Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Lý thuyết cơ bản và bài tập về khối đa diện, tài liệu bao gồm 15 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Lý thuyết cơ bản và bài tập về khối đa diện

CHƯƠNG 0. ÔN TẬP HÌNH KHÔNG GIAN 11

I. Quan hệ song song

1. Hai đường thẳng song song

a. Định nghĩa: \[a//b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a,b \subset (P)}\\{a \cap b = \emptyset }\end{array}} \right.\]

b. Tính chất

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(P) \ne (Q) \ne (R)}\\{(P) \cap (Q) = a}\\{(P) \cap (R) = b}\\{(Q) \cap (R) = c}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a,b,c:dongquy}\\{a//b//c}\end{array}} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(P) \cap (Q) = d}\\{(P) \supset a,(Q) \supset b}\\{a//b}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{d//a//b}\\{d \equiv a(d \equiv b)}\end{array}} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ne b}\\{a//c,b//c}\end{array} \Rightarrow a//b} \right.\]

2. Đường thẳng và mặt phẳng song song

a. Định nghĩa: \[d//(P) \Leftrightarrow d \cap (P) = \emptyset \]

b. Tính chất

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d \not\subset (P),d' \subset (P)}\\{d//d'}\end{array}} \right. \Rightarrow d//(P)\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d//(P)}\\{(Q) \supset d,(Q) \cap (P) = a}\end{array}} \right. \Rightarrow d//a\]

\[\begin{array}{*{20}{c}}{(P) \cap (Q) = d}\\{(P)//a,(Q)//a}\end{array} \Rightarrow d//a\]

3. Hai mặt phẳng song song

a. Định nghĩa: \[(P)//(Q) \Leftrightarrow (P) \cap (Q) = \emptyset \]

b. Tính chất

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(P) \supset a,b}\\{a \cap b = M}\\{a//(Q),b//(Q)}\end{array} \Rightarrow (P)//(Q)} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(P) \ne (Q)}\\{(P)//(R)}\\{(Q)//(R)}\end{array} \Rightarrow (P)//(Q)} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(Q)//(R)}\\{(P) \cap (Q) = a}\\{(P) \cap (R) = b}\end{array} \Rightarrow a//b} \right.\]

4. Chứng minh quan hệ song song

a. Chứng minh hai đường thẳng song song

Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý Talet đảo, …)

Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.

Áp dụng các định lí về giao tuyến song song.

b. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh d // (P), ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d’ nào đó nằm trong (P).

c. Chứng minh hai mặt phẳng song song

Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.

II. Quan hệ vuông góc

1. Hai đường thẳng vuông góc

a. Định nghĩa: \[a \bot b \Leftrightarrow \left( {\widehat {a,b}} \right) = {90^0}\]

b. Tính chất:

Giả sử \[\overrightarrow u \] là VTCP của a, \[\overrightarrow v \] là VTCP của b. Khi đó \[a \bot b \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b//c}\\{a \bot c}\end{array}} \right. \Rightarrow a \bot b\]

2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

a. Định nghĩa: \[d \bot (P) \Leftrightarrow d \bot a,\forall a \subset (P)\]

b. Tính chất

Điều kiện để đường thẳng mặt phẳng:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a,b \subset (P),a \cap b = O}\\{d \bot a,d \bot b}\end{array}} \right. \Rightarrow d \bot (P) \Leftrightarrow d \bot a,\forall a \subset (P)\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a//b}\\{(P) \bot a}\end{array}} \right. \Rightarrow (P) \bot b\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(P)//(Q)}\\{a \bot (P)}\end{array}} \right. \Rightarrow a \bot (Q)\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a//(P)}\\{b \bot (P)}\end{array}} \right. \Rightarrow b \bot a\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ne b}\\{a \bot (P),b \bot (P)}\end{array}} \right. \Rightarrow a//b\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(P) \ne (Q)}\\{(P) \bot a,(Q) \bot a}\end{array}} \right. \Rightarrow (P)//(Q)\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \not\subset (P)}\\{a \bot b,(P) \bot b}\end{array}} \right. \Rightarrow a//(P)\]

Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Định lý ba đường vuông góc

Cho \[a\not  \bot (P),b \subset (P)\] , \[a'\]là hình chiếu của a trên (P). Khi đó \[b \bot a \Leftrightarrow  \bot a'\]

3. Hai mặt phẳng vuông góc

a. Định nghĩa: \[(P) \bot (Q) \Leftrightarrow \left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = {90^0}\]

b. Tính chất

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:

 \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(P) \supset a}\\{a \bot (Q)}\end{array}} \right. \Rightarrow (P) \bot (Q)\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(P) \bot (Q),(P) \cap (Q) = c}\\{a \subset (P),a \bot c}\end{array}} \right. \Rightarrow a \bot (Q)\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(P) \cap (Q) = a}\\\begin{array}{l}(P) \bot (R)\\(Q) \bot (R)\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow a \bot (R)\]

4. Chứng minh quan hệ vuông góc

a. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh \[d \bot a\], ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

Chứng minh , ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

Chứng minh góc giữa a và d bằng 90⁰.

Chứng minh 2 vecto chỉ phương của a và d vuông góc với nhau.

Chứng minh \[d \bot b\] mà \[b//a\].

Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.

Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pitago, …).

b. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh \[d \bot (P)\], ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).

Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

Chứng minh d // a và \[a \bot (P)\].

Chứng minh \[d \subset (Q)\] với \[(Q) \bot (P)\]và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).

Chứng minh \[d = (Q) \cap (R)\]với \[(Q) \bot (P)\] và \[(R) \bot (P)\].

c. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh \[(P) \bot (Q)\], ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

Chứng minh (P) có một đường thẳng a mà \[a \bot (Q)\].

Chứng minh \[\left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = {90^0}\].

III. Góc – Khoảng cách

1. Góc

a. Góc giữa hai đường thẳng: \[a//a',b//b' \Rightarrow \left( {\widehat {a,b}} \right) = \left( {\widehat {a',b}} \right)\]

Chú ý: \[{0^0} \le \left( {\widehat {a,b}} \right) \le {90^0}\]

b. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:

Nếu \[d \bot (P)\] thì \[\left( {\widehat {d,(P)}} \right) = {90^0}\].

Nếu \[d\not  \bot (P)\] thì \[\left( {\widehat {d,(P)}} \right) = \left( {\widehat {d,d'}} \right)\] với \[d'\] là hình chiếu của d trên (P).

Chú ý: \[{0^0} \le \left( {\widehat {d,(P)}} \right) \le {90^0}\]

c. Góc giữa hai mặt phẳng

Giả sử\[(P) \cap (Q) = c\]. Từ \[I \in c\]dựng \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \subset (P),a \bot c}\\{b \subset (Q),b \bot c}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = \left( {\widehat {a,b}} \right)\]

Chú ý: \[{0^0} \le \left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) \le {90^0}\]

d. Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S’ là diện tích của hình chiếu (H’) của (H) trên (Q), \[\varphi  = \left( {\widehat {(P),(Q)}} \right)\]. Khi đó \[S' = S.\cos \varphi \]

2. Khoảng cách

a. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).

b. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.

c. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

d. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:

Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng thứ nhất.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

IV. Nhắc lại một số công thức trong hình học phẳng

1. Hệ thức lượng trong tam giác

a. Cho \[\Delta ABC\] vuông tại A, có đường cao AH.

\[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\]

\[A{B^2} = BC.BH,A{C^2} = BC.CH\]

\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\]

b. Cho \[\Delta ABC\] có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m_a, m_b, m_c; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.

Định lý hàm số cosin:

\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A;\]\[{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca.\cos B;\]

\[{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C\].

Định lý hàm số sin:

\[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\]

Công thức độ dài trung tuyến:

\[m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\]; \[m_b^2 = \frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}\]; \[m_c^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}\]

2. Các công thức tính diện tích

a. Tam giác:

\[S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{1}{2}b.{h_b} = \frac{1}{2}c.{h_c}\]

\[S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca.\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\]

\[S = \frac{{abc}}{{4R}}\]

\[S = pr\]

\[S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \]

\[\Delta ABC\]vuông tại A: \[2S = AB.AC = BC.AH\]

\[\Delta ABC\] đều, cạnh a: \[S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\]

b. Hình vuông: \[S = {a^2}\] (a: cạnh hình vuông)

c. Hình chữ nhật: \[S = a.b\] (a,b: hai kích thước)

d. Hình bình hành: S = đáy x cao = \[AB.AD.\sin \widehat {BAD}\]

e. Hình thoi: \[S = AB.AD.\sin \widehat {BAD} = \frac{1}{2}AC.BD\]

f. Hình thang: \[S = \frac{1}{2}(a + b).h\] (a,b: hai đáy, h: chiều cao)

g. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: \[S = \frac{1}{2}AC.BD\]

CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

1. Thể tích của khối hộp chữ nhật:

\[V = abc\]   với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.

2. Thể tích của khối chóp:

\[V = \frac{1}{2}{S_{day}}.h\]   với S_đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp.

3. Thể tích của khối lăng trụ:

\[V = {S_{day}}.h\]   với S_đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ.

4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện

a. Tính thể tích bằng công thức

Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …

Sử dụng công thức để tính thể tích.

b. Tính thể tích bằng cách chia nhỏ

Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.

c. Tính thể tích bằng cách bổ sung

Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.

d. Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích

Ta có thể vận dụng tính chất sau:

Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B’ trên tia Oy; C, C’ trên tia Oz ta đều có:

\[\frac{{{V_{OABC}}}}{{{V_{OA'B'C'}}}} = \frac{{OA}}{{OA'}}.\frac{{OB}}{{OB'}}.\frac{{OC}}{{OC'}}\]

Bổ sung:

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích các đáy.

Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \[\alpha \left( {{{45}^0} < \alpha  < {{90}^0}} \right)\]. Tính thể tích hình chóp.

HD: Tính \[h = \frac{1}{2}a\tan \alpha  \Rightarrow V = \frac{1}{6}{a^3}\tan \alpha \]

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = \[a\sqrt 5 \]. Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp (SCD) lần lượt cắt SC và SD tại C’ và D’. Tính thể tích của khối đa diện ADD’.BCC’.

HD: Ghép thêm khối S.ABC’D’ vào khối ADD’.BCC’ thì được khối SABCD

\[ \Rightarrow V = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{6}\]