Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Lý thuyết và bài tập giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm tuyệt đối có chứa tham số, tài liệu bao gồm 25 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Lý thuyết và bài tập giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm tuyệt đối có chứa tham số - có lời giải chi tiết

GTLN - GTNN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAM SỐ

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số trên đoạn [a;b]

Tìm nghiệm x_i ( i = 1,2,...) của y¢ = 0 thuộc [a;b]

Tính các giá trị\[f({x_i});f(a);f(b)\]so sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

BÀI TẬP MẪU:

Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \[f(x) = \left| {{x^3} - 3x + m} \right|\] trên đoạn [0;3] bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. -16.

B. 16.

C. -12 .

D. -2 .

Phân tích hướng dẫn giải

1. Dạng toán: Đây là dạng toán max, min của hàm trị tuyệt đối có chứa tham số.

2. Kiến thức cần nhớ:

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số trên đoạn [a;b]

Tìm nghiệm x_i ( i = 1,2,...) của y¢ = 0 thuộc [a;b]

Tính các giá trị\[f({x_i});f(a);f(b)\]so sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

3. Hướng giải: Tìm giá trị lớn nhất hàm số \[y = \left| {f(x)} \right|\], ta xét hàm số \[y = f(x)\].

B1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \[y = f(x)\]

B2: Giá trị lớn nhất của hàm số \[y = \left| {f(x)} \right|\] tại max\[y = f(x)\] hoặc min \[y = f(x)\].

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn A

Đặt \[g(x) = {x^3} - 3x + m\].

\[g'(x) = 3{x^2} - 3;g'(x) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1 \notin [0;3)}\\{x = 1 \in [0;3]}\end{array}} \right.\]

\[g(0) = m;g(1) =  - 2 + m;g(3) = 18 + m\]

Suy ra \[\mathop {\max }\limits_{[0;3]} g(x) = 18 + m;\mathop {\min }\limits_{[0;3]} g(x) =  - 2 + m.\]

Để giá trị lớn nhất hàm số \[y = f(x)\] là 16

 \[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{18 + m = 16}\\{ - 2 + m >  - 16}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 + m =  - 16}\\{18 + m < 16}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m =  - 2}\\{m >  - 14}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m =  - 14}\\{m <  - 2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]

Vậy S = {-2; -14} nên tổng là -2 - 14= - 16 .

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 42.1: Gọi tập S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \[f(x) = \left| {{x^3} - 3x + m} \right|\] trên đoạn [0;2] bằng 3. Số phần tử của S là

A. 1.

B. 2 .

C. 0 .

D. 6 .

Lời giải

Chọn B

Xét \[u = {x^3} - 3x + m\].

Ta có: \[u' = 3{x^2} - 3;u' = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in [0;2]\]. Khi đó:

\[A = \mathop {\max }\limits_{[0;2]} u = \max \left\{ {u(0),u(1),u(2)} \right\} = \max \left\{ {m,m - 2,m + 2} \right\} = m + 2\]

\[a = \mathop {\min }\limits_{[0;2]} u = \min \left\{ {u(0),u(1),u(2)} \right\} = \min \left\{ {m,m - 2,m + 2} \right\} = m - 2\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{[0;2]} y = \max \left\{ {|A|,|a|} \right\}\\ = \max \left\{ {|m - 2|,|m + 2|} \right\} = 3\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|m + 2| = 3}\\{|m + 2| \ge |m - 2|}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|m - 2| = 3}\\{|m - 2| \ge |m + 2|}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m =  - 1}\end{array}} \right.\end{array}\]

Vậy S = {±1}.

Câu 42.2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \[y = \left| {{x^3} + x + m} \right|\]thỏa mãn \[\mathop {\min }\limits_{[ - 2;2]} y = 2\]. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. \[ - \frac{{31}}{4}\].

B. -8.

C. \[ - \frac{{23}}{4}\].

D. \[\frac{9}{4}\].

Lời giải

Chọn C

Xét hàm số \[u = {x^3} + x + m\] trên đoạn [-2;2], có:

\[u' = 0 \Leftrightarrow 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}\]

\[\mathop {\max }\limits_{[ - 2;2]} u = \max \left\{ {u( - 2),u\left( { - \frac{1}{2}} \right),u(2)} \right\} = m + 6\];\[\mathop {\min }\limits_{[ - 2;2]} u = \min \left\{ {u( - 2),u\left( { - \frac{1}{2}} \right),u(2)} \right\} = m - \frac{1}{4}\]

Nếu \[m - \frac{1}{4} \ge 0\] hay \[m \ge \frac{1}{4}\] thì \[\mathop {\min }\limits_{[ - 2;2]} y = m - \frac{1}{4} = 2 \Leftrightarrow m = \frac{9}{4}\] (thỏa mãn).

Nếu \[m + 6 \le 0\] hay m £ -6 thì \[\mathop {\min }\limits_{[ - 2;2]} y =  - m - 6 = 2 \Leftrightarrow m =  - 8\] (thỏa mãn).

Nếu \[ - 6 < m < \frac{1}{4}\] thì \[\mathop {\min }\limits_{[ - 2;2]} y = 0\] (không thỏa mãn).

Ta có: \[S = \left\{ { - 8;\frac{9}{8}} \right\}\]. Vậy tổng các phần tử của S bằng \[ - \frac{{23}}{4}\].

Câu 42.3: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số \[f(x) = \left| {3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m} \right|\] trên đoạn [-1;3]. Có bao nhiêu số thực m để \[M = \frac{{59}}{2}\]?

A. 2 .

B. 6 .

C. 1.

D. 4 .

Lời giải

Chọn C

Xét hàm số: \[u = 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m\].

Có \[u' = 12{x^3} - 12{x^2} - 24x \Rightarrow u' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x =  - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\]

Khi đó: \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\min }\limits_{[ - 1;3]} u = \min \left\{ {u( - 1),u(0),u(2),u(3)} \right\} = u(2) = m - 32}\\{\mathop {\max }\limits_{[ - 1;3]} u = \max \left\{ {u( - 1),u(0),u(2),u(3)} \right\} = u(3) = m + 27}\end{array}} \right.\]

Do đó:

\[\begin{array}{l}M = \max \left\{ {|m - 32|,|m + 27|} \right\} = \frac{{59}}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|m - 32| = \frac{{59}}{2}}\\{|m - 32| \ge |m + 27|}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|m + 27| = \frac{{59}}{2}}\\{|m + 27| \ge |m - 32|}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\end{array}\]

Vậy có 1 số thực m để \[M = \frac{{59}}{2}\].

Câu 42.4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \[y = \left| {\frac{{x - {m^2} - m}}{{x + 2}}} \right|\]thỏa \[y = \left| {\frac{{x - {m^2} - m}}{{x + 2}}} \right|\]. Tích các phần tử của S bằng

A. -16.

B. -4.

C. 16.

D. 4 .

Lời giải

Chọn B

Xét \[u = \frac{{x - {m^2} - m}}{{x + 2}}\], ta có: \[u' = \frac{{2 + {m^2} + m}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in [1;2],\forall m \in \mathbb{R}\]

Do đó \[A = \mathop {\max }\limits_{[1;2]} u = u(2) =  - \frac{{{m^2} + m - 2}}{4};a = \mathop {\min }\limits_{[1;2]} u = u(1) =  - \frac{{{m^2} + m - 1}}{3}\]

\[\mathop {\max }\limits_{[1;2]} y = \max \left\{ {\left| {\frac{{{m^2} + m - 2}}{4}} \right|,\left| {\frac{{{m^2} + m - 1}}{3}} \right|} \right\} = 1 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {17} }}{2}\]

Ta có: \[S = \left\{ {\frac{{ - 1 \pm \sqrt {17} }}{2}} \right\}\]. Vậy tích các phần tử của S bằng -4 .

Câu 42.5: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \[y = \left| {\frac{{{x^2} - mx + m}}{{x + 1}}} \right|\] trên [1;2] bằng 2 . Số phần tử của S là

A. 1 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 3 .

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số: \[u = \frac{{{x^2} - mx + m}}{{x + 1}}\]

\[u' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\];

\[\begin{array}{l}u' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \notin [1;2]}\\{x =  - 2 \notin [1;2]}\end{array}} \right.\end{array}\]

Ta có: u¢ > 0, "x Î [1;2] nên \[\mathop {\max }\limits_{[1;2]} y = \left\{ {\left| {m + \frac{4}{3}} \right|,\left| {m + \frac{1}{2}} \right|} \right\}\]

\[\mathop {\max }\limits_{[1;2]} y = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \frac{2}{3}}\\{m =  - \frac{{10}}{3}}\end{array}} \right.\]. Vậy \[S = \left\{ {\frac{2}{3}; - \frac{{10}}{3}} \right\}\]

Câu 42.6: Xét hàm số \[f(x) = \left| {{x^2} + ax + b} \right|\], với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [-1;3]. Khi M nhận giá trị nhỏ nhất tính T = a + 2b.

A. T = 3.

B. T = 4 .

C. T = -4 .

D. T = 2.

Lời giải

Chọn C

Ta có: \[\max \left\{ {|A|,|B|} \right\} \ge \frac{{|A + B|}}{2}\]   (1). Dấu = xảy ra khi A = B.

Ta có: \[\max \left\{ {|A|,|B|} \right\} \ge \frac{{|A - B|}}{2}\] (2). Dấu = xảy ra khi A = -B.

Xét hàm số \[g(x) = {x^2} + ax + b\], có \[g'(x) = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{a}{2}\]

Trường hợp 1: \[ - \frac{a}{2} \notin [ - 1;3] \Leftrightarrow a \notin [ - 6;2]\]. Khi đó \[M = \max \left\{ {|1 - a + b|,|9 + 3a + b|} \right\}\]

Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có \[M \ge \left| {4 + 2a} \right| > 8\].

Trường hợp 2: \[ - \frac{a}{2} \in [ - 1;3] \Leftrightarrow a \in [ - 6;2]\]. Khi đó

 \[M = \max \left\{ {|1 - a + b|,|9 + 3a + b|,\left| {b - \frac{{{a^2}}}{4}} \right|} \right\}\]

Áp dụng bất đẳng thức (1) và (2) ta có

\[\begin{array}{l}M \ge \max \left\{ {|5 + a + b|,\left| {b - \frac{{{a^2}}}{4}} \right|} \right\}\\ \Leftrightarrow M \ge \frac{1}{8}|20 + 4a + {a^2}|\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow M \ge \frac{1}{8}|16 + {(a + 2)^2}|\]

Suy ra M ³ 2.

Ta có: M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là M = 2 khi

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - 2}\\{5 + a + b =  - \frac{{{a^2}}}{2} - b}\\{1 - a + b = 9 + 3a + b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - 2}\\{b =  - 1}\end{array}} \right.\]

Vậy a + 2b = -4 .

Câu 42.7: Cho hàm số \[y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|\] (với m là tham số thực). Hỏi \[\mathop {\max }\limits_{[1;2]} y\] có giá trị nhỏ nhất bằng

A. 2 .

B. 4 .

C. 1.

D. 3.

Lời giải

Chọn C

Xét hàm số : \[t = {x^3} - 3{x^2}\] với xÎ[1;2].

Ta có \[t' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \notin (1;2)}\\{x = 2 \notin (1;2)}\end{array}} \right.;t(1) =  - 2,t(2) =  - 4\].

Nên \[\mathop {\max }\limits_{[1;2]} t =  - 2\] và \[\mathop {\min }\limits_{[1;2]} t =  - 4\].

Do đó \[\mathop {\max }\limits_{[1;2]} y = \mathop {\max }\limits_{[1;2]} |m + t| = \max \left\{ {|m - 4|;|m - 2|} \right\}\]

\[\begin{array}{l} = \max \left\{ {|m - 4|;|2 - m|} \right\} \ge \frac{{|m - 4| + |2 - m|}}{2}\\ \ge \frac{{\left| {(m - 4) + (2 - m)} \right|}}{2} = 1\end{array}\]

Dấu bằng đạt tại m - 4 = 2 - m Û m = 3 .

Câu 42.8: Cho hàm số \[f(x) = \left| {8{x^4} + a{x^2} + b} \right|\], trong đó a, b là tham số thực. Tìm mối liên hệ giữa a và b để giá trị lớn nhất của hàm số \[f(x)\] trên đoạn [-1;1] bằng 1.

A. b - 8a = 0.

B. b - 4a = 0.

C. b + 4a = 0.

D. b + 8a = 0 .

Lời giải

Chọn D

Đặt \[t = {x^2}\], vì x Î[-1;1] nên t Î[0;1].

Ta có: \[g(t) = 8{t^2} + at + b\], đây là parabol có bề lõm quay lên và có tọa độ đỉnh là\[I\left( { - \frac{a}{6}; - \frac{{{a^2}}}{{32}} + b} \right)\]