Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian, tài liệu bao gồm 100 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Chuyên đề trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Tổng hợp một số công thức phương pháp tọa độ không gian

Trong không gian Oxyz cho: \[A({x_A};{y_A};{z_A})\], \[B({x_B};{y_B};{z_B})\] và \[\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\]; \[\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\]. Khi đó:

\[\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A})\]

\[AB = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}} \]

\[\overrightarrow a  \pm \overrightarrow b  = ({a_1} \pm {b_1};{a_2} \pm {b_2};{a_3} \pm {b_3})\]

\[k\overrightarrow a  = (k{a_1};k{a_2};k{a_3})\]

\[\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]

\[\overrightarrow a  = \overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1} = {b_1}}\\{{a_2} = {b_2}}\\{{a_3} = {b_3}}\end{array}} \right.\]

\[\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} + {a_3}.{b_3}\]

\[\overrightarrow a //\overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a  = k\overrightarrow b  \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right] = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}}\]

\[\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  = \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} + {a_3}.{b_3} = 0\]

\[\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3}}&{{a_1}}\\{{b_3}}&{{b_1}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|} \right)\]

\[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \]đồng phẳng \[ \Leftrightarrow \exists m,n \in R:\overrightarrow a  = m\overrightarrow b  + n\overrightarrow c \] hay \[\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c  = 0\]

\[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] không đồng phẳng \[ \Leftrightarrow \not \exists m,n \in R:\overrightarrow a  = m\overrightarrow b  + n\overrightarrow c \] hay \[\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c  \ne 0\]

M chia đoạn AB theo tỉ số

\[\begin{array}{l}k \ne 1 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \\ \Rightarrow M\left( {\frac{{{x_A} - k{x_B}}}{{1 - k}};\frac{{{y_A} - k{y_B}}}{{1 - k}};\frac{{{z_A} - k{z_B}}}{{1 - k}}} \right)\end{array}\]

Đặc biệt: M là trung điểm của đoạn thẳng AB :

\[M(\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2})\]

G là trọng tâm của tam giác ABC:

\[G(\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3})\]

G là trọng tâm của tứ diện ABCD là \[G(\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4})\]

Vecto đơn vị: \[\overrightarrow i  = (1;0;0)\], \[\overrightarrow j  = (0;1;0)\], \[\overrightarrow k  = (0;0;1)\]

Điểm trên các trục tọa độ:

 \[M(x;0;0) \in Ox;N(0;y;0) \in Oy;K(0;0;z) \in Oz\]

Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ: \[M(x;y;0) \in (Oxy);N(0;y;z) \in (Oyz);K(0 = x;0;z) \in (Oxz)\]

Diện tích tam giác ABC: \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\].

Diện tích hình bình hành ABCD: \[{S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|\].

Thể tích khối tứ diện ABCD: \[{V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\].

Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: \[{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right|\].

\[\overrightarrow u  = (x;y;z) \Leftrightarrow \overrightarrow u  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \]

Phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm (S) tâm I (a;b;c), bán kính R có phương trình (S): \[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\].

Phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\],\[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\]là phương trình của một mặt cầu . Mặt cầu này có tâm I (a;b;c) và bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \]

Phương trình mặt phẳng: mp (P) qua điểm M (x₀;y₀;z₀) có VTPT \[\overrightarrow n (a;b;c)\]có phương trình: \[a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) + c(z - {z_0}) = 0\]

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng: (P): \[Ax + By + Cz + D = 0\]

và (Q): \[A'x + B'y + C'z + D' = 0\] với \[A'B'C' \ne 0\]

(P) cắt (Q) \[ \Leftrightarrow A:B:C \ne A':B':C'\]

(P) // (Q) \[ \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} \ne \frac{D}{{D'}}\]

(P) \[ \equiv \](Q) \[ \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} = \frac{D}{{D'}}\]

(P) \[ \bot \](Q) \[ \Leftrightarrow A.A' + B.B' + C.C' = 0\]

Khoảng cách và góc

Góc giữa hai mp: Cho hai mp (P) và (Q) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là \[\overrightarrow n (A;B;C)\]và \[\overrightarrow {n'} (A';B';C')\].

Gọi a là góc giữa hai mp khi đó: \[\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {A.A' + B.B' + C.C'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\]

Khoảng cách từ một điểm đến một mp: Khoảng cách từ điểm M (x₀;y₀;z₀) đến mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:

\[d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Phương trình đường thẳng trong không gian:

Đường thẳng d qua điểm M (x₀;y₀;z₀) có vecto chỉ phương \[\overrightarrow u  = (a;b;c)\]thì:

Phương trình tham số : \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\\{z = {z_0} + ct}\end{array}} \right.\]   (\[t \in R\])

Phương trình chính tắc: \[\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\]  (a.b.c ≠ 0)

Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho đường thẳng d và d’có các vecto chỉ phương \[\overrightarrow u (A;B;C)\]và \[\overrightarrow {u'} (A';B';C')\] và qua hai điểm M (x,y,z) và M’(x’,y’z’). Khi đó:

d và d’ chéo nhau \[ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'}  \ne 0\]

d và d’ đồng phẳng \[ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'}  = 0\]

d và d’ chéo nhau \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'}  = 0}\\{\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 }\end{array}} \right.\]

d và d’ song song \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \overrightarrow 0 }\\{\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right] \ne \overrightarrow 0 }\end{array}} \right.\]

d và d’ trùng nhau \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \overrightarrow 0 }\\{\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right] = \overrightarrow 0 }\end{array}} \right.\]

Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng d:

\[d(M,d) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\] (\[M' \in d\])

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’:

\[d(d;d') = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\]

Góc giữa hai đường thẳng d và d’: \[\cos (\Delta ,\Delta ') = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {A.A' + B.B' + C.C'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\]

Các dạng bài tập

Chủ đề 1. Các phép toán về tọa độ véc tơ. xác định điểm – một số tính chất hình học

I. Phương pháp giải và bài tập có hướng dẫn

Phương pháp:

Dạng 1: Chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác

A,B,C là ba đỉnh tam giác \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \]không cùng phương hay \[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \ne \overrightarrow 0 \].

G (x_G;y_G;z_G) là trọng tâm của tam giác ABC thì:

\[{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\]; \[{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\]; \[{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\]

\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\]. Suy ra diện tích hình bình hành ABCD: \[{S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|\].

Đường cao: \[AH = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}}\]

Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

Chứng minh A, B, C không thẳng hàng

ABCD là hình bình hành \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \]

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:

\[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} \] không đồng phẳng hay \[\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  \ne 0\].

G (x_G;y_G;z_G) là trọng tâm của tứ diện ABCD thì:

\[{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}\]; \[{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}\];

 \[{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}\]

Thể tích khối tứ diện ABCD: \[{V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\].

Đường cao AH của tứ diện ABCD:

\[V = \frac{1}{3}{S_{BCD}}.AH \Rightarrow AH = \frac{{3V}}{{{S_{BCD}}}}\].

Thể tích hình hộp: \[{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right|\].

II. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho 3 điểm A(2; 1; 4), B(–2; 2; –6), C(6; 0; –1). Tích \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]bằng:

A. –67

B. 65

C. 67

D. 33

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \[\overrightarrow a  = ( - 1;1;0);\overrightarrow b  = (1;1;0);\overrightarrow c  = (1;1;1)\]. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. \[\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \]

B. \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] đồng phẳng.

C. \[\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\]

D. \[\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1\]

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto \[\overrightarrow {AO}  = 3\left( {\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j } \right) - 2\overrightarrow k  + 5\overrightarrow j \]. Tọa độ của điểm A là

A. (3,-2,5)

B. (-3,-17,2)

C. (3,17,-2)

D. (3,5,-2)

Câu 4. Cho các vectơ \[\overrightarrow a  = (1;2;3);\overrightarrow b  = ( - 2;4;1);\overrightarrow c  = ( - 1;3;4)\]. Vectơ \[\overrightarrow v  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + 5\overrightarrow c \] có toạ độ là:

A. (7; 3; 23)

B. (7; 23; 3)

C. (23; 7; 3)

D. (3; 7; 23)

Câu 5. Cho tứ diện OABC với A (-3;1;-2), B (1;1;1), C (-2;2;1). Tìm thể tích tứ diện OABC

A. 8 (đvtt)

B. \[\frac{8}{3}\] (đvtt)

C. 4 (đvtt)

D. \[\frac{4}{3}\] (đvtt)

Câu 6. Cho tam giác ABC với A (-3;2;-7), B (2;2;-3), C (-3;6;-2). Điểm nào sau đây là trọng tâm của tam giác ABC

A. \[G\left( { - 4;10; - 12} \right)\]

B. \[G\left( {\frac{4}{3};\frac{{ - 10}}{3};4} \right)\]

C. \[G\left( {4; - 10;12} \right)\]

D. \[G\left( { - \frac{4}{3};\frac{{10}}{3}; - 4} \right)\]

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \[\overrightarrow a  = ( - 1;1;0);\overrightarrow b  = (1;1;0);\overrightarrow c  = (1;1;1)\]. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. \[\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\]

B. \[\overrightarrow a .\overrightarrow c  = 1\]

C. \[\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \]

D. \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] cùng phương

Câu 8. Cho A (0;2;-2), B (-3;1;-1), C (4;3;0) và D (1;2;m). Tìm m để bốn điểm đồng phẳng.

Một học sinh giải như sau:

Bước 1: \[\overrightarrow {AB}  = ( - 3; - 1;1);\overrightarrow {AC}  = (4;1;2);\overrightarrow {AD}  = (1;0;m + 2)\]

Bước 2: \[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\1&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 1}\\4&1\end{array}} \right|} \right) = ( - 3;10;1)\]

\[\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = 3 + m + 2 = m + 5\]

Bước 3: A, B, C, D đồng phẳng \[ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = 0 \Leftrightarrow m + 5 = 0\]

Đáp số: m = - 5

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

A. Sai ở bước 2

B. Đúng

C. Sai ở bước 1

D. Sai ở bước 3

Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \[\overrightarrow a  = ( - 1;1;0);\overrightarrow b  = (1;1;0);\overrightarrow c  = (1;1;1)\]. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. \[\overrightarrow b  \bot \overrightarrow c \]

B. \[\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3 \]

C. \[\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2 \]

D. \[\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \]

Câu 10. Cho vectơ \[\overrightarrow u  = (1;1; - 2);\overrightarrow v  = (1;0;m)\]. Tìm m để góc giữa hai vecto \[\overrightarrow u \]và \[\overrightarrow v \]có số đo bằng 45⁰. Một học sinh giải như sau:

Bước 1: \[\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 \sqrt {{m^2} + 1} }}\]

Bước 2: Góc giữa \[\overrightarrow u \]và \[\overrightarrow v \] bằng 45⁰ suy ra \[\frac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 \sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow 1 - 2m = \sqrt 3 .\sqrt {{m^2} + 1} \]  (*)

Bước 3: Phương trình (*) \[ \Leftrightarrow {\left( {1 - 2m} \right)^2} = 3.(m + 1) \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 2 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2 + \sqrt 6 }\\{m = 2 - \sqrt 6 }\end{array}} \right.\]

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

A. Sai ở bước 2

B. Sai ở bước 3

C. Bài giải đúng

D. Sai ở bước 1

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ cho bốn điểm A (1;0;0), B (0;1;0), C (0;0;1) và D (1;1;1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A. Bốn điểm A,B,C,D tạo thành một tứ diện

B. Tam giác BCD là tam giác vuông

C. Tam giác ABD là một tam giác đều

D. AB \[ \bot \] CD

Câu 12. Trong các bộ ba điểm:

(I). A (1;3;1); B (0;1;2); C (0;0;1)

(II). M (1;1;1); N (-4;3;1); P (-9;5;1)

(III). D (1;2;7); E (-1;3;4) ; F (5;0;13)

bộ ba nào thẳng hàng?

A. Chỉ III, I.

B. Chỉ I, II.

C. Chỉ II, III.

D. Cả I, II, III.

Câu 13. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ \[\overrightarrow a  = ( - 1;1;0);\overrightarrow b  = (1;1;0);\overrightarrow c  = (1;1;1)\]. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

A. \[\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2 \]

B. \[\overrightarrow b  \bot \overrightarrow c \]

C. \[\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3 \]

D. \[\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \]