Coi biểu thức sau hàm cot như một ẩn phụ lớn, giải tương tự như pt LG cơ bản

$\begin{array}{l}\cot x=\cot \alpha \iff x=\alpha +k\pi \left(k\in Z\right)\end{array}$

Điều kiện $3x-1\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$ hay $x\ne \frac{1+k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$

$\begin{array}{l}\cot \left(3x-1\right)=-\sqrt{3}\\ \iff \cot \left(3x-1\right)=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)\\ \iff 3x-1=-\frac{\pi }{6}+k\pi \\ \iff 3x=1-\frac{\pi }{6}+k\pi \\ \iff x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in Z\right)\left(tm\right)\end{array}$

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})$

c. 

Phương pháp giải: 

Lời giải: 

Điều kiện $cosx\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$\begin{array}{l}\cos 2x\tan x=0\\ \iff [\begin{array}{l}\cos 2x=0\\ \tan x=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x=k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\left(tm\right)\end{array}$

Vậy nghiệm phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$ hoặc $x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$

d. 

Phương pháp giải: 

$\begin{array}{l}AB=0\iff [\begin{array}{l}A=0\\ B=0\end{array}\end{array}$

Lưu ý điều kiện xác định của các hàm tan và cot, hàm phân thức.

Lời giải: 

ĐK: $sinx\ne 0\iff x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$\begin{array}{l}\sin 3x\cot x=0\\ \iff [\begin{array}{l}\sin 3x=0\\ \cot x=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}3x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+n\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+n\pi \end{array}\left(k,n\in Z\right)\end{array}$

Kết hợp với điều kiện ta thấy khi $k=3m,m\in \mathbb{Z}$ thì $x=\frac{k\pi }{3}=\frac{3m\pi }{3}=m\pi \left(m\in Z\right)$ $\Rightarrow \sin x=0$ không thỏa điều kiện.

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\frac{k\pi }{3}$ $\left(k\ne 3m\left(m\in Z\right)\right)$ và $x=\frac{\pi }{2}+n\pi (n\in Z)$.

Chú ý:

Biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác để loại nghiệm:

Các nghiệm $[\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{k\pi }{3}}\\ x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi các điểm từ A₁ đến A₈ trên đường tròn lượng giác như hình dưới.

Với điều kiện x ≠ k.π nên các điểm A₁ và A₄ bị loại.

Vậy họ nghiệm chỉ còn lại các điểm A₂; A₃; A₅; A₆; A₇; A₈ và ta viết được dưới kết quả $[\begin{array}{l}x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k\pi \\ x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$.

$\begin{array}{l}\tan \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\tan 2x\\ DK:\{\begin{array}{l}\frac{\pi }{4}-x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi \\ 2x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x\ne -\frac{\pi }{4}-m\pi \\ x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}\end{array}\\ \iff x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}\left(m\in Z\right)\end{array}$

Khi đó phương trình tương đương với:

$\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{4}-x+k\pi \\ \iff 3x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in Z\right)\end{array}$

Kết hợp điều kiện ta có: 

$\begin{array}{l}\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\ne \frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}\\ \iff \frac{k\pi }{3}\ne \frac{m\pi }{2}+\frac{\pi }{6}\\ \iff 2k\pi \ne 3m\pi +\pi \\ \iff 2k\ne 3m+1\\ \iff k\ne \frac{3m+1}{2}\left(k,m\in Z\right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm: $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\left(k\ne \frac{3m+1}{2}\left(k,m\in Z\right)\right)$

1. Phương trình lượng giác cơ bản

a) Phương trình $\sin x=a$

+) Nếu $\left|a\right|>1$ thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu $\left|a\right|\le 1$ thì phương trình $\sin x=a$ có các nghiệm $x=\arcsin a+k2\pi$ và$x=\pi -\arcsin a+k2\pi$

Đặc biệt:

+) $\sin f(x)=\sin \alpha$ $\iff [\begin{array}{l}f(x)=\alpha +k2\pi \\ f(x)=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

+) $\sin f(x)=\sin {\beta }^0$ $\iff [\begin{array}{l}f(x)={\beta }^0+k{360}^0\\ f(x)={180}^0-{\beta }^0+k{360}^0\end{array}\left(k\in Z\right)$

b) Phương trình $\cos x=a$

+) Nếu $\left|a\right|>1$ thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu $\left|a\right|\le 1$ thì phương trình $\cos x=a$ có các nghiệm $x=\arccos a+k2\pi$ và  $x=-\arccos a+k2\pi$

Đặc biệt:

+) $\cos f(x)=\cos \alpha$ $\iff [\begin{array}{l}f(x)=\alpha +k2\pi \\ f(x)=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

+) $\cos f(x)=\cos {\beta }^0$ $\iff [\begin{array}{l}f(x)={\beta }^0+k{360}^0\\ f(x)=-{\beta }^0+k{360}^0\end{array}\left(k\in Z\right)$

c) Phương trình $\tan x=a$

Phương trình luôn có nghiệm $x=\arctan a+k\pi$.

Đặc biệt:

+) $\tan x=\tan \alpha$ $\iff x=\alpha +k\pi \left(k\in Z\right)$

+) $\tan x=\tan {\beta }^0$ $\iff x={\beta }^0+k{180}^0$

d) Phương trình $\cot x=a$

Phương trình luôn có nghiệm $x=\mathrm{arccot}a+k\pi$.

Đặc biệt:

+) $\cot x=\cot \alpha$ $\iff x=\alpha +k\pi \left(k\in Z\right)$

+) $\cot x=\cot {\beta }^0$ $\iff x={\beta }^0+k{180}^0,k\in Z$

e) Các trường hợp đặc biệt

* Phương trình $\sin x=a$

$+\sin x=0\iff x=k\pi ;$ 

$+\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;$

$+\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;$  

* Phương trình $\cos x=a$

$+\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

$+\cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi$

$+\cos x=1\iff x=k2\pi$

2. Một số chú ý khi giải phương trình.

- Khi giải phương trình lượng giác có chứa $\tan ,\cot$, chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.

- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.