Ta có: x < 0 ⇒ | 4x | = - 4x

Khi đó ta có: A = | 4x | + 2x - 1 = - 4x + 2x - 1 = - 2x - 1

Chọn đáp án C.

Ta có: | 3x + 1 | = 5 ⇔ 

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = { - 2;$\frac{4}{3}$ }

Chọn đáp án C.

Ta có: |2 - 3x| = |5 - 2x| ⇔ 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { - 3;$\frac{7}{5}$ }

Chọn đáp án B.

Phương trình đã cho có nghiệm x = - 1 nên ta có: | 3 + ( - 1 ) | = m ⇔ m = 2.

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Chọn đáp án A.

Phương trình có nghiệm x = 1, khi đó ta có:

| 1 - m | = 2 ⇔ 

Vậy giá trị m cần tìm là m ∈ { - 1;3 }

Chọn đáp án B.

Chọn đáp án A

Chọn đáp án C

Chọn đáp án C

II. Bài tập tự luận có giải

Lời giải

Xét phương trình |x – 3| = 1

TH1: |x – 3| = x – 3 khi x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3

Phương trình đã cho trở thành x – 3 = 1 ⇔ x = 4 (TM)

TH2: |x – 3| = 3 – x khi x – 3 < 0 ⇔ x < 3

Phương trình đã cho trở thành 3 – x = 1 ⇔ x = 2 (TM)

Vậy phương trình |x – 3| = 1 có hai nghiệm x = 2 và x = 4

Nên x = 4 là nghiệm của phương trình |x – 3| = 1

Khẳng định đúng là (2) và (3)

Ta có |2 + 3x| = |4x – 3|

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là x = 

Ta có |5 – 2x| = |x – 1|

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là x = 2

TH1: |3x – 1| = 3x – 1 khi |3x – 1| ≥ 0 ⇔ 3x ≥ 1 ⇔ x ≥ 

Phương trình đã cho trở thành 3x – 1 = x + 4

⇔ 2x = 5 ⇔ x =  (TM)

TH2: |3x – 1| = 1 – 3x khi 3x – 1 < 0 ⇔ x < 

Phương trình đã cho trở thành 1 – 3x = x + 4

Bài 6: Rút gọn các biểu thức:

a) C = |-3x| + 7x – 4 khi x ≤ 0;

b) D = 5 – 4x + |x - 6| khi x < 6.

Lời giải

a) x ≤ 0 nên – 3x ≥ 0 ⇒ |-3x| = -3x

Vậy C = |-3x| + 7x – 4 = -3x + 7x - 4 = 4x - 4

b) x < 6 nên x – 6 < 0 ⇒ |x - 6| = -(x - 6) = 6 - x

Vậy D = 5 – 4x + |x - 6| = 5 – 4x + 6 – x = 11 – 5x

Bài 7: Giải các phương trình:

a) |x + 5| = 3x + 1;

b) |-5x| = 2x + 21.

Lời giải

a) Với x ≥ -5 thì x + 5 ≥ 0 nên |x + 5| = x + 5

x + 5 = 3x + 1 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (thỏa mãn điều kiện x ≥ -5)

Với x < -5 thì x + 5 < 0 nên |x + 5| = - (x + 5) = - x - 5

-x - 5 = 3x + 1 ⇔ 4x = -6 ⇔ x = (không thỏa mãn điều kiện x ≤ -5)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình |x + 5| = 3x + 1 là S = {2}

a) Với x ≥ 0 thì - 5x ≤ 0 nên |-5x| = -(-5x) = 5x

|-5x|= 2x + 21 ⇔ 5x = 2x + 21

⇔ 3x = 21 ⇔ x = 7 (không thỏa mãn điều kiện x ≥0)

Với x < 0 thì – 5x > 0 nên |-5x| = -5x

|-5x|= 2x + 21 ⇔ -5x = 2x + 21

⇔ -7x = 21 ⇔ x = -3 (thỏa mãn điều kiện x < 0)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình |-5x|= 2x + 21 là S = {-3}

Bài 8: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

a) A = 3x + 2 + |5x| trong hai trường hợp: x ≥ 0 và x < 0;

b) B = |-4x| - 2x + 12 trong hai trường hợp: x ≤ 0 và x > 0;

c) C = |x - 4| - 2x + 12 khi x > 5;

d) D = 3x + 2 + |x + 5|.

Ghi nhớ

(Trước khi đi vào lời giải, bạn cần ghi nhớ: Trị tuyệt đối của một số không âm bằng chính nó; Trị tuyệt đối của một số âm bằng số đối của nó.

Ví dụ:

|5x| = 5x khi x ≥ 0

|5x| = -5x khi x < 0)

Lời giải:

(Bài dưới được trình bày dựa theo cách trình bày ở Ví dụ 1 trang 50 sgk Toán 8 Tập 2. Bạn có thể rút gọn nếu bạn thích.)

a) - Khi x ≥ 0 ta có 5x ≥ 0 nên |5x| = 5x

Vậy A = 3x + 2 + 5x = 8x + 2

- Khi x < 0 ta có 5x < 0 nên |5x| = -5x

Vậy A = 3x + 2 - 5x = -2x + 2

b) - Khi x ≤ 0 ta có -4x ≥ 0 (nhân hai vế với số âm) nên |-4x| = -4x

Vậy B = -4x - 2x + 12 = -6x + 12

- Khi x > 0 ta có -4x < 0 nên |-4x| = -(-4x) = 4x

Vậy B = 4x - 2x + 12 = 2x + 12

c) - Khi x > 5 ta có x - 4 > 1 (trừ hai vế cho 4) hay x - 4 > 0 nên |x - 4| = x - 4

Vậy C = x - 4 - 2x + 12 = -x + 8

d) D = 3x + 2 + x + 5 khi x + 5 ≥ 0

hoặc D = 3x + 2 - (x + 5) khi x + 5 < 0

Vậy D = 4x + 7 khi x ≥ -5

hoặc D = 2x - 3 khi x < -5

Bài 9: Giải các phương trình:

a) |2x| = x - 6 ; b) |-3x| = x - 8

c) |4x| = 2x + 12 ; d) |-5x| - 16 = 3x

Lời giải:

a) |2x| = x – 6 (1)

Ta có: |2x| = 2x khi 2x ≥ 0 hay x ≥ 0

|2x| = -2x khi 2x < 0 hay x < 0.

Vậy phương trình (1) tương đương với:

+ 2x = x – 6 với điều kiện x ≥ 0

2x = x – 6 ⇔ x = -6

Giá trị x = -6 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 nên không phải nghiệm của (1)

+ -2x = x – 6 với điều kiện x < 0

-2x = x – 6 ⇔ -3x = -6 ⇔ x = 2.

Giá trị x = 2 không thỏa mãn điều kiện x < 0 nên không phải nghiệm của (1).

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

b) |-3x| = x – 8 (2)

Ta có: |-3x| = -3x khi -3x ≥ 0 hay x ≤ 0.

|-3x| = -(-3x) = 3x khi -3x < 0 hay x > 0.

Vậy phương trình (2) tương đương với:

+ -3x = x – 8 với điều kiện x ≤ 0

-3x = x – 8 ⇔ -4x = -8 ⇔ x = 2

Giá trị x = 2 không thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 nên không phải nghiệm của (2).

+ 3x = x – 8 với điều kiện x > 0

3x = x – 8 ⇔ 2x = -8 ⇔ x = -4.

Giá trị x = -4 không thỏa mãn điều kiện x > 0 nên không phải nghiệm của (2).

Vậy phương trình (2) vô nghiệm.

c) |4x| = 2x + 12 (3)

Ta có: |4x| = 4x khi 4x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

|4x| = -4x khi 4x < 0 hay x < 0.

Vậy phương trình (3) tương đương với:

+ 4x = 2x + 12 với điều kiện x ≥ 0

4x = 2x + 12 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6.

Giá trị x = 6 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 nên là nghiệm của (3)

+ -4x = 2x + 12 với điều kiện x < 0

-4x = 2x + 12 ⇔ -6x = 12 ⇔ x = -2.

Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x < 0 nên là nghiệm của (3).

Vậy phương trình (3) có hai nghiệm x = 6 và x = -2.

d) |-5x| - 16 = 3x (4)

Ta có: |-5x| = -5x khi -5x ≥ 0 hay x ≤ 0.

|-5x| = -(-5x) = 5x khi -5x < 0 hay x > 0.

Vậy phương trình (4) tương đương với:

+ -5x – 16 = 3x với điều kiện x ≤ 0.

-5x – 16 = 3x ⇔ -5x – 3x = 16 ⇔ -8x = 16 ⇔ x = -2.

Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện x ≤ 0 nên là nghiệm của (4).

+ 5x – 16 = 3x với điều kiện x > 0.

5x – 16 = 3x ⇔ 5x – 3x = 16 ⇔ 2x = 16 ⇔ x = 8

Giá trị x = 8 thỏa mãn điều kiện x > 0 nên là nghiệm của (4).

Vậy phương trình (4) có nghiệm x = -2 và x = 8.

Bài 10: Giải các phương trình:

a) |x - 7| = 2x + 3; b) |x + 4| = 2x - 5

c) |x+ 3| = 3x - 1; d) |x - 4| + 3x = 5

Lời giải:

a) |x – 7| = 2x + 3 (1)

Ta có: |x – 7| = x – 7 khi x – 7 ≥ 0 hay x ≥ 7.

|x – 7| = -(x – 7) = 7 – x khi x – 7 < 0 hay x < 7.

Vậy phương trình (1) tương đương với:

+ x – 7 = 2x + 3 khi x ≥ 7

x – 7 = 2x + 3 ⇔ x = -10.

Giá trị x = -10 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 7 nên không phải nghiệm của (1).

+ 7 – x = 2x + 3 khi x < 7.

7 – x = 2x + 3 ⇔ 3x = 4 ⇔ x = $\frac{4}{3}$

Giá trị x = $\frac{4}{3}$ thỏa mãn điều kiện x < 7 nên là nghiệm của (1)

Vậy phương trình (1) có nghiệm x = $\frac{4}{3}$.

b) |x + 4| = 2x – 5 (2)

Ta có: |x + 4| = x + 4 khi x + 4 ≥ 0 hay x ≥ -4.

|x + 4| = -(x + 4) = -x – 4 khi x + 4 < 0 hay x < -4.

Vậy phương trình (1) tương đương với:

+ x + 4 = 2x – 5 khi x ≥ -4

x + 4 = 2x – 5 ⇔ x = 9

Giá trị x = 9 thỏa mãn điều kiện x ≥ -4 nên là nghiệm của (2).

+ -x – 4 = 2x – 5 khi x < -4.

– x – 4 = 2x – 5 ⇔ 3x = 1 ⇔ x = $\frac{1}{3}$

Giá trị x = $\frac{1}{3}$ không thỏa mãn điều kiện x < -4 nên không phải nghiệm của (2)

Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 9.

Vậy phương trình có nghiệm 

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải các phương trình:

a) $|2x|=x-6$

b) $|-3x|=x-8$

c) $|4x|=2x+12$

d) $|-5x|-16=3x$

Bài 2: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

a) $A=3x+2+|5x|$trong hai trường hợp $x\ge 0$và $x<0$

b) $B=|4x|-2x+12$trong hai trường hợp $x\le 0$và $x>0$

c) $C=|x-4|-2x+12$khi $x>5$

d) $D=3x+2+|x+5|$

Bài 3: Giải các phương trình:

a) $|x-7|=2x+3$

b) $|x+4|=2x-5$

c) $|x+3|=3x-1$

d) $|x-4|+3x=5$

Bài 4: Cho $m>n,$chứng minh:

a) $m+2>n+2$

b) $-2m<-2n$

c) $2m–5>2n–5$

d) $4–3m<4–3n$

Bài 5: Kiểm tra xem -2 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:

a) $-3x+2>-5$

b) $10–2x<2$

c) $x^2–5<1$

d) $|x|<3$

e) $|x|>2$

f) $x+1>7–2x$

Bài 6: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) $x–1<3$

b) $x+2>1$

c) $0,2x<0,6$

d) $4+2x<5$

Bài 7: Giải các bất phương trình:

a) $\frac{2-x}{4}<5$                                           

b) $3\le \frac{2x+3}{5}$

c) $\frac{4x-5}{3}>\frac{7-x}{5}$

d) $\frac{2x+3}{-4}\ge \frac{4-x}{-3}$

Bài 8: Giải các bất phương trình:

a) $3–2x>4$

b) $3x+4<2$

c) $(x–3{)}^2<x^2–3$

d) $(x-3)(x+3)<(x+2{)}^2+3$

Bài 9: Tìm x sao cho:

a) Giá trị của biểu thức $5–2x$là số dương

b) Giá trị của biểu thức $x+3$nhỏ hơn giá trị của biểu thức $4x–5$

c) Giá trị của biểu thức $2x+1$không nhỏ hơn giá trị của biểu thức $x+3$

d) Giá trị của biểu thức $x^2+1$không lớn hơn giá trị của biểu thức $(x–2{)}^2$

Bài 10: Trong một cuộc thi đố vui. Ban tổ chức quy định mỗi người dự thi phải trả lời 10 câu hỏi ở vòng sơ tuyển. Mỗi câu hỏi này có sẵn 4 đáp án, nhưng trong đó chỉ có 1 đáp án đúng. Người dự thi chọn đáp án đúng sẽ được 5 điểm, chọn đáp án sai sẽ bị trừ đi 1 điểm. Ở vòng sơ tuyển, Ban tổ chức tặng cho mỗi người dự thi 10 điểm và quy định người nào có tổng số điểm từ 40 trở lên mới được dự thi ở vòng tiếp theo. Hỏi người dự thi phải trả lời chính xác bao nhiêu câu hỏi ở vong sơ tuyển thì mới được dự thi tiếp ở vòng sau?

Bài 11: Giải các phương trình:

a) $|3x|=x+8$

b) $|-2x|=4x+18$

c) $|x–5|=3x$

d) $|x+2|=2x–10$

Bài 12: Giải phương trình |3x - 2| = x² + 2x + 3

Lời giải:

Ta có:

* Nếu x ≥ 2/3 ⇒ PT ⇔ 3x - 2 = x² + 2x + 3 ⇔ x² - x + 5 = 0 pt vô nghiệm

* Nếu x < 2/3 ⇒ PT ⇔ -3x + 2 = x² + 2x + 3 ⇔ x² + 5x + 1 = 0

⇔ x = (-5 ± √21)/2 hai nghiệm này đều thỏa mãn x < 2/3

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = (-5 ± √21)/2

Bài 13: Giải phương trình |x³ - 1| = |x² - 3x + 2|

Lời giải:

Hai về không âm bình phương hai vế ta có

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {1; -1 + √2; -1 - √2}

Bài 14: Giải phương trình

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ 1

Phương trình tương đương

Đặt t = |x - 1 - 3/(x-1)|

Suy ra

Phương trình trở thành t² + 6 = 7t ⇔ t² - 7t + 6 = 0 ⇔ 

Với t = 1 ta có

Với t = 6 ta có

Vậy phương trình có nghiệm là

B. Lý thuyết Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Giá trị tuyệt đối của một số

Giá trị tuyệt đối của số a, ký hiệu là $\left|a\right|$, được định nghĩa là khoảng cách từ số a đến số 0 trên trục số.

Như vậy: $\left|a\right|=a$ khi $a\ge 0$ và $\left|a\right|=-a$ khi $a<0$

Ta cũng có thể viết:   $\left|a\right|=\left\{\begin{array}{l}akhia\ge 0\\ -akhia\le 0\end{array}\right..$

2. Tính chất

Ta luôn có:   $\left|a\right|\ge 0;$        $\left|-a\right|=\left|a\right|;$            ${\left|a\right|}^2=a^2$                

3. Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

a) Giải phươmg trình dạng  $\left|a\right|=\left|b\right|$

Cách giải: Ta có  $\left|a\right|=\left|b\right|\iff \left[\begin{array}{l}a=b\\ a=-b\end{array}\right.$.

b) Giải phương trình dạng   $\left|a\right|=b$

Cách giải: Ta có thể làm theo hai cách sau:

Cách 1: Xét 2 trường hợp 

Trường hợp 1. Với $a\ge 0$ phương trình có dạng  $a=b;$

Trường hợp 2. Với $a<0$ phương trình có dạng   $-a=b.$

Cách 2: Ta có  $\left|a\right|=\left|b\right|\iff \left\{\begin{array}{l}b\ge 0\\ \left[\begin{array}{l}a=b\\ a=-b\end{array}\right.\end{array}\right.$.