Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình đường thẳng, tài liệu bao gồm 40 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình đường thẳng

CHỦ ĐỀ 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A. Kiến thức cơ bản

I. Phương trình đường thẳng:

Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ (x₀;y₀;z₀) và nhận vectơ \[\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\] với \[{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 \ne 0\] làm vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình tham số là :

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\]   ( t ∈ R)

Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ (x₀;y₀;z₀) và nhận vectơ \[\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\]sao cho  \[{a_1}{a_2}{a_3} \ne 0\]làm vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình chính tắc là :

\[\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\]

II. Góc:

1. Góc giữa hai đường thẳng:

∆₁ có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{a_1}} \]

∆₂ có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{a_2}} \]

Gọi \[\varphi \] là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ . Ta có: \[\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{a_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{a_2}} } \right|}}\]

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

∆ có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{a_\Delta }} \]

(α ) có vectơ pháp tuyến  \[\overrightarrow {{n_\Delta }} \]

Gọi \[\varphi \] là góc giữa hai đường thẳng ∆ và (α) . Ta có: \[\sin \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{a_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{a_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|}}\]

III. Khoảng cách:

1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ :

∆ đi qua điểm M₀ và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{a_\Delta }} \]

\[d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{a_\Delta }} ,\overrightarrow {{M_0}M} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{a_\Delta }} } \right|}}\]

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

∆₁ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{a_1}} \]

∆₂ đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{a_2}} \]

\[d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right].\overrightarrow {MN} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]} \right|}}\]

IV. Các dạng toán thường gặp:

1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt A,B.

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \[\overrightarrow {AB} \].

2. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M và song song với d .

Cách giải: Trong trường hợp đặc biệt:

Nếu ∆ song song hoặc trùng bởi trục Ox thì ∆ có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow i  = (1;0;0)\]

Nếu ∆ song song hoặc trùng bởi trục Oy thì ∆ có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow j  = (0;1;0)\]

Nếu ∆ song song hoặc trùng bởi trục Oz thì ∆ có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow k  = (0;0;1)\]

Các trường hợp khác thì ∆ có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {{a_d}} \], với \[\overrightarrow {{a_d}} \] là vectơ chỉ phương của d

3. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α) .

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \[\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_\alpha }} \], với \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \] là vectơ pháp tuyến của (α) .

4. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d₁, d₂ (hai đường thẳng không cùng phương).

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \[\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]\], với \[\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} \]lần lượt là vectơ chỉ phương của d₁, d₂.

5. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α) .

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \[\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right]\], với \[\overrightarrow {{a_d}} \] là vectơ chỉ phương của d, \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \] là vectơ pháp tuyến của (α) .

6. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng (α), (β); ((α),(β) là hai mặt phẳng cắt nhau)

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \[\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right]\], với \[\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} \] lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α), (β)

7. Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) .

Cách giải:

Lấy một điểm bất kì trên ∆, bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý.

Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \[\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right]\], với \[\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} \]lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α), (β)

8. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d₁, d₂ (A ∉ d₁; B ∉ d₂) .

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \[\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]\], với \[\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \] lần lượt là vectơ pháp tuyến của mp (A;d­₁), mp (A;d₂)

9. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (α) và cắt hai đường thẳng d₁, d₂.

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \[\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {AB} \], với A= d₁ ∩ (α), B = d₂ ∩ (α).

10. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc và cắt d .

Cách giải:

Xác định B = ∆ ∩ d 

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A ,B

11. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với d₁ và cắt d₂, với A∉ d₂ .

Cách giải

Xác định B = ∆ ∩ d₂.

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, B.

12. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α).

Cách giải:

Xác định B = ∆ ∩ d.

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, B.

13. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (α ) cắt và vuông góc đường thẳng d .

Cách giải:

Xác định A = d ∩ (α).

Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là \[\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right]\], với \[\overrightarrow {{a_d}} \]là vectơ chỉ phương của d, \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \] là vectơ pháp tuyến của (α) .

14. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (α) , nằm trong (α) và vuông góc đường thẳng d (ở đây d không vuông góc với (α)) .

Cách giải:

Xác định A = d ∩ (α) .

Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là \[\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right]\], với \[\overrightarrow {{a_d}} \]là vectơ chỉ phương của d, \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \] là vectơ pháp tuyến của (α) .

15. Viết phương trình đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d₁,d₂.

Cách giải:

Xác định A = ∆ ∩ d₁, B = ∆ ∩ d₂, sao cho \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot {d_1}}\\{AB \bot {d_2}}\end{array}} \right.\]

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B

16. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng d₁,d₂.

Cách giải:

Xác định A = ∆ ∩ d₁, B = ∆ ∩ d₂, sao cho \[\overrightarrow {AB} \], \[\overrightarrow {{a_d}} \] cùng phương, với \[\overrightarrow {{a_d}} \] là vectơ chỉ phương của d.

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{a_d}}  = \overrightarrow {{a_\Delta }} \]

17. Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) và cắt cả hai đường thẳng d₁,d₂.

Cách giải:

Xác định A = ∆ ∩ d₁, B = ∆ ∩ d₂, sao cho \[\overrightarrow {AB} \], \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \] cùng phương, với \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \] là vectơ pháp tuyến của (α) .

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{a_d}}  = \overrightarrow {{n_\alpha }} \].

18. Viết phương trình ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (α) .

Cách giải :

Xác định H ∈ ∆ sao cho \[\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {{a_d}} \],với \[\overrightarrow {{a_d}} \] là vectơ chỉ phương của d .

Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (α) .

Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β)

19. Viết phương trình ∆ là hình chiếu song song của d lên mặt phẳng (α) theo phương d '.

Cách giải :

Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa d và có thêm một véc tơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_{d'}}} \].

Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) .

B. Kỹ năng cơ bản

1. Học sinh xác định được vectơ chỉ phương và điểm nào đó thuộc đường thẳng khi cho trước phương trình.

2. Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình chính tắc và ngược lại.

3. Học sinh lập được phương trình chính tắc và phương trình tham số.

4. Học sinh tìm được hình chiếu, điểm đối xứng.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

d :\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 2t}\\\begin{array}{l}y = 3 - 2t\\z = 1 - 3t\end{array}\end{array}} \right.\] và d’: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6 + 2t'}\\\begin{array}{l}y = 3 + 2t'\\z = 7 + 9t'\end{array}\end{array}} \right.\]

Xét các mệnh đề sau:

(I) d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương \[\overrightarrow a (2;2;3)\]

(II) d’ đi qua A’(0;-3;-11) và có véctơ chỉ phương \[\overrightarrow {a'} (2;2;9)\]

(III) \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow {a'} \] không cùng phương nên d không song song với d’

(IV) Vì \[\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow 0 \] nên d và d’ đồng phẳng và chúng cắt nhau

Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận:

A. Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai.

B. Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai.

C. Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II), (III), (IV) sai.

D. Các phát biểu (IV) sai, các phát biểu còn lại đúng.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\\begin{array}{l}y =  - 3t\\z =  - 1 + 5t\end{array}\end{array}} \right.\]. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là?

A. \[x - 2 = y = z + 1\]

B. \[\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{5}\]

C. \[\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 5}}\]

D. \[\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{5}\]

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc \[\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\]. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là?

A. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\\begin{array}{l}y =  - 1 - 3t\\z = t\end{array}\end{array}} \right.\]

B. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 3t}\\\begin{array}{l}y =  - 3 - t\\z = t\end{array}\end{array}} \right.\]

C. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 3 + 2t}\\\begin{array}{l}y = 1 - 3t\\z = t\end{array}\end{array}} \right.\]

D. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 3 - 2t}\\\begin{array}{l}y = 1 + 3t\\z = t\end{array}\end{array}} \right.\]

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: \[\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{3}\]Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{a_d}} \] có tọa độ là:

A. \[M(2; - 1;3),\overrightarrow {{a_d}}  = ( - 2;1;3)\]

B. \[M(2; - 1; - 3),\overrightarrow {{a_d}}  = (2; - 1;3)\]

C. \[M( - 2;1;3),\overrightarrow {{a_d}}  = (2; - 1;3)\]

D. \[M(2; - 1;3),\overrightarrow {{a_d}}  = (2; - 1; - 3)\]

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t - 2}\\\begin{array}{l}y = 2 + 3t\\z = 1 + t\end{array}\end{array}} \right.\]. Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{a_d}} \] có tọa độ là:

A. \[M( - 2;2;1),\overrightarrow {{a_d}}  = (1;3;1)\]

B. \[M(1;2;1),\overrightarrow {{a_d}}  = ( - 2;3;1)\]

C. \[M(2; - 2; - 1),\overrightarrow {{a_d}}  = (1;3;1)\]

D. \[M(1;2;1),\overrightarrow {{a_d}}  = (2; - 3;1)\]

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm M (−2;3;1) và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a  = (1; - 2;2)\]?

A. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\\begin{array}{l}y =  - 3 - 2t\\z =  - 1 + 2t\end{array}\end{array}} \right.\]

B. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\\begin{array}{l}y =  - 2 - 3t\\z = 2 - t\end{array}\end{array}} \right.\]

C. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 2t}\\\begin{array}{l}y =  - 2 + 3t\\z = 2 + t\end{array}\end{array}} \right.\]

D. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 2 + t}\\\begin{array}{l}y = 3 - 2t\\z = 1 + 2t\end{array}\end{array}} \right.\]

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc ∆ của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; −2;5) và B(3;1;1) ?

A. \[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 5}}{{ - 4}}\]

B. \[\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{5}\]

C. \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 5}}{{ - 4}}\]

D. \[\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 5}}{1}\]

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(−1;3;2), B(2;0;5), C(0; −2;1). Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là.

A. \[\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\]

B. \[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 4}} = \frac{{z + 2}}{1}\]

C. \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 2}}{1}\]

D. \[\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\]

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;4; −1), B(2;4;3), C(2;2;−1). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

A. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\\begin{array}{l}y = 4 + t\\z =  - 1 + 2t\end{array}\end{array}} \right.\]

B. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\\begin{array}{l}y = 4 + t\\z = 1 + 2t\end{array}\end{array}} \right.\]

C. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\\begin{array}{l}y = 4 + t\\z =  - 1 - 2t\end{array}\end{array}} \right.\]

D. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\\begin{array}{l}y = 4 - t\\z =  - 1 + 2t\end{array}\end{array}} \right.\]

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M (1;3;4) và song song với trục hoành là.

A. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\\begin{array}{l}y = 3\\z = 4\end{array}\end{array}} \right.\]

B. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\\begin{array}{l}y = 3 + t\\z = 4\end{array}\end{array}} \right.\]

C. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\\begin{array}{l}y = 3\\z = 4 - t\end{array}\end{array}} \right.\]

D. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\\begin{array}{l}y = 3\\z = 4 + t\end{array}\end{array}} \right.\]

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 2t}\\\begin{array}{l}y = t\\z =  - 3 + 2t\end{array}\end{array}} \right.\] . Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(3;1; −1) và song song với d là

A. \[\frac{{x + 3}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\]

B. \[\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\]

C. \[\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\]

D. \[\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\]