Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài tập sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình, tài liệu bao gồm 64 trang, các bài tập và có đáp án chi tiết. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Bài tập sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình - có đáp án chi tiết

3. Phương pháp xét chiều biến thiên hàm số

Bài toán 7. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {1 + x}  + \sqrt[4]{{x - 1}} - \sqrt {{y^4} + 2}  = y(1)}\\{{x^2} + 2x(y - 1) + {y^2} - 6y + 1 = 0(2)}\end{array}} \right.\]

Giải: Điều kiện : x ³1. Phương trình (1)

 Û \[\sqrt {1 + x}  + \sqrt[4]{{x - 1}} = y + \sqrt {{y^4} + 2} \]

Đặt \[u = \sqrt[4]{{x - 1}}\], u ³ 0  Þ \[x = {u^4} + 1 \Rightarrow \sqrt {x + 1}  = {u^4} + 2\]

Khi đó, phương trình (1) trở thành :

\[u + \sqrt {{u^4} + 2}  = y + \sqrt {{y^4} + 2} \]  (4)

Xét phương trình (2) : \[{x^2} + 2x(y - 1) + {y^2} - 6y + 1 = 0\]

Xem x là ẩn, y là tham số, ta có : D = 4y

Phương trình có nghiệm y ³ 0

Xét hàm số \[f(t) = t + \sqrt {{t^4} + 2} ,t \in \left[ {0; + \infty } \right)\]

\[f'(t) = 1 + \frac{{2{t^2}}}{{\sqrt {{t^4} + 2} }},\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right)\]

Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên [0;+¥)

Từ đó, phương trình (3) Û \[u = y \Leftrightarrow \sqrt[4]{{x - 1}} = y\]

Û \[{y^4} = x - 1\] Û \[x = {y^4} + 1\]  (4)

Thế (4) vào phương trình (2) ta được :

\[{\left( {{y^4} + 1} \right)^2} + 2\left( {{y^4} + 1} \right)\left( {y - 1)} \right) + {y^2} - 6y + 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {y^8} + 2{y^5} + {y^2} - 4y = 0\]

\[ \Leftrightarrow y(y - 1)({y^6} + {y^5} + {y^4} + 3{y^3} + 3{y^2} + 3y + 4) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0 \Rightarrow x = 1}\\{y = 1 \Rightarrow x = 0(loai)}\end{array}} \right.\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1;0)

Bài toán 11. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\sqrt {y - 1}  + y\sqrt {x - 1}  = 4(1)}\\{{x^2} + \sqrt {x - 1}  = {y^2} + \sqrt {y - 1} (2)}\end{array}} \right.\]

Giải:

Điều kiện : \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1}\\{y \ge 1}\end{array}} \right.\]. Xét hàm số \[f(t) = {t^2} + \sqrt {t - 1} ,t \in \left[ {1; + \infty } \right)\]

\[f'(t) = 2t + \frac{1}{{2\sqrt {t - 1} }},\forall t \in \left[ {1; + \infty } \right)\]. Suy ra hàm số đồng biến trên [1;+¥)

Từ đó, phương trình (2) Û x = y.

(1) Û\[2x\sqrt {x - 1}  = 4 \Leftrightarrow {x^2}(x - 1) = 4\]

\[ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 = y\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2;2).

Bài toán 2. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x + y}  + x - y = 0(1)}\\{\sqrt {x + y}  - \sqrt {3x + 2y}  =  - 1(2)}\end{array}} \right.\]

Giải: Điều kiện : 0 £ x,y £1

Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế với vế, ta được :

\[\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x} = \frac{{\sqrt {1 - {y^2}} }}{y}\]  (*). Xét hàm số \[f(t) = \frac{{\sqrt {1 - {t^2}} }}{r}\], \[t \in \left[ {0;1} \right]\]

\[f'(t) = \frac{{ - 1}}{{{t^2}\sqrt {1 - {t^2}} }},\forall t \in \left[ {0;1} \right]\]

Suy ra hàm số liên tục và nghịch biến trên [0; 1]

Từ đó, phương trình (*) Û x = y. Khi đó

\[(1) \Leftrightarrow x\sqrt {1 - {x^2}}  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2}(1 - {x^2}) = \frac{1}{4}\]

\[ \Leftrightarrow  - 4{x^4} + 4{x^2} - 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}(loai)}\\{x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = y}\end{array}} \right.\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là \[\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\]

Bài toán 17. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{x^2} - 1}  + 3\sqrt {{y^2} + 1}  = \sqrt {10\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} (1)}\\{\sqrt {x - 2}  - \sqrt {16 - 2x}  + 2{y^2} - 628 = 0(2)}\end{array}} \right.\]

Giải: Điều kiện : \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 \ge 0}\\{16 - 2x \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow 2 \le x \le 8} \right.\]

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cop-xki cho 4 số : \[1,\sqrt {{x^2} - 1} ,3,\sqrt {{y^2} + 1} \] ta được

\[\sqrt {{x^2} - 1}  + 3\sqrt {{y^2} + 1}  \le \sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{x^2} - 1 + {y^2} + 1} \]

Û \[\sqrt {{x^2} - 1}  + 3\left( {\sqrt {{y^2} + 1} } \right) \le \sqrt {10({x^2} + {y^2})} \]

Do phương trình (1) nên dấu “ =” xảy ra. Khi đó ta có :

\[\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{1} = \frac{{\sqrt {{y^2} + 1} }}{3} \Leftrightarrow 9({x^2} - 1) = {y^2} + 1\\ \Leftrightarrow 9{x^2} - 10 = {y^2}\end{array}\]

Thế \[9{x^2} - 10 = {y^2}\] vào phương trình (2), ta được :

\[\sqrt {x - 2}  - \sqrt {16 - 2x}  + 2(9{x^2} - 10) - 628 = 0\] (3)

Xét hàm số : \[f(t) = \sqrt {x - 2}  - \sqrt {16 - 2x}  + 2(9{x^2} - 10) - 628 = 0,x \in \left[ {2;8} \right]\]

\[f'(x) = \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - 2} }} + \frac{1}{{\sqrt {16 - 2x} }},\forall x \in (2;8)\]

Vậy hàm số f(x) đồng biến trên (2; 8) và f(6) = 0 do đó phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 6. Với x = 6 ta có \[y =  \pm \sqrt {314} \]

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm : \[(6;\sqrt {314} );(6; - \sqrt {314} )\]

Bài toán 65. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x + 5}  + \sqrt {y - 2}  = 7(1)}\\{\sqrt {x - 2}  + \sqrt {y + 5}  = 7(2)}\end{array}} \right.\]

Giải: Điều kiện : \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 2}\\{y \ge 2}\end{array}} \right.\]

Lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2) vế với vế, ta được :

\[\sqrt {x + 5}  + \sqrt {y - 2}  = \sqrt {x - 2}  + \sqrt {y + 5} \]  (3)

Xét hàm số : \[f(t) = \sqrt {t + 5}  - \sqrt {t - 2} \]

\[f(t) = \sqrt {t + 5}  - \sqrt {t - 2} ,t \in [2; + \infty )\]

\[f'(t) = \frac{{\sqrt {t - 2}  - \sqrt {t + 5} }}{{2\sqrt {t + 5} .\sqrt {t - 2} }} < 0,\forall t \ge 2\]

Vậy hàm số nghịch biến trên [2;+¥) .

Phương trình (3) Û \[f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y\]

Khi đó, hệ phương trình trở thành : \[\sqrt {x + 5}  - \sqrt {x - 2}  = 7\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x + 3 + 2\sqrt {x + 5} .\sqrt {x - 2}  = 49\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 5} .\sqrt {x - 2}  = 23 - x\end{array}\]

Û\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 \le x \le 23}\\{(x + 5)(x - 2) = {{(23 - x)}^2}}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 \le x \le 23}\\{49x - 539 = 0}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{{539}}{{49}} = y} \right.\]

Hệ phương trình có 1 nghiệm \[\left( {\frac{{539}}{{49}};\frac{{539}}{{49}}} \right)\]

Bài toán 78. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {y^4}\left( {1 + {y^2}} \right)(1)}\\{\sqrt {4x - 5}  + \sqrt {{y^2} + 8}  = 6(2)}\end{array}} \right.\]

Giải: Điều kiện : x ³ 0

Nếu y = 0 thì phương trình (1) tương đương : x³ = 0 Û x = 0, không thỏa hệ.

Xét y ¹ 0 : phương trình (1) Û \[{\left( {\frac{x}{y}} \right)^3} + \frac{x}{y} = {y^3} + y\]  (3)

Xét hàm số \[f(t) = {t^3} + t,t \in R\];  \[f(t) = 3{t^2} + 1 > 0,\forall t \in R\]

Suy ra, hàm số f(t) đồng biến trên R

\[(3) \Leftrightarrow \frac{x}{y} = y \Leftrightarrow x = {y^2}\]  (4). Thế (4) vào phương trình (2) ta được :

\[\begin{array}{l}\sqrt {4{y^2} + 5}  + \sqrt {{y^2} + 18}  = 6\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {4{y^2} + 5} \right)\left( {{y^2} + 18} \right)}  = 23 - 5{y^2}\end{array}\]

Điều kiện : \[23 - 5{y^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - \frac{{\sqrt {115} }}{5} \le y \le \frac{{\sqrt {115} }}{5}\]

Bình phương 2 vế của phương trình trên, ta được :

\[4\left( {4{y^4} + 37{y^2} + 40} \right) = {\left( {23 - 5{y^2}} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow 9{y^4} - 378{y^2} + 369 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y^2} = 1 = x}\\{{y^2} = 41,(loai)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow y =  \pm 1\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1;1), (1; -1)

Bài toán 89. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\left( {{x^3} + 2x - y - 1} \right) = {x^2}\left( {y + 1} \right)(1)}\\{{y^3} + 4x + 1 + \ln ({y^2} + 2x) = 0(2)}\end{array}} \right.\]

Giải: Điều kiện : \[{y^2} + 2x > 0\]

Phương trình (1) Û \[2({x^3} + 2x) - 2(y + 1) - {x^2}(y + 1) = 0\]

Û\[2x({x^2} + 2) - (y + 1)({x^2} + 2) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (2x - y - 1)({x^2} + 2) = 0\]

Û y = 2x -1 (3)