đường thẳng ∆ là có số thực t thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{2}t\end{array}\right.$

- Định nghĩa:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ (x₀ ; y₀; z₀) và nhận vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ làm vectơ chỉ phương là $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{2}t\end{array}\right.$

Trong đó, t là tham số.

- Chú ý:

Nếu a₁ ; a₂; a₃ đều khác 0 thì ta có thể viết phương trình ∆ dưới dạng chính tắc như sau:

$\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}$$=\frac{z-z_0}{a_3}$

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2;2) và có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}(1;2;-1)$

Lời giải:

Phương trình tham số của ∆ là: $\left\{\begin{array}{c}x=1+\text{}t\\ y=2+\text{}2t\\ z=2-t\end{array}\right.$

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(0;1; 2); B(2; 2; 1).

Lời giải:

Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}(2;1;-1)$ làm vecto chỉ phương.

Phương trình tham số của AB là: $\left\{\begin{array}{c}x=2\text{}t\\ y=1+\text{}t\\ z=2-t\end{array}\right.$.

II. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau.

1. Điều kiện để hai đường thẳng song song.

 Gọi $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3);$$\overrightarrow{a\text{'}}=(a{\text{'}}_1;a{\text{'}}_2;a{\text{'}}_3)$ lần lượt là vecto chỉ phương của d và d’.

Lấy điểm M(x₀; y₀; z₀) trên d.

Ta có: d song song với d’ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{a\text{'}}\\ M\notin d\text{'}\end{array}\right.$

Đặc biệt: d trùng với d’ khi và chỉ khi: $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{a\text{'}}\\ M\in d\text{'}\end{array}\right.$

Ví dụ 3.  Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song với nhau:

$d:\left\{\begin{array}{c}x=3+\text{}2t\\ y=2-3t\\ z=2+t\end{array}\right.$;$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}d\text{'}:\left\{\begin{array}{c}x=1-\text{}4t\\ y=2+\text{}6t\\ z=-2t\end{array}\right.$

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}(2;-3;1)$ đi qua M(3; 2; 2).

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{v}(-4;6;-2)$

Ta thấy: $\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{u};M\notin d\text{'}$

Do đó, hai đường thẳng trên song song với nhau.

2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau.

- Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t và t’ sau:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_1=x{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_1\\ y_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_2=y{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_2\\ z_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_3=z{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_3\end{array}\right.$ (I)

Có đúng một nghiệm.

- Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t₀ ; t’₀), để tìm giao điểm M₀ của d và d’ ta có thể thay t₀ vào phương trình tham số của d hoặc thay t’₀ vào phương trình tham số của d’.

Ví dụ 4. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

$d:\left\{\begin{array}{c}x=3+\text{}t\\ y=2-t\\ z=2+t\end{array}\right.$;$d\text{'}:\left\{\begin{array}{c}x=3-\text{}t\text{'}\\ y=2+t\text{'}\\ z=3\end{array}\right.$

Lời giải:

Xét hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}3+t=3-t\text{'}\\ 2-t=2+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}\\ 2+\text{}t=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}t=-t\text{'}\\ t=-t\text{'}\\ t=1\end{array}\right. \\ \iff t=1;t\text{'}=-1 \end{gathered}$$

Suy ra, d cắt d’ tại điểm A(4; 1; 3).

3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{a};\overrightarrow{a\text{'}}$ không cùng phương và hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}{x}_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_1=x{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_1\\ y_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_2=y{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_2\\ z_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_3=z{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_3\end{array}\right.$ vô nghiệm.

Ví dụ 5. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

$d:\left\{\begin{array}{c}x=3+\text{}t\\ y=2-3t\\ z=2+t\end{array};\right.$$\hspace{0.17em}d\text{'}:\left\{\begin{array}{c}x=1-\text{}4t\text{'}\\ y=2+\text{}6t\text{'}\\ z=-2t\text{'}\end{array}\right.$

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}(1;-3;1)$

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{a\text{'}}(-4;6;-2)$

Ta thấy, không tồn tại số thực k để $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a\text{'}}$ nên hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{c}3+\text{\hspace{0.17em}}t=1-4t\text{'}\left(1\right)\\ 2-3t=2+6t\text{'}\left(2\right)\\ 2+t=-2t\text{'}\left(3\right)\end{array}\right.$ (I)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được:  t =2; t’ = -1.

Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm.

Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.

- Nhận xét:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{2}t\end{array}\right.$

Xét phương trình A(x₀ + ta₁ ) + B(y₀ + ta₂ ) + C (z₀ + ta₃ ) + D = 0 ( t là ẩn ) (1)

- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (P) không có điểm chung. Vậy d// (P).

- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = t₀ thì d cắt (P) tại điểm M(x₀ + t₀ a₁;y₀ + t₀ a₂; z₀ + t₀ a₃).

- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (P).

Ví dụ 6. Xét vị trí tương đối của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=1+\text{}2t\\ \begin{array}{l}y=-t\\ z=-2+t\end{array}\end{array}\right.$và mặt phẳng (P): 2x – y – z = 0.

Lời giải:
Lấy điểm M(1+ 2t;  -t; -2 + t) thuộc đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được:

2(1+ 2t) – (- t) – (-2+ t) = 0

$\iff$2 + 4t + t + 2 – t  = 0

$\iff$4t + 4 = 0$\iff$t = - 1.

Suy ra đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M( -1; 1; - 3).