Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Dạng toán liên quan tới giao điểm của hai đồ thị, tài liệu bao gồm 39 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Dạng toán liên quan tới giao điểm của hai đồ thị

A. Kiến thức cần nhớ:

\[f(x) = m\] là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị\[f(x) = m\], \[y = m\]. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị \[f(x) = m\], \[y = m\].

\[f(x) = g(x)\]là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị\[y = f(x),y = g(x)\]. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị \[y = f(x),y = g(x)\].

Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản

Đạo hàm của hàm hợp: \[y = f\left( {u(x)} \right) \Rightarrow y' = u'(x).f'\left( {u(x)} \right)\]

Đạo hàm của hàm tổng: \[y = f\left( {u(x)} \right) \Rightarrow y' = u'(x).f'\left( {u(x)} \right)\]

B. Bài tập mẫu

Cho hàm số\[f(x)\]có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [-p;2p] của phương trình \[2f(\sin x) + 3 = 0\] là

A. 4 .

B. 6 .

C. 3.

D. 8.

Phân tích hướng dẫn giải

1. Dạng toán: Đây là dạng toán liên quan đến giao điểm của hai đồ thị.

2. Hướng giải:

B1: Từ phương trình\[2f(\sin x) + 3 = 0\]chuyển về phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \[y = f(u),y = C\].

B2:Dựa vào đồ thị \[y = f(x)\]Þ giá trị của \[u = \sin x\]Þ sin giá trị của x .

B3: Chọn đáp án.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn B

Ta có

\[\begin{array}{l}2f(\sin x) + 3 = 0 \Leftrightarrow f(\sin x) =  - \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = {a_1} \in ( - \infty ; - 1)(1)}\\{\sin x = {a_2} \in ( - 1;0)(2)}\\{\sin x = {a_3} \in (0;1)(3)}\\{\sin x = {a_4} \in (1; + \infty )(4)}\end{array}} \right.\end{array}\]

Các phương trình (1) và (4) đều vô nghiệm.

Xét đồ thị hàm số y = sinx trên [-p;2p]

Ta thấy phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt và phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt đồng thời trong số chúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-p;2p].

Trình bày theo hướng khác:

Phân tích hướng dẫn giải

1. Dạng toán: Đây là dạng toán dùng BBT của hàm số\[f(x)\]để tìm số nghiệm thuộc đoạn [a b] của PT \[c.f\left( {g(x)} \right) + d = m\].

2. Hướng giải:

B1: Đặt ẩn phụ \[t = g(x)\]. Với x Î [a;b] Þ t Î[a¢;b¢]

B2: Với \[c.f\left( {g(x)} \right) + d = m \Rightarrow f(t) = k\]

B3: Sử dụng BBT của hàm số\[y = f(t)\] để giải bài toán số nghiệm thuộc đoạn [a¢;b¢]; của PT \[f(t) = k\].

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn B

Đặt t = sin x, t Î [-1;1] thì PT \[2f(\sin x) + 3 = 0\] (1) trở thành \[2f(t) + 3 = 0 \Leftrightarrow f(t) =  - \frac{3}{2}\](2).

BBT hàm số \[y = f(t)\], t Î [-1;1] :

Dựa vào BBT, số nghiệm t Î [-1;1] của PT (1) là 2 nghiệm phân biệt \[{t_1} \in ( - 1;0)\], \[{t_2} \in (0;1)\].

BBT hàm số f(x) = sin x, xÎ [-p ;2p]

Với \[{t_1} \in ( - 1;0)\]

\[ \Rightarrow \sin x = {t_1} \in ( - 1;0)\]Þ PT có 4 nghiệm xÎ -[p ;2p].

Với \[{t_2} \in (0;1)\]\[ \Rightarrow \sin x = {t_2} \in (0;1)\]

Þ PT có 2 nghiệm x Î -[p ;2p].

Vậy số nghiệm thuộc đoạn [-p ;2p] của phương trình\[2f(\sin x) + 3 = 0\] là 2 + 4 = 6.

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 45.1: Cho hàm số\[f(x)\] có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [-p;3p] của phương trình \[2f\left( {\cos x} \right) + 3 = 0\] là

A. 6 .

B. 8.

C. 3.

D. 10.

Lời giải

Chọn B

Ta có

\[\begin{array}{l}2f\left( {\cos x} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( {\cos x} \right) =  - \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = {a_1} \in ( - \infty ; - 1)(1)}\\{\cos x = {a_2} \in ( - 1;0)(2)}\\{\cos x = {a_3} \in (0;1)(3)}\\{\cos x = {a_4} \in (1; + \infty )(4)}\end{array}} \right.\end{array}\]

Các phương trình (1) và (4) đều vô nghiệm.

Xét đồ thị hàm số y x = cos trên [-p;3p]

Ta thấy phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt và phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt đồng thời trong số chúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau. Vậy phương trình đã cho có 8 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-p;3p].

Câu 45.2: Cho hàm số\[f(x)\]có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [-p;3p] của phương trình \[2f\left( { - \cos x + 2} \right) - 1 = 0\]là

A. 6 .

B. 8.

C. 7 .

D. 9.

Lời giải

Chọn C

Ta có

\[\begin{array}{l}2f\left( { - \cos x + 2} \right) - 1 = 0\\ \Leftrightarrow f\left( { - \cos x + 2} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \cos x + 2 = {a_1} \in ( - \infty ; - 1)}\\{ - \cos x + 2 = {a_2} \in ( - 1;0)}\\{ - \cos x + 2 = {a_3} \in (0;1)}\\{ - \cos x + 2 = {a_4} \in (1; + \infty )}\end{array}} \right.\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 2 - {a_1} <  - 1}\\{\cos x = 2 - {a_2} > 1}\\{\cos x = 2 - {a_3} > 1}\\{\cos x = 2 - {a_4},{a_4} \in (1; + \infty )}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 2 - {a_1} <  - 1}\\{\cos x = 2 - {a_2} > 1}\\{\cos x = 2 - {a_3} > 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 2 - {a_4},{a_4} \in (1;3]}\\{\cos x = 2 - {a_4},{a_4} \in (3; + \infty )}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \left( {2 - {a_1}} \right) <  - 1}\\{\cos x = \left( {2 - {a_2}} \right) > 1}\\{\cos x = \left( {2 - {a_3}} \right) > 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \left( {2 - {a_4}} \right) \in [ - 1;1]}\\{\cos x = \left( {2 - {a_4}} \right) <  - 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\end{array}\]

Chỉ có phương trình \[\cos x = \left( {2 - {a_4}} \right) \in [ - 1;1]\] có nghiệm.

Xét đồ thị hàm số y = cos x trên [-p;3p]

Ta thấy \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 - {a_4} =  - 1}\\{2 - {a_4} = m \in ( - 1;1)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_4} = 3}\\{{a_4} = 2 - m}\end{array}} \right.\]

Với \[{a_4} = 3\]Þ PT:\[\cos x = \left( {2 - {a_4}} \right) =  - 1\] có 3 nghiệm.

Với \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_4} = 2 - m}\\{ - 1 < m < 1}\end{array} \Rightarrow } \right.\]PT có 4 nghiệm đơn phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-p;3p].

Câu 45.3: Cho hàm số\[f(x)\]có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [0;3p] của phương trình \[2f(\sin x) + 1 = 0\] là

A. 4 .

B. 3.

C. 1.

D. 6 .