Tailieumoi.vn xin giới thiệu chuyên đề Phương trình lượng giác thuộc chương trình Toán 11. Chuyên đề gồm 81 trang với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải các dạng bài tập và trên 200 bài tập có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh ôn luyện kiến thức, nâng cao kĩ năng làm bài tập môn Toán 11.

Chuyên đề Phương trình lượng giác

Phần 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Phương trình sinx = a        (1)

    ♦ |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm.

    ♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.

Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là

                x = α + k2π, k ∈ Z

                và x = π-α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện  và sinα = a thì ta viết α = arcsin a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là

                x = arcsina + k2π, k ∈ Z

                và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.

Các trường hợp đặc biệt:

- Phương trình cosx = a        (2)

    ♦ |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm.

    ♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.

Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là

                x = α + k2π, k ∈ Z

                và x = -α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện  và cosα = a thì ta viết α = arccos a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là

                x = arccosa + k2π, k ∈ Z

                và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.

Các trường hợp đặc biệt:

- Phương trình tanx = a        (3)

Điều kiện: 

Nếu α thỏa mãn điều kiện  và tanα = a thì ta viết α = arctan a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là

                x = arctana + kπ,k ∈ Z

- Phương trình cotx = a        (4)

Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện  và cotα = a thì ta viết α = arccot a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là

                x = arccota + kπ, k ∈ Z

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx = sin(π/6)        c) tanx – 1 = 0

b) 2cosx = 1.        d) cotx = tan2x.

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos² x - sin2x =0.

b) 2sin(2x – 40º) = √3

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin⁡x = sin⁡π/6

b)

c) tan⁡x=1⇔cos⁡x= π/4+kπ (k ∈ Z)

d) cot⁡x=tan⁡2x

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos²x-sin²x=0 ⇔cos²x-2 sin⁡x cos⁡x=0

        ⇔ cos⁡x (cos⁡x - 2 sin⁡x )=0

b) 2 sin⁡(2x-40º )=√3

⇔ sin⁡(2x-40º )=√3/2

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin⁡(2x+1)=cos⁡(3x+2)

b)

⇔ sin⁡x+1=1+4k

⇔ sin⁡x=4k (k ∈ Z)

Nếu |4k| > 1⇔|k| > 1/4; phương trình vô nghiệm

Nếu |4k| ≤ 1 mà k nguyên ⇒ k = 0 .Khi đó:

        ⇔sin⁡x = 0 ⇔ x = mπ (m ∈ Z)

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) cos(3x + π) = 0

b) cos (π/2 - x) = sin2x

Lời giải:

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) sinx.cosx = 1

b) cos² x - sin² x + 1 = 0

Lời giải:

Bài 3: Giải các phương trình sau

a) cos² x - 3cosx + 2 = 0

b) 1/(cos² x) - 2 = 0.

Lời giải:

Bài 4: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x.

Lời giải:

Bài 5: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx + (√3+1)cosx = 2√2 sin2x

Lời giải:

Phần 2: Cách giải Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Định nghĩa:

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Là phương trình có dạng :

        a.f²(x) + b.f(x) + c = 0

với f(x) = sinu(x) hoặc f(x) = cosu(x), tanu(x), cotu(x).

Cách giải:

Đặt t = f(x) ta có phương trình : at² + bt +c = 0

Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được x

Khi đặt t = sinu(x) hoặc t = cosu(x), ta có điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1

Ví dụ minh họa

Bài 1: sin²x +2sinx - 3 = 0

Bài 2: cos2x – sinx + 2 = 0

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: 1/(sin² x)+tanx-1=0

Lời giải:

Bài 2: cosx – sin2x = 0

Lời giải:

Bài 3: cos2x + cosx – 2 = 0

Lời giải:

Bài 4: 1 + sin2x + cosx + sinx = 0

Lời giải:

⇔ 1 + 2 sin⁡x cos⁡x + 2(cos⁡x+sin⁡x ) = 0

⇔ cos²⁡x + sin²⁡x + 2 sin⁡xcos⁡x + 2 (cos⁡x+sin⁡x )=0

⇔ (sin⁡x + cos⁡x)² + 2 (cos⁡x+sin⁡x )=0

Bài 5: cos²3xcos2x – cos²x = 0

Lời giải:

Phần 3: Cách giải Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Xét phương trình asinx + bcosx = c (1) với a, b là các số thực khác 0.

Khi đó phương trình (1) được đưa về dạng 

Ở đó α là cung thỏa mãn 

Chú ý:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình sau: cos²x – sin2x = 0.

Lời giải:

Bài 2: Giải phương trình sau: sin3x - √3 cos3x = 2sin2x.

Lời giải:

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: 3sinx + 4cosx = 0.

Lời giải:

⇔ 3/5 sin⁡x + 4/5 cos⁡x = 0

⇔ cos⁡(x-α) = 0 với α là góc thảo mãn: cos⁡α = 4/5; sin⁡α = 3/5

⇔ x - α = π/2 + kπ

⇔x = π/2 + α + kπ (k ∈ Z)

Bài 2: sin7x – cos2x = √3(sin2x-cos7x).

Lời giải:

⇔ sin⁡7x + √3cos⁡7x = cos⁡2x + √3sin⁡2x

Bài 3: Hàm số sau có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

Lời giải:

⇔ (y-2) sin⁡2x-(y-1)cos⁡2x=-3y

⇔ (3y)² ≤ (y-2)² + (y+1)²

⇔ 7y² + 2y - 5 ≤ 1

⇔ -1 ≤ y ≤ 5/7

Mà y nguyên ⇒ y ∈ {-1;0}

Bài 4: Giải phương trình:

Lời giải:

Bài 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x0 của 3sin3x - √3cos9x = 1 + 4sin³3x.

Lời giải:

3 sin⁡3x - √3 cos⁡9x = 1 + 4sin³⁡3x

Phần 4: Cách giải phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx là phương trình có dạng f(sinx, cosx) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Cách giải:

Xét cosx = 0 xem có là nghiệm của phương trình không?

Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos^kx (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tanx.

Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho.

Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với sinx.

Ví dụ minh họa

Bài 1: 3sin²x + 8sinx.cosx + (8√3-9) cos²x = 0 (1)

Xét cos⁡x = 0 ⇒ sin²x = 1. Ta có (1) ⇔ 3=0 (vô lý)

Xét cos⁡x≠0. Chia cả hai vế của pt cho cos²x. Ta được :

Bài 2: sin³x + 2sinx.cos²x + 3cos³x = 0 (2)

Xét cos⁡x = 0. Ta có (2) ⇔ sin⁡x = 0 (vô lí do sin²x + cos²x = 1)

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos³x. Ta được :

(2) ⇔ tan³⁡x + 2 tan⁡x + 3 = 0

⇔ x = -π/4 + kπ (k ∈ Z)

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình sin² x-(√3+1)sinxcosx+√3 cos² x=0

Lời giải:

sin²⁡x - (√3+1) sin⁡x cos⁡x + √3 cos²⁡x = 0 (1)

Xét cos⁡x = 0. (1) sin²⁡x = 0 → vô lý

Xét cos⁡x≠0. Chia cả hai vế của pt cho cos²⁡x. Ta được :

(1) ⇔ tan²⁡x - (√3+1) tan⁡x + √3 = 0

Bài 2: Giải phương trình: 2 cos²x – 3sinxcosx + sin²x = 0

Lời giải:

Xét cos⁡x = 0. Ta có . sin²⁡x = 0 → vô lý

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos²⁡x. Ta được :

2 - 3 tan⁡x + tan²⁡x = 0

Bài 3: Giải phương trình: 3cos⁴x – 4cos²x sin²x + sin⁴x = 0

Lời giải:

Xét cos⁡x = 0: Ta có : sin⁴x = 0 (vô lý)

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos⁴x. Ta được :

3 - 4 tan²⁡x + tan⁴x = 0

Bài 4: Tìm m để phương trình (m + 1)sin²x – sin2x + 2cos²x = 0 có nghiệm.

Lời giải:

Xét cos⁡x = 0. Ta có : (m+1)sin²⁡x = 0 ⇔ m = -1

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos²⁡x. Ta được :

(m+1)tan²⁡x - 2 tan⁡x + 2 = 0

Δ' = 1-2m-2 = -2m-1

Để pt có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ - 2m-1 ≥ 0 ⇔ m ≤ -1/2

Vậy với m ≤ -1/2 thì pt đã cho có nghiệm

Bài 5: Tìm điều kiện để phương trình a.sin²x + a.sinxcosx + b.cos²x = 0 với a ≠ 0 có nghiệm.

Lời giải:

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos²⁡x. Ta được :

a tan²⁡x + atan⁡x + b = 0

Δ = a² - 4ab

Để pt có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔a² - 4ab ≥ 0 ⇔ a-4b ≥ 0 ⇔ a ≥ 4b

Phần 5: Cách giải Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Định nghĩa: phương trình đối xứng là phương trình có dạng:

                a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (3)

Phương pháp giải:

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:

Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng:

                a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4)

Để giải phương trình này ta cũng đặt

Thay vào (4) ta có được phương trình bậc hai theo t.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình sau: 2(sinx + cosx) + 3sin2x = 2.

Ta có phương trình đã cho có dạng:

Bài 2: Cho x thỏa mãn phương trình sin2x + sinx – cosx = 1. Tính sin(x - π/4).

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình sinxcosx + 2(sinx + cosx) = 2.

Lời giải:

Bài 2: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: 3(sinx + cosx) + 2sin2x = -3

Lời giải:

Bài 3: Cho x thỏa mãn phương trình: sinx + cosx - 4sinxcosx – 1 = 0. Tính sin(x + π/4).

Lời giải:

Bài 4: Giải phương trình sau: sin2x – 4(cosx – sinx) = 4.

Lời giải:

Bài 5: Giải phương trình: sin2x + √2sin(x - π/4) = 1

Lời giải:

Phần 6: Cách giải các phương trình lượng giác đặc biệt

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Sử dụng các công thức lượng giác và kết hợp với cách giải các phương trình lượng giác cơ bản.

2. Đánh giá, đặt ẩn phụ.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình: sin²x = sin²3x

Bài 2: Giải phương trình sin³xsin3x – cos³xcos3x = -2.5

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x +cos3x

Lời giải:

⇔ (sinx + sin3x) + sin2x = (cosx + cos3x) + cos2x

⇔ 2sin2xcosx + sin2x = 2cos2xcosx + cos2x.

⇔ sin2x( 2cosx + 1) = cos2x(2cosx + 1)

Bài 2: sinx + sin3x + sin5x = 0

Lời giải:

sinx + sin3x + sin5x = 0

Bài 3: sin⁶x + cos⁶x = 0.25

Lời giải:

sin⁶x + cos⁶x = 0.25 ⇔ (sin²x + cos²x)(cos⁴x + sin⁴x - sin²x cos²x) = 0.25

Bài 4: Tìm số nghiệm của phương trình: sin7x + cos²2x = sin²2x +sinx trong khoảng (0,5).

Lời giải:

sin⁡7x + cos²⁡2x = sin²⁡2x+sin⁡x

Bài 5: Tổng các nghiệm của phương trình:

sin²(2x - π/4) - 3cos(3 π/4 - 2x)+ 2 = 0 (1) trong khoảng (0; 2π)

Lời giải:

Phần 7: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác thỏa mãn điều kiện

A. Ví dụ

Bài 1: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(3x + π/3) = cos(2x - π/4) trong khoảng (- π , π )

Vậy tổng các nghiệm là: 9π/4

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Thử lại ta có các nghiệm nguyên: x=-7 (k=-2); x=-31 (k=10)

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin²2x = cos²(3x - π/8) trong khoảng (- π , π )

Lời giải:

x ∈ (-π ,π ) ⇒ x = 5π /8; (-7π )/8; (-27π )/40; (-19π )/40; (-11π )/40; (-3π )/40; π /8; 13π /40; 21π /40; 29π /40; 37π /40

Tổng các nghiệm là: 7π/8

Bài 2: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: sin²2x + cos²5x = 1.

Lời giải:

Bài 3: Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình: (sinx + cosx)² = 2cos²3x.

Lời giải:

(sin⁡x + cos⁡x )² = 2 cos²⁡3x

⇔ 1 + sin 2x = cos⁡6x+1

⇔ sin⁡2x = cos⁡6x

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là: (-π)/8

Bài 4: Tìm x ∈ [0,14] nghiệm đúng phương trình : cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0.

Lời giải:

cos3x- 4 cos⁡2x + 3 cos⁡x - 4 = 0

⇔ 4 cos³x - 3 cos⁡x- 8 cos²⁡x + 4 + 3 cos⁡x - 4 = 0

Bài 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

Lời giải:

Phần 8: Cách loại nghiệm, hợp nghiệm, gộp nghiệm phương trình lượng giác cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng giác. Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện.

Với cách này chúng ta cần ghi nhớ

        ♦ Điểm biểu diễn cung α và α+k2π,k ∈ Z là trùng nhau

        ♦ Để biểu diễn cung α+k2π/n lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường chọn k = 0, 1, 2,…,n – 1)) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn.

Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên

Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm , trong đó m, n ∈ Z đã biết, còn k, l ∈ Z là các chỉ số chạy.

Ta xét phương trình :

Với a,b,c là các số nguyên.

Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên

                ax + by = c (1)

Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau:

        ♦ Phương trình (1) có nghiệm ⇔ d = (a,b) là ước của c

        ♦ Nếu phương trình (1) có nghiệm (x_o,y_o) thì (1) có vô số nghiệm

Phương pháp 3: Thử trực tiếp

Phương pháp này là ta đi giải phương trình tìm nghiệm rồi thay nghiệm vào điều kiện để kiểm tra.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình:cot3x = cotx

PT ⇔ cos3x.sinx - sin3x.cosx = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = (k π)/2,k ∈ Z.

Biểu diễn các nghiệm của hệ phương trình điều kiện và nghiệm của phương trình lên vòng tròn lượng giác ta được:

Cách 1: Biểu diễn các điểm cuối của cung kπ/3 ta có các điểm A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆.

Biểu diễn các điểm cuối của cung nπ/2 ta có các điểm B₁, B₂, B₃, B₄.

Ta thấy A₁ ≡ B₁, A₄ ≡ B₃ .

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x= π/2 + mπ .

Cách 2:

Do đó ta cần loại những giá trị n chẵn.

Vậy nghiệm của phương trình là: x= π/2 + mπ .

Bài 2: Giải phương trình: cot4x.cot7x = 1

Vì 22n-14m là số chẵn còn 7 là số lẻ nên phương trình này vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình: |sinx| = cos2x.

Lời giải:

Với sinx ≥ 0 (*) thì phương trình đã cho tương đương với

Dễ thấy nghiệm (2) không thỏa (*)

Biểu diễn nghiệm (1) lên đường tròn lượng giác ta được các điểm A1, A2 , A3. Trong đó chỉ có hai điểm A1, A2 nằm phía trên Ox.

Hai điểm này ứng với các cung x=π/6+k2 π,x=5π/6+ k2 π.

Với sinx < 0 (**) thì phương trình đã cho tương đương với

Dễ thấy (3) không thỏa (**)

Biểu diễn (4) trên đường tròn lượng giác ta được các điểm B1, B2, B3. Trong đó chỉ có hai điểm B2,B3 nằm dưới Ox (sinx < 0)

Hai điểm đó ứng với cung: x = (-π)/6 + k2 π, x = -5π/6 + k2 π .

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = ±π/6 + k π, (k ∈ Z).

Bài 2: Giải phương trình: cos3x.tan4x = sin5x.

Lời giải:

Điều kiện: cos4x ≠ 0

Phương trình

Bài 3: Giải phương trình:

Lời giải:

Giải pt (2) ta có các nghiệm:

Vì các nghiệm của phương trình phải thỏa điều kiện (1) nên ta tìm cách biểu diễn các nghiệm qua sinx.

Bài 4: Giải phương trình: tanx + cotx = 2.

Lời giải:

Biểu diễn các điểm trên vòng tròn lượng giác:

Bài 5: Giải phương trình:

Lời giải:

Phương trình lượng giác cơ bản

I. Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác

1.Sử dụng thành thạo cung liên kết

2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng

3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos

4. Xác định nhân tử chung để đưa về phương trình tích số

II. Một số phương trình lượng giác thường gặp

1. Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác

2. Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cosin (phương trình cổ điển)

3. Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc 2, bậc 3, bậc 4)

4. Phương trình lượng giác đối xứng

5. Một số phương trình lượng giác dạng khác

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I.  Phương trình lượng giác cơ bản

Với k $\in \mathrm{ℝ}$, ta có các phương trình lượng giác cơ bản sau:

* $\mathrm{sina}=\mathrm{sinb}\iff \begin{array}{c}\mathrm{a}=\mathrm{b}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi } \mathrm{hoặc} \mathrm{a}=\mathrm{\pi }-\mathrm{b}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi }\end{array}$          * $\mathrm{cosa}=\mathrm{cosb}\iff \begin{array}{c}\mathrm{a}=\mathrm{b}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi } \mathrm{hoặc} \mathrm{a}=-\mathrm{b}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi }\end{array}$

* $\tan \mathrm{a}=\tan \mathrm{b}\iff \mathrm{a}=\mathrm{b}+\mathrm{k}\mathrm{\pi }$                                                    * $\cot \mathrm{a}=\cot \mathrm{b}\iff \mathrm{a}=\mathrm{b}+\mathrm{k}\mathrm{\pi }$

Nếu đề bài cho dạng độ ($\mathrm{\alpha }°$) thì ta sẽ chuyển $\mathrm{\pi }\to \mathrm{k}{360}^0,\mathrm{k}\mathrm{\pi }\to \mathrm{k}{180}^0,$ với $\mathrm{\pi }=180°$ 

Những trường hợp đặc biệt:

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}+\sin \mathrm{x}=1\iff \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi } \end{array} \\ +\sin \mathrm{x}=0\iff \mathrm{x}=\mathrm{k}\mathrm{\pi } \\ +\sin \mathrm{x}=-1\iff \mathrm{x}=-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi } \end{gathered}$$                        $$\begin{gathered} \begin{array}{c}+\cos \mathrm{x}=1\iff \mathrm{x}=\mathrm{k}2\mathrm{\pi }\end{array} \\ +\cos \mathrm{x}=0\iff \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k}\mathrm{\pi } \\ +\cos \mathrm{x}=-1\iff \mathrm{x}=\mathrm{\pi }+\mathrm{k}2\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}+\tan \mathrm{x}=0\iff \mathrm{x}=\mathrm{k}\mathrm{\pi }\end{array} \\ +\tan \mathrm{x}=1\iff \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{k}\mathrm{\pi } \\ +\tan \mathrm{x}=-1\iff \mathrm{x}=-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{k}\mathrm{\pi } \end{gathered}$$                          $$\begin{gathered} \begin{array}{c}+\cot \mathrm{x}=0\iff \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k}\mathrm{\pi }\end{array} \\ +\cot \mathrm{x}=1\iff \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{k}\mathrm{\pi } \\ +\cot \mathrm{x}=-1\iff \mathrm{x}=-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{k}\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

Ví dụ. Giải các phương trình:

a) $\sin 2\mathrm{x}=-\frac{1}{2}$                                                                  b) cos$\left(\mathrm{x}-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$= -1 

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –– – – – – – – – – 

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –– – – – – – –

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –– – – – – – –

c) tan$\left(2\mathrm{x}-30°\right)$=$\sqrt{3}$                                                        d) cot$\left(\mathrm{x}-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$ = 1

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –– – – – – – – – – 

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –– – – – – – –

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –– – – – – – –