Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm tích phân và ứng dụng, tài liệu bao gồm 97 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

CHỦ ĐỀ 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Bài 01. Nguyên hàm

1. Định nghĩa

Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng K . Hàm số F’(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) nếu F’( x) =  f (x) với mọi x∈ K.

Nhận xét. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì F (x)+ C, (C ∈ ℝ) cũng là nguyên hàm của f(x).

Ký hiệu: \[\int {f(x)d{\rm{x  =  F(x)  +  C}}} \]

2. Tính chất

\[{\left( {\int {f(x)d{\rm{x}}} } \right)^\prime } = f(x)\]

\[\int {a.f(x)d{\rm{x  =  a}}{\rm{.}}\int {f(x)d{\rm{x}}\,\,(a \in R,\,a \ne 0} } )\]

\(\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]d{\rm{x}}\, = \,} \int {f(x)d{\rm{x}} \pm \int {g(x)d{\rm{x}}} } \)

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

\(\)CÂU HỎI & BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 12

Câu 1. Hàm số f (x) có nguyên hàm trên K nếu:

A. f (x) xác định trên K .

B. f (x) có giá trị lớn nhất trên K .

C. f (x) có giá trị nhỏ nhất trên K .

D. f (x) liên tục trên K .

Lời giải. Nếu hàm số f (x) liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K .

Chọn D.

Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Nếu F (x) là một nguyên hàm bất kỳ của f (x) trên (a; b) thì

\(\int {f(x)d{\rm{x}}\, = \,F(x) + C} \)với C là hằng số.

B. Mọi hàm số liên tục trên khoảng (a ;b) đều có nguyên hàm trên khoảng (a; b).

C. F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên (a;b) ⇔ f’(x)=F (x), ∀x ∈(a;b) .

D.\({\left( {\int {f(x)d{\rm{x}}} } \right)^\prime } = f(x)\).

Lời giải. Chọn C. Sửa lại cho đúng là:

“F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên (a;b) ⇔ F’(x)=f (x), ∀x ∈(a;b)” .

Câu 3. Xét hai khẳng định sau:

1) Mọi hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] đều có đạo hàm trên đoạn đó.

2) Mọi hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

Trong hai khẳng định trên:

A. Chỉ có 1) đúng.

B. Chỉ có 2) đúng.

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Lời giải. Hàm số có đạo hàm tại x₀ thì liên tục tại x₀. Ngược lại hàm số liên tục tại x₀ thì chưa chắc đã có đạo hàm tại x₀ . Chẳng hạn xét hàm số \(f(x) = \left| x \right|\)tại điểm x = 0 . Chọn B.

Câu 4. Trong các khẳng định sau nói về nguyên hàm của một hàm số f (x) xác định trên khoảng D , khẳng định nào là sai?

1) F (x) là nguyên hàm của f (x) trên D nếu và chỉ nếu F’ (x)= f (x), ∀x ∈D.

2) Nếu f (x) liên tục trên D thì f (x) có nguyên hàm trên D .

3) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.

A. Khẳng định 1) sai.

B. Khẳng định 2) sai.

C. Khẳng định 3) sai.

D. Không có khẳng định nào sai.

Lời giải. Chọn D.

Câu 5. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). Giả sử G (x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

 A. F(x) = G(x) trên khoảng (a;b).

 B. G(x) = F(x) - C trên khoảng (a;b), với C là hằng số.

 C. F(x) = G(x) + C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định F(x) và G(x),

C là hằng số.

 D. Cả ba câu trên đều sai.

Lời giải. Vì hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số. Do đó B đúng. Chọn B.

Câu 6. Xét hai khẳng định sau:

1)\(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int {f(x)d{\rm{x}} + } \int {g(x)d{\rm{x}} = F(x) + G(x) + C} \), trong đó F(x) và G(x) tương ứng là nguyên hàm của f(x), g(x).

2) Mỗi nguyên hàm a.f(x) (a ≠ 0) là tích của a với một nguyên hàm của f(x).

Trong hai khẳng định trên:

A. Chỉ có 1) đúng.

B. Chỉ có 2) đúng.

C. Cả hai đều đúng.

 D. Cả hai đều sai.

Lời giải. Chọn C.

Câu 7. Khẳng định nào sau đây là sai?

 A. Nếu \(\int {f(x)d{\rm{x}} = F(x) + C} \)thì \(\int {f(u)du = F(u) + C} \) .

 B. \(\int {k.f(x)d{\rm{x}} = k\int {f(x)d{\rm{x}}} } \)(k là hằng số và k ≠ 0).

 C. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì F(x)= G(x).

 D.\(\int {\left[ {{f_1}(x) + {f_2}(x)} \right]d{\rm{x}} = \int {{f_1}(x)d{\rm{x}} + } } \int {{f_2}(x)d{\rm{x}}} \).

Lời giải. Các nguyên hàm sai khác nhau hằng số nên C là đáp án sai. Chọn C.

Câu 8. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. \(\int 0 \;{\rm{d}}x = C\) (C là hằng số).

B. \(\int {\frac{1}{x}} \;{\rm{d}}x = \ln |x| + C\) (C là hằng số).

C. \(\int {{x^\alpha }} {\rm{d}}x = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C\)(C là hằng số).

D. \(\int {\rm{d}} x = x + C\)(C là hằng số).

Lời giải. Chọn C. Vì kết quả này không đúng với trường hợp α = −1 .

Câu 9. Hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\cos \,x}}\) có nguyên hàm trên khoảng nào với các khoảng đã cho

sau đây?

A. (0;π).

B. \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)

C. (π; 2π).

D. \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)

Lời giải. Hàm số  xác định và liên tục trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên có nguyên hàm trên khoảng này. Chọn B.

Câu 10. Kí hiệu F (y)  là một nguyên hàm của hàm số f (y), biết F(y)=x² +xy+C. Hỏi hàm số f (y) là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. f  (y) = x .

B. f (y) = 3x+y .

C. f (y) = y .

D. f (y) = 2x+y .

Lời giải. Để tìm f (y) ta đi lấy đạo hàm của F(y) theo biến y (tức là bây giờ x đóng vai trò là tham số).

Ta có F’(y)=x. Chọn A.

Câu 11. Kí hiệu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và F(sin² x) xác định thì F(sin2 x) là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

A. \(f\left( {{{\sin }^2}x} \right)\).

B. \(f\left( {{{\cos }^2}x} \right)\).

C. \(2\sin xf\left( {{{\sin }^2}x} \right)\).

D. \(\sin 2xf\left( {{{\sin }^2}x} \right)\).

Lời giải. Theo định nghĩa, ta có \(\int f (x){\rm{d}}x = F(x) + C \leftrightarrow {F^\prime }(x) = f(x)\).

Áp dụng:

\({\left[ {F\left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]^\prime } = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^\prime }{F^\prime }\left( {{{\sin }^2}x} \right) = \sin 2x.f\left( {{{\sin }^2}x} \right)\).

Chọn D.

Câu 12. Xác định \(\int f (x){\rm{d}}x\) biết f(x)=2x+1.

A. \(\int {(2x + 1)} {\rm{d}}x = 2\).

B. \(\int {(2x + 1)} {\rm{d}}x = C\).

C. \(\int {(2x + 1)} {\rm{d}}x = {x^2} + x\).

D. \(\int {(2x + 1)} {\rm{d}}x = {x^2} + x + C\).

Lời giải.

 Chọn D.

Câu 13. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f(x)=(x-3)⁴ ?

A. \(F(x) = \frac{{{{(x - 3)}^5}}}{5} + x\).

B. \(F(x) = \frac{{{{(x - 3)}^5}}}{5}\).

C. \(F(x) = \frac{{{{(x - 3)}^5}}}{5} + 2017\).

D. \(F(x) = \frac{{{{(x - 3)}^5}}}{5} - 1\).

Lời giải. Xét đáp án \({\rm{A}}\), ta có F’(x)=(x-3)⁴+1≠f(x).

 Chọn \({\rm{A}}\).

Cách trắc nghiệm. Ta thấy hàm số F(x) ở các đáp án B, C, D sai khác nhau hằng số nên dùng phương pháp loại suy, ta chọn được được đáp án A.

Câu 14. Kí hiệu F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\) và \(F(1) = \frac{{28}}{{15}}\).

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(F(x) = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{2{x^3}}}{3} + x\).

B. \(F(x) = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{2{x^3}}}{3} + x + C\).

C. \(F(x) = 4x\left( {{x^2} + 1} \right)\).

D. \(F(x) = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{2{x^3}}}{3} + x + 1\).

Lời giải. Ta có \(\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \;{\rm{d}}x = \int {\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{2{x^3}}}{3} + x + C\).

Theo giả thiết \(F(1) = \frac{{28}}{{15}} \to \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1 + C = \frac{{28}}{{15}} \to C = 0\).

 Chọn A.

Câu 15. Tìm hàm số F(x) biết \({F^\prime }(x) = 3{x^2} + 2x + 1\) và đồ thị hàm số y=F(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(e\).

A. \(F(x) = {x^2} + x + e\).

B. \(F(x) = \cos 2x + e - 1\).

C. \(F(x) = {x^3} + {x^2} + x + 1\).

D. \(F(x) = {x^3} + {x^2} + x + e\).

Lời giải. Ta có \(F(x) = \int {\left( {3{x^2} + 2x + 1} \right)} {\rm{d}}x = {x^3} + {x^2} + x + C\).

Đồ thị \(y = F(x)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(e\) nên ta có F(0)=e →C=e.

Vậy \(F(x) = {x^3} + {x^2} + x + e\). Chọn D.

Câu 16. Kí hiệu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=4x-1. Đồ thị hàm số y=F(x) và đồ thị hàm số y=f(x) cắt nhau tại một diểm thuộc trục tung. Tọa độ các điểm chung của hai đồ thị hàm số trên là:

A. \((0; - 1)\).

B. \(\left( {\frac{5}{2};9} \right)\).

C. \((0; - 1)\) và \(\left( {\frac{5}{2};9} \right)\).

D. \((0; - 1)\) và \(\left( {\frac{5}{2};8} \right)\).

Lời giải. Ta có \(F(x) = \int {(4x - 1)} dx - 2{x^2} - x + C\).

Ta có phương trình

\[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in f(x)}\\{M \in F(x)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4.0 - 1 = m}\\{{{2.0}^2} - 0 + C - m}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 1}\\{C =  - 1}\end{array} \Rightarrow F(x) = 2{x^2} - x - 1} \right.\end{array}\]

Hoành độ giao điểm của đồ thì hai hàm số F(x) và f(x) là nghiệm của phương trình

\(\begin{array}{l}2{{\rm{x}}^2} - x - 1 = 4{\rm{x}} - 1 \Leftrightarrow x(2{\rm{x}} - 5) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y =  - 1\\x = \frac{5}{2} \Rightarrow y = 9\end{array} \right.\end{array}\)

Câu 17. Biết rằng \(F(x) = a{x^3} + (a + b){x^2} + (2a - b + c)x + 1\) là một nguyên hàm của  \(f(x) = 3{x^2} + 6x + 2\). Tinh tổng S=a+b+c

A. S=5.

B. S=4.

C. S=3.

D. S=2.

Lời giải. Ta có \(\int {\left( {3{x^2} + 6x + 2} \right)} dx = {x^3} + 3{x^2} + 2x + C\).

Suy ra \(F(x) = {x^3} + 3{x^2} + 2x + 1\).

Đồng nhất ta được \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\a + b = 3\\2{\rm{a}} - b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 2\end{array} \right. \to a + b + c = 5\)

Chọn A.

Câu 18. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{x - 1}}\)và F(2)=1. Tính F(3).

A. F(3)=ln 2-1.

B. F(3)=ln 2+1.

C. \(F(3) = \frac{1}{2}\)

D. \(F(3) = \frac{7}{4}\)

Lời giải.

 Ta có \(\int {\frac{{dx}}{{x - 1}}}  = \ln |x - 1| + C\).

Theo giả thiết \(F(2) = 1 \to \ln |2 - 1| + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\).

Suy ra \(F(x) - \ln \left| {x - 1} \right| + 1 \to F(3) = \ln 2 + 1\)

Chọn B.

Câu 19. Cho hà\({\rm{m}}\) \(y = f(x)\) có đạo hàm \({f^\prime }(x) = \frac{1}{{2x - 1}}\)và f(1)=1. Tính f(5).

A. f(5)=ln2.

B. f(5)=ln3.

C. f(5)=ln2+1.

D. f(5)=ln3+1.

Lời giải.

 Ta có \(f(x) = \int {{f^\prime }} (x)dx = \int {\frac{{dx}}{{2x - 1}}}  = \frac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right| + C\).

Theo giả thiết \(f(1) = 1 \to \frac{1}{2}\ln \left| {2.1 - 1} \right| + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\)

Suy ra \(f(x) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right| + 1 \to f(5) = \frac{1}{2}\ln \left| {2.5 - 1} \right| + 1 = \frac{1}{2}\ln 9 + 1 = \ln 3 + 1.\)

Chọn \({\bf{D}}\).

Câu 20. Tìm hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời \(f'(x) = \frac{{2{\rm{x}} + 3}}{{x + 1}}\)và f(0)=1.

A \(f(x) = {x^2} + \ln \left| {x + 1} \right|\).

B. \(f(x) = 2x + \ln \left| {2x + 1} \right| - 1\).

C. \(f(x) = 2x + \ln \left| {x + 1} \right| + 1\).

D. \(f(x) = x + \ln \left| {x + 1} \right| + 1\).

Lời giải.

Ta có \(\int {\frac{{2x + 3}}{{x + 1}}} dx = \int {\left( {2 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)} dx = 2x + \ln \left| {x + 1} \right| + C\).

Theo giả thiết f(0)=1→2.0+ln |0+1|+C=1→C=1.

Suy ra \(f(x) = 2x + \ln \left| {x + 1} \right| + 1\). Chọn C.