Trả lời nhanh
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là S = 4πR², với R là bán kính mặt cầu đi qua tất cả đỉnh của chóp. Việc khó nhất là tìm R: tâm cầu nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp đáy và cách đều các đỉnh. Tuỳ dạng chóp (cạnh bên vuông góc đáy, chóp đều, mặt bên vuông góc đáy…) ta có công thức tính R nhanh.
1. Kiến thức cần nhớ
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình chóp. Tâm I của nó cách đều các đỉnh, nghĩa là IS = IA = IB = IC = … = R.
- Diện tích mặt cầu: S = 4πR².
- Thể tích khối cầu: V = (4/3)πR³.
- Muốn có mặt cầu ngoại tiếp thì đa giác đáy phải nội tiếp được đường tròn (tam giác, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân… đều thoả).
Hai tính chất then chốt:
- Tâm I nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp đáy (đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt đáy), vì mọi điểm trên d cách đều các đỉnh đáy.
- Tâm I nằm trên mặt phẳng trung trực của mỗi cạnh bên (ví dụ cạnh SA).
2. Phương pháp chung gồm 3 bước
- Bước 1: Xác định tâm O và bán kính r của đường tròn ngoại tiếp đáy. Dựng trục d qua O, vuông góc với đáy.
- Bước 2: Trong mặt phẳng chứa d và một cạnh bên (hoặc một đỉnh S), dựng đường trung trực của cạnh bên đó. Giao điểm của nó với d chính là tâm I.
- Bước 3: Tính R = IA (hoặc IS) bằng tam giác vuông hoặc định lý Pythagore, rồi tính S = 4πR².
Nhắc lại bán kính ngoại tiếp đáy r:
| Đa giác đáy | Tâm và bán kính ngoại tiếp |
|---|---|
| Tam giác đều cạnh a | Trọng tâm; r = a√3/3 |
| Tam giác vuông | Trung điểm cạnh huyền; r = cạnh huyền/2 |
| Tam giác bất kì | r = abc/(4SABC) = a/(2sin A) |
| Hình chữ nhật, hình vuông | Giao điểm hai đường chéo; r = đường chéo/2 |
3. Các dạng chóp thường gặp và công thức tính nhanh R
Dạng 1: Chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Cho chóp S.ABC… có SA ⊥ đáy, SA = h, đáy có bán kính ngoại tiếp r. Khi đó:
R² = r² + h²/4
Vì sao? Trục d song song với SA, nên tâm I nằm trên mặt phẳng trung trực của SA, tức là cách đáy một khoảng h/2. Tam giác vuông IOA có OA = r, OI = h/2 nên R² = r² + h²/4.
Dạng 2: Chóp đều
Chóp đều có đường cao SO = h và cạnh bên SA = l thì tâm I nằm trên SO:
R = l²/(2h)
Chứng minh: gọi r = OA. Vì IA = IS = R và OI = h − R nên r² + (h − R)² = R², suy ra R = (r² + h²)/(2h). Mà r² + h² = l² nên R = l²/(2h). Hình dưới là mặt cắt qua đường cao và một đường chéo/đường nối đỉnh với tâm, giúp bạn thấy rõ mối quan hệ này.
Lưu ý: nếu h < R thì I nằm trong chóp, nếu h > R cũng vẫn đúng, nhưng khi l²/(2h) < h thì I nằm bên trong hình chóp; nếu r² > h² thì I nằm dưới đáy (OI = h − R âm). Công thức vẫn đúng trong cả hai trường hợp.
Dạng 3: Chóp có hai đỉnh nhìn một đoạn thẳng dưới góc vuông
Nếu có đoạn thẳng, chẳng hạn SC, mà các điểm A, B cùng nhìn SC dưới góc 90° (∠SAC = ∠SBC = 90°) thì A, B nằm trên mặt cầu đường kính SC. Khi đó tâm là trung điểm SC và R = SC/2.
Đây là dạng hay gặp nhất khi đáy là tam giác vuông hoặc hình chữ nhật và SA ⊥ đáy.
Dạng 4: Ba cạnh bên đôi một vuông góc
Chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc, SA = a, SB = b, SC = c. Dựng thêm hình hộp chữ nhật có ba cạnh xuất phát từ S, mặt cầu ngoại tiếp chóp chính là mặt cầu ngoại tiếp hộp:
R = √(a² + b² + c²)/2
Dạng 5: Chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Giả sử mặt bên (SAB) ⊥ đáy, giao tuyến là AB. Gọi R₁ là bán kính ngoại tiếp đáy, R₂ là bán kính ngoại tiếp tam giác SAB. Khi đó:
R² = R₁² + R₂² − AB²/4
Công thức này dùng khi đáy là hình vuông, hình chữ nhật hoặc tam giác nội tiếp và một mặt bên là tam giác thường (đều, cân…).
Dạng 6: Tứ diện đều
Tứ diện đều cạnh a có R = a√6/4. Đây là trường hợp riêng của chóp đều tam giác với l = a: r = a√3/3, h = a√6/3, R = a²/(2·a√6/3) = 3a/(2√6) = a√6/4.
4. Bảng tóm tắt
| Dạng chóp | Bán kính R |
|---|---|
| SA ⊥ đáy, SA = h, đáy có bán kính r | √(r² + h²/4) |
| Chóp đều, cạnh bên l, cao h | l²/(2h) |
| ∠SAC = ∠SBC = 90° | SC/2 |
| SA, SB, SC đôi một vuông góc | √(a²+b²+c²)/2 |
| Mặt bên ⊥ đáy | √(R₁² + R₂² − AB²/4) |
| Tứ diện đều cạnh a | a√6/4 |
5. Ví dụ minh hoạ có lời giải
Ví dụ 1: Cạnh bên vuông góc đáy, đáy là hình vuông
Đề: Chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp.
Giải: Đường chéo đáy bằng a√2 nên r = a√2/2, r² = a²/2. Với h = a: R² = a²/2 + a²/4 = 3a²/4. Vậy S = 4π·3a²/4 = 3πa².
Kiểm tra nhanh: chóp này là một phần của hình lập phương cạnh a, nên R bằng nửa đường chéo hình lập phương = a√3/2. Khớp kết quả.
Ví dụ 2: Chóp tam giác đều
Đề: Chóp đều S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp.
Giải: r = OA = a√3/3 nên r² = a²/3. Đường cao h² = l² − r² = 4a² − a²/3 = 11a²/3, h = a√33/3. Áp dụng R = l²/(2h) = 4a² : (2a√33/3) = 6a/√33. Do đó R² = 36a²/33 = 12a²/11 và S = 4π·12a²/11 = 48πa²/11.
Ví dụ 3: Đáy là tam giác vuông
Đề: Chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B, AB = BC = a, SA ⊥ (ABC), SA = 2a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp.
Giải: BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB), suy ra BC ⊥ SB, tức ∠SBC = 90°. Mặt khác ∠SAC = 90° vì SA ⊥ đáy. Hai điểm A, B cùng nhìn SC dưới góc vuông nên tâm là trung điểm SC.
AC = a√2, SC² = SA² + AC² = 4a² + 2a² = 6a², R = a√6/2. S = 4π·6a²/4 = 6πa². Dùng công thức Dạng 1 cũng được: r = a√2/2, R² = a²/2 + a² = 3a²/2, cùng kết quả.
Ví dụ 4: Mặt bên vuông góc đáy
Đề: Chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp.
Giải: Đáy: R₁² = (a√2/2)² = a²/2. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a: R₂ = a√3/3, R₂² = a²/3. Giao tuyến AB = a nên AB²/4 = a²/4.
R² = a²/2 + a²/3 − a²/4 = (6 + 4 − 3)a²/12 = 7a²/12. Vậy S = 4π·7a²/12 = 7πa²/3.
Kiểm tra bằng toạ độ: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), S(a/2; 0; a√3/2). Tâm I(a/2; a/2; z). Từ IA = IS: a²/4 + a²/4 + z² = a²/4 + (z − a√3/2)² cho z = a√3/6. Khi đó IA² = a²/2 + a²/12 = 7a²/12. Khớp.
Ví dụ 5: Ba cạnh đôi một vuông góc
Đề: Chóp S.ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 12 và SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp.
Giải: √(9 + 16 + 144) = 13 nên R = 13/2. S = 4π·(169/4) = 169π.
Ví dụ 6: Một trường hợp “đặc biệt” của chóp đều
Đề: Chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp.
Giải: OA = a√2/2, h = √(a² − a²/2) = a√2/2. Công thức: R = a²/(2·a√2/2) = a/√2 = a√2/2. Ta thấy R = OA = OS nên tâm cầu trùng O (tâm đáy). Vậy S = 4π·a²/2 = 2πa².
6. Mẹo nhớ và lỗi thường gặp
- Mẹo chọn công thức: thấy “SA vuông góc đáy” nghĩ ngay R² = r² + h²/4; thấy “chóp đều” nghĩ R = l²/(2h); thấy “hai góc vuông cùng nhìn một cạnh” nghĩ tâm là trung điểm cạnh đó.
- Nhầm r với cạnh đáy: r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, không phải cạnh. Hình vuông cạnh a có r = a√2/2, không phải a/2.
- Quên chia 4: trong R² = r² + h²/4 phải là (h/2)², đừng viết r² + h².
- Dùng công thức chóp đều cho chóp thường: R = l²/(2h) chỉ đúng khi chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
- Kết quả cuối: nhớ nhân thêm 4π; nhiều bạn dừng ở R² hoặc quên bình phương.
- Tự kiểm tra: R luôn lớn hơn hoặc bằng r và lớn hơn hoặc bằng h/2.
7. Bài luyện tập
- Chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = 3, AD = 4, SA ⊥ (ABCD), SA = 12. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp.
- Tứ diện đều cạnh 2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp.
- Chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy √3, chiều cao 2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp.
Đáp án:
- Đường chéo đáy = 5 nên r = 5/2, r² = 25/4. R² = 25/4 + 144/4 = 169/4, R = 13/2. S = 4π·169/4 = 169π.
- R = 2√6/4 = √6/2, R² = 3/2. S = 4π·3/2 = 6π.
- r = √3·√3/3 = 1, l² = r² + h² = 1 + 4 = 5, R = 5/(2·2) = 5/4. S = 4π·25/16 = 25π/4.
8. Tổng kết
Muốn tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bạn hãy tìm tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, dựng trục, tìm giao với mặt phẳng trung trực cạnh bên rồi tính R và S = 4πR². Học thuộc sáu dạng ở bảng tóm tắt sẽ giúp bạn xử lý hầu hết câu hỏi trắc nghiệm trong vài chục giây.
Câu hỏi thường gặp
Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là gì?
Diện tích mặt cầu là S = 4πR², trong đó R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp. Phần quan trọng là tìm R theo từng dạng chóp: cạnh bên vuông góc đáy, chóp đều, mặt bên vuông góc đáy…
Hình chóp nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp không?
Không. Chóp chỉ có mặt cầu ngoại tiếp khi đa giác đáy nội tiếp được đường tròn, ví dụ tam giác, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân. Hình bình hành không phải hình chữ nhật hay hình thoi không phải hình vuông thì không có.
Khi SA vuông góc đáy thì tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp thế nào?
Dùng R² = r² + (SA/2)², với r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy. Nếu đáy là tam giác vuông hoặc hình chữ nhật, tâm cầu thường là trung điểm của cạnh SC (SC là đường kính).
Công thức R = l²/(2h) dùng cho loại chóp nào?
Dùng cho chóp đều, hoặc chóp có các cạnh bên bằng nhau (chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy). Trong đó l là độ dài cạnh bên và h là chiều cao của chóp.