Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Lý thuyết và bài tập xét tính đơn điệu của hàm số ôn thi THPTQG, tài liệu bao gồm 38 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Lý thuyết và bài tập xét tính đơn điệu của hàm số ôn thi THPTQG

Chương I: Khảo sát hàm số và ứng dụng

Bài 1: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

I - Lý thuyết

1. Các kiến thức cũ liên quan

1.1 Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản

1. \({c^\prime } = 0\)

2. \({x^\prime } = 1\)

3. \({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n \cdot {x^{n - 1}}(n \in \mathbb{N};n > 1)\)

 4. \({\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n \cdot {u^{n - 1}} \cdot {u^\prime }(n \in \mathbb{N};n > 1)\)

5. \({(\sqrt x )^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }},\forall x > 0\)

6. \({(\sqrt u )^\prime } = \frac{{{u^\prime }}}{{2\sqrt u }},\forall u > 0\)

7. \({\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } =  - \frac{1}{{{x^2}}},\forall x \ne 0\) 

\(8 \cdot {\left( {\frac{1}{u}} \right)^\prime } =  - \frac{{{u^\prime }}}{{{u^2}}},\forall u \ne 0\)

9. \({(k \cdot x)^\prime } = k\)

10. \({(k \cdot u)^\prime } = k \cdot {u^\prime }\)

11. \({(\cos x)^\prime } =  - \sin x\) 

12. \({(\cos u)^\prime } =  - {u^\prime }\sin u\)

13. \({(\sin x)^\prime } = \cos x\)

14. \({(\sin u)^\prime } = {u^\prime } \cdot \cos u\)

15. \({(\tan x)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

16. \({(\tan u)^\prime } = \frac{{{u^\prime }}}{{{{\cos }^2}u}}\)

17. \({(\cot x)^\prime } =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

18. \({(\cot u)^\prime } =  - \frac{{{u^\prime }}}{{{{\sin }^2}u}}\)

\[{\rm{\;19}}{\rm{.\;}}{\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)^\prime } = \frac{{ad - bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}\]

20. \({\left( {\frac{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}}} \right)^\prime } = \frac{{\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right){x^2} + 2\left( {{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}} \right)x + {b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}}}{{{{\left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} \right)}^2}}}\)

1.2 Quy tắc tính đạo hàm

Cho các hàm số \(u = u(x);v = v(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định. Ta có:

1. \({(u + v)^\prime } = {u^\prime } + {v^\prime }\) 3. \({(u.v)^\prime } = {u^\prime }v + {v^\prime }u\)

2. \({(u - v)^\prime } = {u^\prime } - {v^\prime }\)

Mở rộng:

\({\rm{ 1}}{\rm{. }}{\left( {{u_1} \pm {u_2} \pm  \ldots  \pm {u_n}} \right)^\prime } = u_1^\prime  \pm u_2^\prime  \pm  \ldots  \pm u_n^\prime \)

\({\rm{ 2}}{\rm{. }}{(u.v.{\rm{w}})^\prime } = {u^\prime }.v.{\rm{w}} + u.{v^\prime } \cdot {\rm{w}} + u.v.{{\rm{w}}^\prime }\)

Đạo hàm của hàm số họp

Cho hàm số \(y = f(u(x)) = f(u)\) với \(u = u(x)\). Khi đó: \(y_x^\prime  = y_u^\prime  \cdot u_x^\prime \)

1.3 Quy tắc xét dấu :

Để lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x) ta thục hiện theo các bước :

Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P(x), hoặc giá trị của x làm biểu thức P(x) không xác định.

Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.

2. Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).

- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

3. Định lý:

3.1 Điều kiê̂n cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in K\).

- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì \({f^\prime }(x) \le 0,\forall x \in K\).

3.2 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu \({f^\prime }(x) > 0,\forall x \in K\) thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

- Nếu \({f^\prime }(x) < 0,\forall x \in K\) thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

- Nếu \({f^\prime }(x) = 0,\forall x \in K\) thì hàm số không đổi trên khoảng K.

- Chú ý.

- Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết " Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó". Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm \({f^\prime }(x) > 0,\forall x \in K\) trên khoảng (a,b)thì hàm số đồng biến trên đoạn [a ; b]

- Nếu \[f'(x) \ge 0,x \in K\] ( hoặc \[f'(x) \le 0,x \in K{\rm{\;v\`a \;}}f'(x) = 0\]) chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ).

4. Các câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết :

Câu 1. Cho hàm số f(x) đồng biến trên tập số thực \(\mathbb{R}\), mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Với mọi \({x_1} > {x_2} \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).

B. Với mọi \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

C. Với mọi \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).

D. Với mọi \({x_1} < {x_2} \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).

Câu 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a,b). Phát biểu nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số y = f(x)  đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in (a;b)\).

B. Hàm số y = f(x)  đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({f^\prime }(x) < 0,\forall x \in (a;b)\).

C. Hàm số y = f(x)  đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({f^\prime }(x) \le 0,\forall x \in (a;b)\).

D. Hàm số y = f(x)  đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in (a;b)\) và \({f^\prime }(x) = 0\) tại hữu hạn giá trị \(x \in (a;b)\).

Câu 3. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu \({f^\prime }(x) \ge 0\forall x \in (a;b)\) thì hàm số y = f(x)  đồng biến trên (a,b).

B. Nếu \({f^\prime }(x) > 0\forall x \in (a;b)\) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a,b).

C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({f^\prime }(x) \ge 0\forall x \in (a;b)\).

D. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({f^\prime }(x) > 0\forall x \in (a;b)\).

Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \({f^\prime }(x) > 0\forall x \in (0; + \infty )\). Biết \(f(1) = 2\). Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?

A. \(f(2017) > f(2018)\).

B. \(f( - 1) = 2\).

C. \(f(2) = 1\).

D. \(f(2) + f(3) = 4\).

Câu 5. Cho hàm số f(x) có \({f^\prime }(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}\) và \({f^\prime }(x) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc \(\mathbb{R}\). Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Với mọi \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\) và \({x_1} \ne {x_2}\), ta có \(\frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} < 0\).

B. Với mọi \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\) và \({x_1} \ne {x_2}\), ta có \(\frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} > 0\).

C. Với mọi \({x_1},{x_2},{x_3} \in \mathbb{R}\) và \({x_1} < {x_2} < {x_3}\), ta có \(\frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_3}} \right)}} < 0\).

D. Với mọi \({x_1},{x_2},{x_3} \in \mathbb{R}\) và \({x_1} > {x_2} > {x_3}\), ta có \(\frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_3}} \right)}} < 0\).

Câu 6. Cho K là một khoảng và hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Nếu \({f^\prime }(x) = 0,\forall x \in K\) thì hàm số là hàm hằng trên .K

B. Nếu \({f^\prime }(x) > 0,\forall x \in K\) thì hàm số đồng biến trên K.

C. Nếu \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in K\) thì hàm số đồng biến trên K.

D. Nếu \(\mathbb{R}\) thì hàm số nghịch biến trên K.

Câu 7. Cho hàm số f(x) có tính chât \({f^\prime }(x) \ge 0\forall x \in (0;3)\) và \({f^\prime }(x) = 0\quad \forall x \in (1;2)\). Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định Đúng?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (0;3).

B. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (0;1).

C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2,3).

D. Hàm số f(x) là hàm hằng (tức không đổi) trên khoảng (1; 2).

Câu 8. Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên K. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng K thì \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in {\rm{K}}\).

B. Nếu \({f^\prime }(x) > 0,\forall x \in {\rm{K}}\) thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

C. Nếu \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in {\rm{K}}\) thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

D. Nếu \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in {\rm{K}}\) và \({f^\prime }(x) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên \({\rm{K}}\).

Câu 9. Cho hàm số f(x) xác định trên (a,b), với \({x_1},{x_2}\) bất kỳ thuộc (a,b). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({x_1} < {x_2} \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

B. Hàm số f(x) nghịch biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({x_1} < {x_2} \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)\).

C. Hàm số f(x) đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({x_1} > {x_2} \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({x_1} > {x_2} \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).

Câu 10. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} > 0\) với mọi \({x_1},{x_2} \in (a;b)\) và \({x_1} \ne {x_2}\)

B. Hàm số f(x) đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({x_2} > {x_1} \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

C. Nếu hàm số f(x) đồng biến trên (a,b) thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải trên (a,b).

D. Hàm số f(x) đồng biến trên (a,b) thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải trên (a,b).

BẢNG ĐÁP ÁN

1.D  2.D  3.B  4.B  5.A  6.C  7.D  8.C 9.D & 10.C

Lời giải chi tiết

Câu 1. Cho hàm số f(x) đồng biến trên tập số thực \(\mathbb{R}\), mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Với mọi \({x_1} > {x_2} \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).

B. Với mọi \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

C. Với mọi \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).

D. Với mọi \({x_1} < {x_2} \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).

Lời giải

Chọn D.

Theo định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số, ta chọn đáp án D.

Câu 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a,b). Phát biểu nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in (a;b)\).

B. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({f^\prime }(x) < 0,\forall x \in (a;b)\).

C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({f^\prime }(x) \le 0,\forall x \in (a;b)\).

D. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in (a;b)\) và \({f^\prime }(x) = 0\) tại hữu hạn giá trị \(x \in (a;b)\).

Lời giải.

Chọn D.

Câu 3. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu \({f^\prime }(x) \ge 0\forall x \in (a;b)\) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b).

B. Nếu \({f^\prime }(x) > 0\forall x \in (a;b)\) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b).

C. Hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({f^\prime }(x) \ge 0\forall x \in (a;b)\).

D. Hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({f^\prime }(x) > 0\forall x \in (a;b)\).

Lời giải

Chọn B.

Ta có hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b) khi và chỉ khi \({f^\prime }(x) \ge 0\forall x \in (a;b)\), trong đó \({f^\prime }(x) = 0\) tại hữu hạn điểm thuộc (a,b). Do đó phương án A,C,D sai.

Câu 4. Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \({f^\prime }(x) > 0\forall x \in (0; + \infty )\). Biết \(f(1) = 2\). Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?

A. \(f(2017) > f(2018)\).

B. \(f( - 1) = 2\).

C. \(f(2) = 1\).

D. \(f(2) + f(3) = 4\).

Lời giải

Chọn B

Ta có f(x) đồng biến trên \((0; + \infty )\) nên: \(f(2) + f(3) > 2f(1) = 4;f(2) > f(1) = 2;f(2018) > f(2017)\).

Khẳng định có thể xảy ra là \(f( - 1) = 2\).

Câu 5. Cho hàm số f(x) có \({f^\prime }(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}\) và \({f^\prime }(x) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc \(\mathbb{R}\). Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Với mọi \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\) và \({x_1} \ne {x_2}\), ta có \(\frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} < 0\).

B. Với mọi \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\) và \({x_1} \ne {x_2}\), ta có \(\frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} > 0\).

C. Với mọi \({x_1},{x_2},{x_3} \in \mathbb{R}\) và \({x_1} < {x_2} < {x_3}\), ta có \(\frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_3}} \right)}} < 0\).

D. Với mọi \({x_1},{x_2},{x_3} \in \mathbb{R}\) và \({x_1} > {x_2} > {x_3}\), ta có \(\frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_3}} \right)}} < 0\).

Lời giải

Chọn A.

Cho hàm số f(x) có \({f^\prime }(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}\) và \({f^\prime }(x) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc \(\mathbb{R}\). Theo điều kiện đủ thì hàm số nghịch biến do đó

A. Đúng theo định nghĩa hàm số nghịch biến.

B. Sai theo định nghĩa thì khẳng định \({\rm{B}}\) là hàm số ngịch biến.

C. Sai vì không có cơ sở để so sánh được \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)\) và \(f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_3}} \right)\).

D. Sai vì không có cơ sở để so sánh được \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)\) và \(f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_3}} \right)\).

Câu 6. Cho K là một khoảng và hàm số y= f(x) có đạo hàm trên khoảng K. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Nếu \({f^\prime }(x) = 0,\forall x \in K\) thì hàm số là hàm hằng trên K.

B. Nếu \({f^\prime }(x) > 0,\forall x \in K\) thì hàm số đồng biến trên K.

C. Nếu \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in K\) thì hàm số đồng biến trên K.

D. Nếu \(\mathbb{R}\) thì hàm số nghịch biến trên K.

Lời giải

Chọn C.

Vì \({f^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in K\) thì có thể \({f^\prime }(x) = 0,\forall x \in K\). Khi đó f(x) là hàm hằng.

Các khẳng định còn lại đúng theo định lý.

Câu 7. Cho hàm số f(x) có tính chất \({f^\prime }(x) \ge 0\forall x \in (0;3)\) và \({f^\prime }(x) = 0\quad \forall x \in (1;2)\). Hỏi khẳng định nào sau đây là khẳng định Đúng?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (0,3).

B. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (0,1).

C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2,3).

D. Hàm số f(x) là hàm hằng (tức không đổi) trên khoảng (1,2).

Lời giải

Chọn D.

A. SAI do hàm số f(x) là hàm hằng (tức không đổi) trên khoảng (1,2).

B. SAI do hàm số f(x) có thể là hàm hằng (tức không đổi) trên khoảng \(x \ne  - m\).

C. SAI do hàm số f(x) có thể là hàm hằng (tức không đổi) trên khoảng (2,3).

D. Đúng do \({f^\prime }(x) = 0\quad \forall x \in (1;2)\) nên hàm số f(x) là hàm hằng (tức không đổi) trên khoảng (1,2)..