Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tìm số nghiệm của phương tình hàm hợp khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị, tài liệu bao gồm 36 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tìm số nghiệm của phương tình hàm hợp khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị

TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM HỢP KHI BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ

I. Kiến thức cần nhớ

\[f(x) = m\] là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \[y = f(x)\], \[y = m\]. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị \[y = f(x)\], \[y = m\].

\[f(x) = g(x)\]là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \[y = f(x),y = g(x)\]. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị \[y = f(x),y = g(x)\].

II. Các dạng bài tập tương tự

Sử dụng BBT hoặc đồ thị của hàm số \[f(x)\] để tìm số nghiệm thuộc đoạn [a;b] của phương trình \[c.f\left( {g(x)} \right) + d = m\], với \[g(x)\] là hàm số lượng giác.

Sử dụng BBT hoặc đồ thị của hàm số \[f(x)\] để tìm số nghiệm thuộc đoạn [a;b] của phương trình \[c.f\left( {g(x)} \right) + d = m\], với \[g(x)\] là hàm số căn thức, đa thức, …

Sử dụng BBT hoặc đồ thị của hàm số \[f(x)\] để tìm số nghiệm thuộc đoạn [a;b] của phương trình \[c.f\left( {g(x)} \right) + d = m\], với \[g(x)\] là hàm số mũ, hàm số logarit.

Sử dụng BBT hoặc đồ thị của hàm số \[f(x)\] để tìm số nghiệm thuộc đoạn [a;b] của phương trình \[c.f\left( {g(x)} \right) + d = m\], với \[g(x)\]là hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

III. Bài tập mẫu và phương pháp giải toán

Câu 46 - Đề minh họa tốt nghiệp thpt 2020 môn toán

Cho hàm số \[f(x)\] có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\] của phương trình \[f\left( {\sin x} \right) = 1\] là

A. 7 .

B. 4 .

C. 5 .

D. 6 .

1. Dạng toán: Đây là dạng toán sử dụng BBT hoặc đồ thị của hàm số \[f(x)\] để tìm số nghiệm thuộc đoạn [a;b] của PT \[c.f\left( {g(x)} \right) + d = m\].

2. Kiến thức cần nhớ:

Số nghiệm thuộc đoạn [a¢;b¢] của PT \[f(t) = k\] là số giao diểm của đồ thị \[y = f(t)\] và đường thẳng \[y = k\] với t Î[a¢;b¢] ( k là tham số).

3. Hướng giải:

B1: Đặt ẩn phụ \[t = g(x)\]. Với x Î [a;b]  Þ t Î [a¢;b¢]

B2: Với \[c.f\left( {g(x)} \right) + d = m\]Þ \[f(t) = k\].

B3: Từ BBT của hàm số \[y = f(x)\] suy ra BBT của hàm số \[y = f(t)\] để giải bào toán số nghiệm thuộc đoạn [a¢;b¢]  của phương trình \[f(t) = k\].

4. Lời giải chi tiết:

Chọn C

Đặt \[t = \sin x,t \in [ - 1;1]\] thì PT \[f\left( {\sin x} \right) = 1\]  (1) trở thành \[f\left( t \right) = 1\]  (2).

BBT hàm số \[t = \sin x,t \in [ - 1;1]\]:

Dựa vào BBT ta có số nghiệm t Î [−1;1] của PT (1) là 2 nghiệm phân biệt \[{t_1} \in ( - 1;0),{t_2} \in (0;1)\].

Quan sát đồ thị \[y = \sin x\]và hai đường thẳng \[y = {t_1}\] với \[{t_1} \in ( - 1;0)\] và \[y = {t_2}\] với \[{t_2} \in (0;1)\]

Với \[{t_1} \in ( - 1;0)\] thì PT \[\sin x = {t_1}\] có 2 nghiệm \[x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\].

Với \[{t_2} \in (0;1)\]thì PT \[\sin x = {t_2}\] có 3 nghiệm \[x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\].

Vậy số nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\] của phương trình \[f\left( {\sin x} \right) = 1\] là 2 + 3 = 5 nghiệm.

IV. Bài tập tương tự và phát triển

Mức độ 3

Câu 1. Cho hàm số \[y = f(x)\] có đồ thị như hình dưới đây:

Số nghiệm thuộc khoảng (0;p) của phương trình \[f\left( {\sin x} \right) =  - 4\] là

A. 0 .

B. 1.

C. 2 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn C

Xét phương trình: \[f\left( {\sin x} \right) =  - 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \alpha  \in ( - 1;0)}\\{\sin x = \beta  \in (0;1)}\end{array}} \right.\]

Vì xÎ (0;p) Þ \[\sin x \in (0;1]\]. Suy ra với x Î (0;p) thì \[f\left( {\sin x} \right) =  - 4 \Leftrightarrow \sin x = \beta  \in (0;1)\]Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x Î (0;p).

Câu 2. Cho hàm số \[y = f(x)\] liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Phương trình \[f\left( {\cos x} \right) = \frac{{13}}{3}\] có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \[\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\]?

A. 0 .

B. 1.

C. 2 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn C

Đặt \[t = \cos x\], \[x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow t \in (0;1]\].

Phương trình \[f\left( {\cos x} \right) = \frac{{13}}{3}\] trở thành \[f\left( t \right) = \frac{{13}}{3}\].

Dựa vào bảng biến thiên trên ta có phương trình\[f\left( t \right) = \frac{{13}}{3}\] có đúng một nghiệm \[t \in (0;1)\].

Với một nghiệm \[t \in (0;1)\], thay vào phép đặt ta được phương trình \[\cos x = t\] có hai nghiệm phân biệt thuộc thuộc khoảng \[\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\]

Vậy phương trình \[f\left( {\cos x} \right) = \frac{{13}}{3}\]có hai nghiệm phân biệt thuộc thuộc khoảng \[\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\]Câu 3. Cho hàm số \[y = f(x)\] có đồ thị như hình vẽ sau:

Số nghiệm của phương trình \[f\left( {2\sin x} \right) = 1\] trên đoạn [0;2p] là

A. 1.

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn C

Đặt \[t = 2\sin x,t \in [ - 2;2]\].

Xét phương trình \[f(t) = 1\], dựa vào đồ thị ta thấy:

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  - 3(l)}\\{t =  - 2(n)}\\{t =  - 1(n)}\\{t = 5(l)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sin x =  - 2}\\{2\sin x =  - 1}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x =  - 1}\\{\sin x =  - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\]

Với \[\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,x \in [0;2\pi ] \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{2}\].

Với \[\sin x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array},x \in [0;2\pi ] \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{6},\frac{{7\pi }}{{6.}}} \right.\]

Vậy phương trình \[f\left( {2\sin x} \right) = 1\] có 3 nghiệm trên đoạn [0;2p].

Câu 4. Cho hàm số \[f(x)\] có đồ thị như hình vẽ như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn \[\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right]\] của phương trình \[3f\left( {\cos x} \right) + 5 = 0\] là

A. 4 .

B. 7 .

C. 6 .

D. 8 .

Lời giải

Chọn B

Ta có

\[\begin{array}{l}3f\left( {\cos x} \right) + 5 = 0 \Leftrightarrow f\left( {\cos x} \right) =  - \frac{5}{3}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = a \in ( - 2; - 1)}\\{\cos x = b \in ( - 1;0)}\\{\cos x = c \in (0;1)}\\{\cos x = d \in (1;2)}\end{array}} \right.\end{array}\]

Vì \[\cos x \in [ - 1;1]\] nên \[\cos x = a \in ( - 2; - 1)\] và \[\cos x = d \in (1;2)\] vô nghiệm.

Xét đồ thị hàm số \[y = \cos x\] trên \[\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right]\]