Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài tập tự luận và trắc nghiệm nguyên hàm tích phân - Đặng Ngọc Hiển, tài liệu bao gồm 17 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu gồm những nội dung chính sau:

Tích phân

Nguyên hàm

Ứng dụng

Bài tập tự luận và trắc nghiệm nguyên hàm tích phân - Đặng Ngọc Hiển

Nguyên hàm - tích phân -  Ứng dụng

Tích phân

1. Khái niệm tích phân

- Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của f(x) và f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì

 ${\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x={\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

- Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho \(x\), tức là:

 ${\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x={\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{dt}={\int }_a^{b}f\left(u\right)\text{d}u=\dots =F\left(b\right)-F\left(a\right)$

2. Tính chất của tích phân

Giả sử các hàm f, g liên tục trên \(K\) và a, b, c là 3 số bất kì thuộc \(K\). Ta có:

\( \bullet \int_a^a f (x){\rm{d}}x = 0\quad \)

\( \bullet \int_a^b f (x){\rm{d}}x =  - \int_b^a f (x){\rm{d}}x\quad \)

\( \bullet \int_a^b k f(x){\rm{d}}x = k\int_a^b f (x){\rm{d}}x,k \in \mathbb{R}\)

 $•{\int }_a^b\left[f\right(x)\pm g(x\left)\right]\text{d}x={\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x\pm {\int }_a^{b}g\left(x\right)\text{d}x$

 $•{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x={\int }_a^{c}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_c^{b}f\left(x\right)\text{d}x$

Chú ý: \(\int_a^b f (x)g(x){\rm{d}}x \ne \int_a^b f (x){\rm{d}}x \cdot \int_a^b g (x){\rm{d}}x,\int_a^b {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} {\rm{d}}x \ne \frac{{\int_a^b f (x){\rm{d}}x}}{{\int_a^b g (x){\rm{d}}x}}\).

A. Bài tập tự luận

Loại 1. Dùng bảng nguyên hàm, định nghĩa và tính chất

 ${\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x={\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Bài 1: Tính các tích phân sau:

a)${\int }_1^{\sqrt{2}}\left(x^3+2x+1\right)\text{d}x.$

b)${\int }_0^1\left(x^2+x\right)(2x-1)dx$

c)${\int }_1^2\frac{x^3+x}{x^2}\text{d}x$

d)${\int }_0^1\frac{x+1}{2x^2+3x+1}\text{d}x$

Bài 2: Tính các tích phân sau:

a) \(\int_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|} {\rm{d}}x\).

b). \(\int_0^2 {\max } \left\{ {{x^2} - 3x - 1,x - 1} \right\}{\rm{d}}x\)

c) \(\int_0^\pi  {\sqrt {1 + \cos 2x} } dx\)

d) \(\int_0^2 {\min } \left\{ {2{x^2} - x + 1,x + 1} \right\}{\rm{d}}x\)

Loại 2. Dùng phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Giả sủ ta cần tính \(I = \int_a^b f [u(x)]{u^\prime }(x){\rm{d}}x\).

Đặt \(t = u(x){\rm{d}}t = {u^\prime }(x){\rm{d}}x\quad \)

Đổi cận: \(x = a \Rightarrow t = u(a);x = b \Rightarrow t = u(b)\)

Ta có: \(I = \int_{u(a)}^{u(b)} f (t){\rm{d}}x = \left. {F(t)} \right|_{u(a)}^{u(b)}\)

Dạng 2: Giả sử ta cần tính \(I = \int_\alpha ^\beta  f (x){\rm{d}}x = 0.\)

Bài 3: Tính các tích phân sau:

a) \(\int_0^1 {\frac{{{x^3}\;{\rm{d}}x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}} \)

b). \(\int_0^1 x \sqrt {2 - {x^2}} \;{\rm{d}}x\).

c). \(\int_0^1 {{x^3}} \sqrt {1 - {x^2}} \;{\rm{d}}x\)

d) \(\int_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} \ln x}}{x}} dx\)

e) \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + {{\sin }^5}x} \right)}  \cdot \cos x\;{\rm{d}}x\)

 f) \(\int_0^{\ln 2} {\frac{{{e^x}}}{{1 + {e^x}}}} \;{\rm{d}}x\)

g) \(\int_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \)

h) \(\int_0^3 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 3}}} \)

Loại 3. Phương pháp tích phân từng phần

 ${\int }_a^{b}u\text{d}v=u.{\left.v\right|}_a^b-{\int }_a^{b}v\text{d}u$

Dạng: Nhưng chưa tìm được nguyên hàm

Để làm dạng này ta tạm định nghĩa các nhóm hàm sau”

Nhóm hàm logarit \[\left\{ {{{\ln }^n}f(x),\log _a^nf(x)} \right\}\]. ( Chưa có nguyên hàm trong bảng)

Nhóm hàm đa thức: \[f(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \ldots  + {a_n}{x^n}\] .( Có nguyên hàm yếu)

Nhóm hàm lượng giác: [{ sin(ax + b), cos(ax +b). ( Có nguyên hàm trong bảng)

Nhóm hàm mũ: \[\left\{ {{e^{mx + n}},{a^{mx + n}}} \right\}\].( Có nguyên hàm trong bảng)

Phương pháp:

Nhận dạng : Hàm số dưới dấu nguyên hàm có 2 trong 4 nhóm hàm trên nhân với nhau.

Cách giải: ưu tiên nhóm hàm chưa có nguyên  hàm đặt là u, còn lại là dv. Từ đó ta có cách đặt u của dạng nguyên hàm từng phần thường gặp tuân theo câu thần chú sau: Nhất lô – Nhì đa – Tam lượng – Tứ mũ.

Bài 4: Tính các tích phân

a) \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(x + 3)} \sin xdx\)

b) \(\int_0^1 {(x + 3)} {e^{ - x}}dx\).

c) \(\int_1^e {(x + 2)} \ln x\;{\rm{d}}x\).

d) \(\int_0^1 {\left( {{e^{ - 2x}} + x} \right)} {e^x}\;{\rm{d}}x\)

B. Phần bài tập trắc nghiệm

Loại 1. Định nghĩa và tính chất của tích phân

Câu 1. Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x),F(7) = 9,\int_2^7 f (x){\rm{d}}x = 2\) thì giá trị \(F(2)\) bằng?

A. 11 .

B. \( - 7\).

C. 7 .

D. 20 .

Câu 2. Nếu \(f(1) = 2,f(6) = 21,{f^\prime }(x)\) liên tục thì giá trị \(\int_1^6 {{f^\prime }} (x){\rm{d}}x\) bằng ?

A.  23

B. -19

C. 5

D. 19

Câu 3. Nếu \(\int_1^2 f (x){\rm{d}}x = 3,\int_1^5 f (x){\rm{d}}x = 10\) thì giá trị \(\int_2^5 f (x){\rm{d}}x\) bằng ?

A. 7 .

B. 13 .

C. -7.

D. 3 .

Câu 4. Nếu \(\int_0^6 f (x){\rm{d}}x = 20\) thì giá trị \(\int_0^3 f (2x){\rm{d}}x\) bằng ?

A. 40

B. 10

C. 20

D. 24

Câu 5. Nếu \(\int_1^3 f (x){\rm{d}}x = 4,\int_1^3 g (x){\rm{d}}x = 3\) thì giá trị \(\int_1^3 {[3f} (x) - 2g(x)]{\rm{d}}x\) bằng ?

A. 6

B. 7 .

C. 18

D. 22 .

Câu 6. Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên $[a ; b]$. Đẳng thức nào sau đây SAI?

A. \(\int_a^b f (x){\rm{d}}x =  - \int_b^a f (x){\rm{d}}x\).

B. \(\int_a^b k \;{\rm{d}}x = k(b - a);\forall k \in \mathbb{R}\).

C. \(\int_a^b f (x){\rm{d}}x = \int_a^c f (x){\rm{d}}x + \int_c^b f (x){\rm{d}}x;(c \in [a;b])\).

D. \(\int_a^b f (x){\rm{d}}x = \int_b^a f (x){\rm{d}}x\).

Câu 7. Giả sử \(\int_0^1 f (x){\rm{d}}x = 2;\int_1^4 f (x){\rm{d}}x = 3;\int_0^4 g (x){\rm{d}}x = 4\). Khẳng định nào sau đây là SAI?

A. \(\int_0^4 f (x){\rm{d}}x < \int_0^4 g (x){\rm{d}}x\).

B. \(\int_0^4 {[f} (x) - g(x)]{\rm{d}}x = 1\)

C. \(\int_0^4 {[f} (x) + g(x)]{\rm{d}}x = 9\)

D. \(\int_0^4 f (x){\rm{d}}x > \int_0^4 g (x){\rm{d}}x\).

Câu 8. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI?

A. Nếu \(f(x) \ge 0,\forall x \in [a;b]\) thì \(\int_a^b f (x){\rm{d}}x \ge 0\).

B. Nếu \(f( - x) =  - f(x),\forall x \in [ - a;a]\) thì \(\int_{ - a}^a f (x){\rm{d}}x = 0\).

C. , với mọi hàm số \(f(x),g(x)\) liên tục trên [a ; b].

D. Nếu \(\int f (x){\rm{d}}x = F(x) + C,C \in \mathbb{R}\) thì \(\int_{{x_1}}^{{x_2}} f (ax + b){\rm{d}}x = \frac{1}{a}\left[ {F\left( {a{x_2} + b} \right) - F\left( {a{x_1} + b} \right)} \right],a \ne 0\).

Câu 9. Nếu hàm số \(y = f(x)\) xác định, liên tục và không đổi dấu trên [a ; b] thì đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. \(\mathop \smallint \nolimits^b f(x){\rm{d}}x = \mathop \smallint \nolimits^a |f(x)|{\rm{d}}x\).

B. \(\mathop \smallint \nolimits^b f(x){\rm{d}}x =  - \mathop \smallint \nolimits^a |f(x)|{\rm{d}}x\).

C.${\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\pm {\int }_b^a\left|f\right(x\left)\right|\text{d}x$

D. \(\mathop \smallint \nolimits^b |f(x)|{\rm{d}}x = \mathop {|\smallint }\nolimits^a f(x){\rm{d}}x|\)