50 Bài tập Một số phương trình lượng giác thường gặp (có đáp án)- Toán 11

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp. Bài viết gồm 50 bài tập với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán 11. Ngoài ra, bài viết còn có phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Chương 1 Bài 3:Một số phương trình lượng giác thường gặp. Mời các bạn đón xem:

Bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

A. Bài tập Một số phương trình lượng giác thường gặp

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Điều kiện để phương trình 3sinx + mcosx = 5 vô nghiệm là:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

B. m > 4

C. m < - 4        

D. -4 < m < 4

Lời giải:

Phương trình 3sinx + mcosx= 5 vô nghiệm khi:

32+ m2 < 52 ↔ m2 < 16 ↔ -4 < m < 4

Chọn đáp án D

Bài 2: Phương trình 3sin2x + msin2x – 4cos2x = 0 có nghiệm khi:

A. m = 4        

B. m ≥ 4

C. m ≤ 4        

D. m ∈R

Lời giải:

Ta có:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm.

Do đó: 4m2 + 49 ≥ 1 ⇔ 4m2 + 48 ≥ 0 ( luôn đúng )

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Chọn đáp án D

Bài 3: Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2sin2x – 5sinx + 3 = 0 là:

A. x = π6      

B. x = π2

C. x = 5π2        

D. x = 5π6

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án B

Bài 4: Phương trình cos22x + cos2x - 34 = 0 có nghiệm khi:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án C

Bài 5: Số nghiệm của phương trình 2sin2x – 5sinx + 3 = 0 thuộc [0; 2π] là:

A. 1        

B. 2

C. 3        

D. 4

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án A

Bài 6: Số nghiệm của phương trình cos2x + sin2x + 2cosx + 1= 0 thuộc [0; 4π] là:

A. 1        

B. 2

C. 4        

D. 6

Lời giải:

Ta có:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Các nghiệm của phương trình thuộc đoạn [0; 4π] là: π; 3π

Chọn đáp án B

Bài 7: Nghiệm của phương trình 2sin2x + 5sinx + 3 = 0 là:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án A

Bài 8: Nghiệm của phương trình sin2x – sinxcosx = 1 là:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án A

Bài 9: Nghiệm của phương trình 2cos2x + 3sinx – 3 = 0 thuộc (0; π2) là:

A. x = π3     

B. x = π4

C. x = π6     

D. x = 5π6

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án C

Bài 10: Tập nghiệm của phương trình: 3sin2x - 23sinxcosx - 3cos2x = 0 là:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

- Nếu cosx = 0 phương trình trở thành 3sin2x = 0 ⇒ sinx = 0(vô lí) vì khi cosx = 0 thì sin2x = 1 nên sinx = ±1.

- Nếu cosx ≠ 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos2x, ta được:

3tan2x - 23tanx – 3 = 0

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án A

II. Bài tập tự luận có giải

Bài 1: Tập nghiệm của phương trình: sinx + 3cosx = - 2 là?

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 2 Tổng các nghiệm của phương trình:

sin2(2x - π4) - 3cos(3π4 -2x)+ 2 = 0 (1) trong khoảng (0;2π) là?

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 3 Phương trình (2 – a)sinx + (1+ 2a)cosx = 3a – 1 có nghiệm khi:?

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

(2 – a)2 + (1 +2a)2 ≥ (3a – 1)2

⇔ 4 - 4a + a2 + 1 + 4a + 4a2 ≥ 9a2 - 6a + 1

⇔ 4a2 – 6a – 4 ≤ 0 ⇔ -12 ≤ a ≤ 2.

Chú ý. Với bài toán: Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của a để phương trình:

(2 – a)sinx + (1+ 2a)cosx = 3a – 1

Có nghiệm, ta cũng thực hiện lời giải tương tự như trên.

Bài 4 Nghiệm của phương trình sinx + cosx = 1 là?

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 5 Phương trình 3sin3x + cos3x = - 1 tương đương với phương trình nào sau đây?

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 6 Giải các phương trình sau:

a)\sin(x+2)=\frac{1}{3}

b)\sin3x=1

c)\sin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi}{3})=0

d)\sin(2x+ 20^{\circ}  )=\frac{(-\sqrt{3})}{2}

Lời giải:

a)\sin(x+2)=\frac{1}{3}

Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11

b) sin3x = 1 ⇔ 3x = π2 + k2π

⇔ x = π6 + k(2π3), (k ∈ Z).

c)\sin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi}{3})=0

\Leftrightarrow \frac{2x}{3}-\frac{\pi}{3}=k\pi\ \Rightarrow \ x\ =\ \frac{\pi}{2}\ +\frac{3\pi}{2}k

(k ∈ Z).

d) Vì -32 = sin(-600) nên phương trình đã cho tương đương với sin (2x + 200) = sin(-600)
Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11

Bài 7: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau?

Lời giải:

x thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi
Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11

Bài 8 Giải các phương trình sau:

a) cos(x – 1) = 23

b) cos3x = cos120

c) cos(3x2 – π4) = -12

d) cos22x = 14

Lời giải:

a) cos(x - 1) = 23 ⇔ x - 1 = ±arccos23 + k2π

⇔ x = 1 ± arccos23 + k2π, (k ∈Z)

b) cos3x = cos120 ⇔ 3x = ±120 + k3600 ⇔ x = ±40 + k1200, (k ∈ Z).

c) Vì -12 = cos2π3 nên cos3x2-π4 = -12

⇔ cos(3x2-π4) = cos23

⇔ 3x2-π4 = ±2π3 + k2π

⇔ x = 23(π4+2π3) + 4kπ3

Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11

d) Sử dụng công thức hạ bậc Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11 (suy ra trực tiếp từ công thức nhan đôi) ta có

cos22x = 14 ⇔ 1 + cos4x2 = 14 ⇔ cos4x = -12

⇔ 4x = ±2π3 + 2kπ ⇔ x = ±π6 + kπ2, (k ∈ Z)

Bài 9 Giải phương trình Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11

Lời giải:
Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11

⇔ sin2x = -1 ⇔ 2x = -π2 + k2π ⇔ x = -π4 + kπ, (k ∈ Z).

Bài 10 Giải các phương trình sau:

a) tan(x – 150) = 33 b) cot(3x – 1) = -3

c) cos2x . tanx = 0 d) sin3x . cotx = 0

Lời giải:

a) Vì Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11= tan300 nên tan(x – 150) = Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11 

⇔ tan(x – 150) = tan300 

⇔ x – 150 = 300 + k1800 

⇔ x = 450 + k1800, (k ∈ Z).

b) Vì -3 = cot(-π6) nên cot(3x – 1) = -3

⇔ cot(3x – 1) = cot(-π6)

⇔ 3x – 1 = -π6 + kπ

⇔ x = -π18 + 13 + k(π3), (k ∈ Z)

c) Đặt t = tan x thì cos2x = Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11 , phương trình đã cho trở thành
Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11. t = 0

⇔ t ∈ {0; 1; -1} .

Vì vậy phương trình đã cho tương đương với

Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11

d) sin3x . cotx = 0

⇔ Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11Với điều kiện sinx # 0, phương trình tương đương với

sin3x . cosx = 0 ⇔ sin3x = 0; cos3x = 0

Với cosx = 0 ⇔ x = π2 + kπ, k ∈ Z thì sin2x = 1 – cos2x = 1 – 0 = 1 => sinx # 0, điều kiện được thỏa mãn.

Với sin3x = 0 ⇔ 3x = kπ ⇔ x = k(π3), (k ∈ Z). Ta còn phải tìm các k nguyên để x = k(π3) vi phạm điều kiện (để loại bỏ), tức là phải tìm k nguyên sao cho sink(π3) = 0, giải phương trình này (với ẩn k nguyên), ta có sink(π3) = 0 ⇔ k(π3)= lπ, (l ∈ Z) ⇔ k = 3l ⇔ k : 3.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm là x = π2 + kπ, (k ∈Z) và x = k(π3) (với k nguyên không chia hết cho 3).

Nhận xét: Các em hãy suy nghĩ và giải thích tại sao trong các phần a, b, c không phải đặt điều kiện có nghĩa và cũng không phải tìm nghiệm ngoại lai.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Giải các phương trình sau

a) sin3xcos5x=0.

b) tan3x.tanx=1.

Bài 2 Giải các phương trình sau

a) tan(x150)=33.

b) cot(3x1)=3.

c) cos2x.tanx=0.

d) sin3x.cotx=0.

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) cos(x1)=23.

b) cos3x=cos120.

c). cos(3x2π4=12.

d) cos22x=14.

Bài 4 Giải các phương trình sau

a) sin(x+2)=13.

b) sin3x=1.

c) sin(2x3π3)=0

d) sin(2x+200)=32.

Bài 5 Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau?

Bài 6 Giải các phương trình sau

a) sin3xcos5x=0.

b) tan3x.tanx=1.

Bài 7 Giải phương trình sin2x3- π3 = 0

Bài 8 Giải phương trình Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11

Bài 9 Giải các phương trình sau:

a) tan(x – 150) = 33 b) cot(3x – 1) = -√3
c) cos2x . tanx = 0 d) sin3x . cotx = 0

Bài 10 Với những giá trị nào của x thì gia trị của các hàm số y = tan(π4 - x) và y = tan2x bằng nhau?

B. Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp

I. Phương  trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

1. Định nghĩa.

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at + b =  0   (1)

Trong đó; a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

- Ví dụ 1.

a) – 3sinx + 8 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.

b) 6cotx + 10 = 0 là phương trình bậc nhất đối với cotx.

2. Cách giải

Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

- Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

a) Từ 2sinx – 4 = 0, chuyển vế ta có: 2sinx = 4 (2)

Chia 2 vế của phương trình (2) cho 2, ta được: sinx = 2.

Vì 2 > 1 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Từ 3tanx3=0, chuyển vế ta có: 3tanx=3 (3)

Chia cả 2 vế của phương trình (3) cho ta được: tanx=33.

tanx=tanπ6x=π6+​ kπ;  k

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã được học để đưa về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác hoặc đưa về phương trình tích để giải phương trình.

- Ví dụ 3. Giải các phương trình:

a) sin2x – cosx = 0;

b) – 4sinx. cosx. cos2x = 1.

Lời giải:

a) Ta có: sin2x – cosx = 0

2sinx. cosx – cosx = 0

cosx. (2sinx – 1) = 0

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x  =  π2  +  kπ; x  =  π6  +  k2π và x  =  5π6  +  k2π;  k.

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

1. Định nghĩa.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at2 + bt + c = 0

Trong đó a; b; c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

- Ví dụ 4.

a) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0 là phương trình bậc hai đối với cosx.

b) – 10tan2x + 10tanx = 0 là phương trình bậc hai đối với tanx.

2. Cách giải.

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này.

Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

- Ví dụ 5. Giải phương trình: 2cos2x – 4 cosx = 0.

Lời giải:

Đặt t = cosx với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 .

Ta được phương trình bậc hai ẩn t là: 2t2 – 4t = 0 t=0t  =2

Trong hai nghiệm này chỉ có nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì cos x = 0

x=  π2  +  kπ;  k

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=  π2  +  kπ;  k.

3. Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức lượng giác đã học để biến đổi đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Ví dụ 6. Giải phương trình 3sin2x – 6cosx – 3 = 0.

Lời giải:

Vì sin2x = 1 – cos2x nên phương trình đã cho tương đương:

3(1 – cos2x) – 6cosx – 3 = 0

– 3cos2 x – 6cosx = 0  (*)

Đăt t = cosx với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 , phương trình (*) trở thành:

– 3t2 – 6t = 0 t=0t=2.

Trong hai nghiệm này, chỉ có nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì; cosx = 0 vx=  π2  +  kπ;  k.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=  π2  +  kπ;  k.

- Ví dụ 7. Giải phương trình: sin2x – 3sinx. cosx + 2cos2x = 0  (1).

Lời giải:

+ Nếu cosx = 0 thì sin2x = 1 nên phương trình (1) có :

VT(1) = 1 và VP(1) = 0

Suy ra, cos x = 0 không thỏa mãn phương trình (1) . Vậy cosx ≠ 0.

+ Vì cosx ≠ 0 nên chia hai vế của phương trình (1) cho cos2 x, ta được:

tan2x – 3tanx + 2 = 0  (2)

Đặt t = tanx, phương trình (2) trở thành: t2 – 3t + 2 =  0

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

1. Công thức biến đổi biểu thức a.sinx + b.cosx

Ta có công thức biến đổi sau:

asinx+ ​b.cosx  =   a  2+​  b2.sin(x+α)  1

Trong đó; 

cosα  =   aa2+b2;  sinα=  ba2+b2

2. Phương trình dạng: asinx + b.cosx = c.

Xét phương trình: asinx + bcosx = c  (2)

Với a; b; c ; a, b không đồng thời bằng 0.

- Nếu a = 0 ; b ≠ 0 hoặc a ≠ 0; b = 0 phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản.

- Nếu a ≠ 0; b ≠ 0, ta áp dụng công thức (1).

Ví dụ 8. Giải phương trình: 3sinx  cosx =  2.

Lời giải:

Theo công thức (1) ta có:

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Tài liệu có 17 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Đánh giá

0

0 đánh giá

Tải xuống